Examen Final — Statistiques et Probabilités

Analyse financière · Couples de v.a.r. continues · Convergence et estimation

Modifié

21 mai 2026

Résumé

Durée : 1 h 30. Les documents de cours sont interdits. Une table de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) est fournie. Les calculatrices sont autorisées. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats numériques seront arrondis à \(10^{-3}\) près. Les valeurs suivantes sont fournies : \(z_{0{,}025} = 1{,}96\) ; \(z_{0{,}005} = 2{,}58\) ; \(\chi^2_{2\,;\,0{,}05} = 5{,}991\).

Barème indicatif : Exercice 1 — 30 pts · Exercice 2 — 40 pts · Exercice 3 — 30 pts

Exercice 1 — Analyse financière bivariée (30 points)

Partie A — Profil investisseur et performance (14 points)

Un gestionnaire de patrimoine analyse les résultats de 200 portefeuilles sur une année. Il croise deux variables :

l’ancienneté du gérant : Junior (moins de 5 ans d’expérience), Senior ;
la performance annuelle du portefeuille : Perte, Neutre (0–5 %), Gain (> 5 %).

	Perte	Neutre	Gain	Total
Junior	26	43	31	100
Senior	14	37	49	100
Total	40	80	80	200

1. (3 pts) Calculer les fréquences marginales (en %) de chaque variable. Donner la distribution conditionnelle de la performance pour les gérants Juniors et interpréter brièvement.

2. (3 pts) Calculer les probabilités suivantes :

\(P(\text{Perte} \mid \text{Junior})\),
\(P(\text{Gain})\),
\(P(\text{Senior} \mid \text{Gain})\).

3. (4 pts) Calculer les effectifs théoriques \(e_{ij}\) sous l’hypothèse d’indépendance. Vérifier qu’ils sont tous supérieurs à 5.

4. (4 pts) Calculer la statistique du test \[T = \sum_{i,j} \frac{(o_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}.\] Conclure au seuil \(\alpha = 5\,\%\) en comparant \(T\) à \(\chi^2_{2\,;\,0{,}05} = 5{,}991\). Interpréter le résultat et préciser quelle case contribue le plus à \(T\).

Partie B — Volatilité et rendement sectoriel (16 points)

Un analyste relève, pour 5 secteurs boursiers, la volatilité annuelle \(x_i\) (en %) et le rendement moyen \(y_i\) (en %) :

Secteur	A	B	C	D	E
\(x_i\) (%)	1	2	3	4	5
\(y_i\) (%)	3	5	8	10	14

On donne : \(\displaystyle\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 55\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^5 x_iy_i = 147\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^5 y_i^2 = 394\).

5. (4 pts) Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), puis \[S_{xx} = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2, \quad S_{xy} = \sum x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\bar{y}^2.\]

6. (4 pts) Déterminer les coefficients \(\hat{b} = S_{xy}/S_{xx}\) et \(\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\,\bar{x}\), et écrire la droite de régression \(\hat{y} = \hat{a} + \hat{b}\,x\). Interpréter le coefficient \(\hat{b}\).

7. (4 pts) Calculer le coefficient de corrélation de Pearson \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}\) et le coefficient de détermination \(r^2\). Commenter la qualité de l’ajustement linéaire.

8. (4 pts) Un sixième secteur présente une volatilité \(x = 6\,\%\). Prédire son rendement. Discuter la validité de cette prédiction.

Exercice 2 — Couple de variables aléatoires continues (40 points)

Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires dont la densité conjointe est \[f(x,y) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 \leq x \leq y \leq 1, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]

1. (2 pts) Vérifier que \(\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1\). (Préciser le domaine d’intégration et choisir un ordre d’intégration.)

2. (6 pts) Calculer les densités marginales \(f_X(x)\) et \(f_Y(y)\) sur leur support respectif. Vérifier dans chaque cas que la densité intègre à 1.

3. (3 pts) Montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes. (Comparer \(f(x,y)\) au produit \(f_X(x)\,f_Y(y)\) en un point bien choisi.)

