3️⃣ Analyse de courbes en économie et gestion

Fondements Mathématiques · MS01-001-G

Objectifs d’apprentissage

  • Lire et extraire des informations d’un graphique dans le plan cartésien
  • Trouver et interpréter l’équation d’une droite
  • Résoudre des systèmes de deux équations du premier degré
  • Modéliser et résoudre des inéquations du premier degré

1. Lecture d’un graphique

Caractéristiques clés à identifier lors de l’analyse d’une courbe :

Caractéristique Comment la lire
Intersections Où la courbe coupe les axes
Signe Régions où la courbe est positive ou négative
Variation Où la courbe est croissante ou décroissante
Extrema Points de maximum ou de minimum locaux

2. Équation d’une droite

Forme pente-ordonnée

\[y = ax + b\]

  • Pente \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) — taux de variation entre deux points
  • Ordonnée à l’origine \(b\) — valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\)

Interprétation de la pente :

  • \(a > 0\) → droite croissante
  • \(a < 0\) → droite décroissante
  • \(a = 0\) → droite horizontale

3. Systèmes d’équations

Deux droites se croisent au point satisfaisant simultanément les deux équations.

Méthode 1 — Substitution

Exprimer une variable en fonction de l’autre, puis substituer dans la deuxième équation.

Méthode 2 — Combinaison

Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.

Forme générale :

\[y = a_1 x + b_1 \quad \text{et} \quad y = a_2 x + b_2\]

L’intersection \((x^*, y^*)\) est la solution du système.

4. Inéquations

Une inéquation du premier degré de la forme \(ax + b > 0\) a un intervalle comme ensemble solution.

Règle d’inversion du signe

Lorsque vous multipliez ou divisez les deux membres par un nombre négatif, le signe d’inégalité s’inverse :

\[-2x > 4 \Rightarrow x < -2\]

Oublier cette règle est l’une des erreurs les plus fréquentes.

Exemple résolu — Deux modèles de tarification

  • Modèle A : coût total \(C_A = 200 + 5x\)
  • Modèle B : coût total \(C_B = 100 + 8x\)

Trouver la quantité d’indifférence — égaler les deux coûts :

\[200 + 5x = 100 + 8x\] \[100 = 3x\] \[x \approx 33{,}3 \text{ unités}\]

  • En dessous de 33 unités → Modèle B moins cher
  • Au-dessus de 33 unités → Modèle A moins cher

Synthèse

  1. Une droite est entièrement décrite par sa pente et son ordonnée à l’origine — la pente donne le taux de variation, l’ordonnée à l’origine donne la valeur de départ.

  2. L’intersection de deux droites résout un système à deux variables — utiliser la substitution ou la combinaison pour la trouver.

  3. La solution d’une inéquation est un intervalle — toujours inverser le signe d’inégalité lors d’une multiplication ou division par un nombre négatif.

📖 Référence complète

Pour la théorie complète, les exercices et les problèmes résolus, consultez le module de référence :

→ Module 3 : Analyse de courbes