Fondements Mathématiques · MS01-001-G
Astuce
Une suite \((u_n)_{n \geq 0}\) est une liste ordonnée de nombres réels. Chaque terme \(u_n\) est identifié par son indice \(n\).
Les suites modélisent des quantités qui évoluent pas à pas dans le temps — soldes de prêts, effectifs de population, valeurs de placements.
Raison \(d = u_{n+1} - u_n\) (constante).
Formules clés
Terme général : \[u_n = u_0 + nd\]
Somme des \(n+1\) premiers termes : \[S = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\]
Exemple : un salaire qui augmente de 500 € chaque année est arithmétique avec \(d = 500\).
Raison \(q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (constante, \(q \neq 0\)).
Formules clés
Terme général : \[u_n = u_0 \times q^n\]
Somme (pour \(q \neq 1\)) : \[S = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]
Exemple : un placement rapportant 3 % par an est géométrique avec \(q = 1{,}03\).
Deux plans d’épargne, chacun démarrant à 1 000 €.
Plan A — arithmétique (\(d = 200\), ajouter 200 €/an) : \[u_5 = 1000 + 5 \times 200 = 2\,000 \text{ €}\]
Plan B — géométrique (\(q = 1{,}10\), croître de 10 %/an) : \[u_5 = 1000 \times 1{,}10^5 \approx 1\,611 \text{ €}\]
Conclusion : la croissance arithmétique est plus rapide à court terme ; la croissance géométrique la rattrape avec un ratio élevé sur la durée.
Les suites arithmétiques ajoutent une raison constante — la croissance est linéaire.
Les suites géométriques multiplient par une raison constante — la croissance est exponentielle.
Diagnostic clé : si les accroissements sont constants → arithmétique ; si les rapports sont constants → géométrique.
Pour la théorie complète, les exercices et les problèmes résolus, consultez le module de référence :
→ Module 4 : Introduction aux outils de mathématiques financières