6️⃣ Fonctions utiles en économie et gestion

Fondements Mathématiques · MS01-001-G

Objectifs d’apprentissage

  • Déterminer le domaine de définition d’une fonction et identifier les valeurs interdites
  • Décrire et représenter graphiquement les fonctions usuelles (affine, polynomiale, logarithme, exponentielle)
  • Résoudre des équations du second degré simple et général
  • Choisir le bon type de fonction pour modéliser un phénomène économique

1. Fonctions — Définition et domaine

Définition

Une fonction \(f: x \mapsto f(x)\) associe à chaque entrée \(x\) du domaine \(D_f\) une unique sortie \(f(x)\).

Les valeurs interdites sont des valeurs de \(x\) qui rendent \(f(x)\) indéfini — par ex. division par zéro, ou racine carrée d’un nombre négatif.

Exemple : \(f(x) = \dfrac{1}{x-3}\)

  • Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)
  • \(x = 3\) est une valeur interdite — elle annule le dénominateur

2. Fonctions usuelles

Fonction Formule Forme Usage économique
Affine \(f(x) = ax + b\) Droite Coût fixe + coût unitaire
Polynomiale \(f(x) = ax^2 + bx + c\) Parabole (U ou ∩) Courbe de coût quadratique
Logarithme \(f(x) = \ln(x)\), \(x > 0\) Croît lentement Utilité, élasticité
Exponentielle \(f(x) = e^x\) Croît rapidement Intérêts composés

3. Équations du second degré

Forme générale : \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\)

Discriminant

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Cas Nombre de racines réelles Solution(s)
\(\Delta > 0\) Deux racines distinctes \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\Delta = 0\) Une racine double \(x = \dfrac{-b}{2a}\)
\(\Delta < 0\) Aucune racine réelle —

Exemple résolu — Choisir un modèle

Scénario 1 — Commission commerciale

Un commercial gagne 2 000 € de salaire fixe plus 50 € par unité vendue.

\[f(x) = 50x + 2000 \quad \text{→ affine}\]

Scénario 2 — Coût de production quadratique

\[C(q) = 0{,}5q^2 + 10q + 500 \quad \text{→ polynomiale}\]

Scénario 3 — Capital avec intérêts composés

\[B(t) = B_0\, e^{rt} \quad \text{→ exponentielle}\]

Aucun calcul ici — l’objectif est l’identification du modèle.

Synthèse

  1. Le domaine exclut les valeurs qui rendent la fonction indéfinie — toujours vérifier les valeurs interdites (dénominateurs nuls, radicandes négatifs).

  2. Affine = croissance linéaire · Polynomiale = courbe · Logarithme = croissance lente · Exponentielle = croissance rapide.

  3. Pour une équation du second degré, calculer d’abord \(\Delta = b^2 - 4ac\) — cela détermine le nombre de solutions réelles.

📖 Référence complète

Pour la théorie complète, les exercices et les problèmes résolus, consultez le module de référence :

→ Module 6 : Fonctions utiles en économie et gestion