2️⃣ Maîtriser les équations pour mieux décider

Fondements Mathématiques · MS01-001-G

Objectifs d’apprentissage

Simplifier et réécrire des expressions algébriques
Révéler une structure cachée à l’aide d’un facteur commun ou d’une identité remarquable
Résoudre des équations du premier degré dans un contexte professionnel ou économique

Distributivité : multiplier un facteur sur une somme ou une différence.

\[a(b+c) = ab + ac\]

Exemple :

\[3(2x - 5) = 6x - 15\]

Le développement supprime les parenthèses ; il sert à simplifier les expressions complexes.

Extraction d’un facteur commun : l’opération inverse du développement.

\[ab + ac = a(b + c)\]

Exemple :

\[6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\]

La factorisation révèle la structure cachée — toujours chercher d’abord le plus grand facteur commun (PGCD).

Trois identités essentielles

\[( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

\[( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]

Erreur fréquente

\[(a + b)^2 \neq a^2 + b^2\]

N’oubliez pas le terme central \(2ab\).

Règle : isoler l’inconnue en appliquant la même opération des deux côtés.

Forme générale :

\[ax + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}\]

Exemple :

\[5x - 8 = 12\] \[5x = 20\] \[x = 4\]

Une entreprise a :

Égaler le CA au coût total et résoudre :

\[13x = 10\,000 + 8x\] \[13x - 8x = 10\,000\] \[5x = 10\,000\] \[x = 2\,000 \text{ unités}\]

L’entreprise doit vendre 2 000 unités pour atteindre son seuil de rentabilité.

Le développement et la factorisation sont des opérations inverses — le développement supprime les parenthèses, la factorisation les réintroduit pour révéler la structure.
Les identités remarquables sont des raccourcis — mémoriser les trois formes : \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) et \((a+b)(a-b)\).
Pour résoudre une équation du premier degré, isoler l’inconnue en appliquant des opérations inverses des deux côtés.

Pour la théorie complète, les exercices et les problèmes résolus, consultez le module de référence :