7️⃣ Introduction à l’optimisation

Fondements Mathématiques · MS01-001-G

Objectifs d’apprentissage

  • Calculer un taux de variation moyen entre deux points
  • Comprendre le taux de variation instantané et la notion intuitive de dérivée
  • Appliquer les règles de dérivation aux fonctions affines et polynomiales de degré 2
  • Trouver et classer les maxima et minima pour étayer des décisions

1. Taux de variation moyen

Formule

Entre les points \(a\) et \(b\) :

\[\text{TVM} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

  • Sens géométrique : pente de la droite sécante passant par \((a,\, f(a))\) et \((b,\, f(b))\)
  • Sens économique : variation moyenne de la quantité par unité de variation de l’entrée

Exemple : le CA passe de 800 € à 1 040 € quand les ventes passent de 40 à 80 unités.

\[\text{TVM} = \frac{1040 - 800}{80 - 40} = \frac{240}{40} = 6 \text{ €/unité}\]

2. La dérivée

La dérivée \(f'(x)\) est le taux de variation instantané — la limite du TVM quand l’intervalle tend vers un point.

Sens géométrique : pente de la tangente à la courbe en \(x\).

Règles de dérivation essentielles

Fonction Dérivée
\(f(x) = ax + b\) \(f'(x) = a\)
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) \(f'(x) = 2ax + b\)

3. Trouver les extrema

Procédure

  1. Calculer \(f'(x)\)
  2. Résoudre \(f'(x) = 0\) — le point critique est \(x^* = -\dfrac{b}{2a}\)
  3. Construire un tableau de signe de \(f'\)
  4. Lire la nature du point critique :
    • \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum
    • \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum

Exemple résolu — Maximisation du profit

Fonction de profit : \(\pi(q) = -2q^2 + 120q - 800\)

Étape 1 — Calculer la dérivée : \[\pi'(q) = -4q + 120\]

Étape 2 — Résoudre \(\pi'(q) = 0\) : \[q^* = 30 \text{ unités}\]

Étape 3 — Tableau de signe : \(\pi' > 0\) pour \(q < 30\), \(\quad \pi' < 0\) pour \(q > 30\)

Étape 4 — \(q^* = 30\) est un maximum.

\[\pi(30) = -2(900) + 120(30) - 800 = -1800 + 3600 - 800 = 1\,000 \text{ €}\]

Synthèse

  1. La dérivée mesure le taux de variation instantané — c’est la pente de la tangente en tout point.

  2. Égaler \(f'(x) = 0\) pour trouver les points critiques, puis utiliser le tableau de signe pour les classer en maxima ou minima.

  3. Pour \(f(x) = ax^2 + bx + c\) : \(a < 0\) → maximum en \(x^*\) ; \(a > 0\) → minimum en \(x^*\).

📖 Référence complète

Pour la théorie complète, les exercices et les problèmes résolus, consultez le module de référence :

→ Module 7 : Introduction à l’optimisation