4. (8 pts) Calculer \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[X^2]\) et \(\mathrm{Var}(X)\). Puis calculer \(\mathbb{E}[Y]\), \(\mathbb{E}[Y^2]\) et \(\mathrm{Var}(Y)\).

5. (6 pts) Calculer \(\mathbb{E}[XY]\), puis la covariance \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) et le coefficient de corrélation \(\rho(X,Y)\). Interpréter le signe de \(\rho\) au regard de la définition du domaine.

6. (5 pts) Déterminer la densité conditionnelle \(f_{Y\mid X=x}(y)\) de \(Y\) sachant \(X = x\) (pour \(x \in (0,1)\)). Reconnaître la loi de \(Y \mid X = x\) et vérifier la normalisation.

7. (10 pts) On admet que la densité conditionnelle de \(X\) sachant \(Y = y\) est \(f_{X\mid Y=y}(x) = 1/y\) pour \(x \in [0,y]\) (loi \(\mathcal{U}([0,y])\)).

(5 pts) En utilisant \(f_{Y\mid X=x}\) et la loi totale des probabilités, calculer \(P\!\left(Y - X > \dfrac{1}{2}\right)\).
(3 pts) Calculer \(P\!\left(Y > \dfrac{3}{4}\right)\) à partir de \(f_Y\).
(2 pts) En déduire \(P\!\left(X < \dfrac{1}{4}\;\middle|\;Y = \dfrac{3}{4}\right)\).

Exercice 3 — Convergence et inférence statistique (30 points)

Partie A — Inégalités de concentration (8 points)

Soit \(X\) une variable aléatoire positive, d’espérance \(\mathbb{E}[X] = 5\) et de variance \(\mathrm{Var}(X) = 4\).

1. (2 pts) En appliquant l’inégalité de Markov, majorer \(P(X \geq 15)\).

2. (3 pts) En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer \(P(|X - 5| \geq 4)\). En déduire une borne inférieure de \(P(1 < X < 9)\).

3. (3 pts) On suppose maintenant \(X \sim \mathcal{N}(5,\,4)\). Calculer \(P(1 < X < 9)\) exactement à l’aide de la table \(\Phi\), et comparer avec la borne de la question 2. Commenter.

Partie B — Maximum de vraisemblance (10 points)

Des durées de traitement d’ordres boursiers \(T_1, \ldots, T_n\) sont supposées i.i.d. de loi \(\mathcal{E}(\lambda)\), de densité \(f(t\,;\,\lambda) = \lambda\,e^{-\lambda t}\) pour \(t > 0\).

4. (4 pts) Écrire la vraisemblance \(L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(T_i\,;\,\lambda)\) et la log-vraisemblance \(\ell(\lambda) = \ln L(\lambda)\). (Simplifier au maximum les deux expressions.)

5. (4 pts) Calculer \(\dfrac{d\ell}{d\lambda}\) et résoudre \(\dfrac{d\ell}{d\lambda} = 0\) pour déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\lambda}\). Vérifier qu’il s’agit bien d’un maximum.

6. (2 pts) Sur un échantillon de \(n = 16\) ordres, on mesure \(\bar{t} = 3{,}0\) ms. Calculer \(\hat{\lambda}\) et en déduire une estimation de \(\mathbb{E}[T] = 1/\lambda\).

Partie C — Intervalle de confiance pour une moyenne (12 points)

On mesure le temps d’exécution (en ms) de \(n = 64\) transactions boursières indépendantes. On obtient \(\bar{x} = 210\) ms et une variance empirique corrigée \(s^2 = 576\) ms².

7. (2 pts) Justifier l’utilisation de la loi normale pour construire un intervalle de confiance. Donner la loi approchée de \(\bar{X}_{64}\) et préciser ses paramètres.

8. (3 pts) Construire un intervalle de confiance à 95 % pour \(\mu\).

9. (3 pts) Construire un intervalle de confiance à 99 % pour \(\mu\).

10. (4 pts) En conservant \(s = 24\) ms comme estimation de \(\sigma\), quel effectif minimal \(n\) faut-il pour que la demi-largeur de l’IC à 95 % soit inférieure ou égale à 3 ms ?