Révision — Examen Final · Statistiques et Probabilités

Statistiques bivariées · Couples de v.a.r. continues · Convergence et estimation

Modifié

19 mai 2026

Résumé

Durée : 1 h 30. Les documents de cours sont interdits. Une table de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) est fournie. Les calculatrices sont autorisées. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats numériques seront arrondis à \(10^{-3}\) près. Les valeurs suivantes sont fournies : \(z_{0{,}025} = 1{,}96\) ; \(z_{0{,}005} = 2{,}58\) ; \(\chi^2_{2\,;\,0{,}05} = 5{,}991\).

Barème indicatif : Exercice 1 — 30 pts · Exercice 2 — 40 pts · Exercice 3 — 30 pts

Exercice 1 — Statistiques bivariées (30 points)

Partie A — Tableau de contingence et test du \(\chi^2\) (16 points)

Une enquête de satisfaction est menée auprès de 200 salariés d’une entreprise. On croise deux variables :

le statut : Cadre, Non-cadre ;
le niveau de satisfaction : Insatisfait, Neutre, Satisfait.

	Insatisfait	Neutre	Satisfait	Total
Cadre	18	32	50	100
Non-cadre	22	48	30	100
Total	40	80	80	200

1. (3 pts) Calculer les fréquences marginales (en %) de chaque variable. Donner la distribution conditionnelle du niveau de satisfaction pour les non-cadres et interpréter.

2. (3 pts) Calculer les probabilités suivantes :

\(P(\text{Insatisfait} \mid \text{Cadre})\),
\(P(\text{Satisfait})\),
\(P(\text{Cadre} \mid \text{Neutre})\).

3. (4 pts) Calculer les effectifs théoriques \(e_{ij}\) sous l’hypothèse d’indépendance. Vérifier qu’ils sont tous supérieurs à 5.

4. (4 pts) Calculer la statistique du test \[T = \sum_{i,j} \frac{(o_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}.\] Conclure au seuil \(\alpha = 5\,\%\) en comparant \(T\) à \(\chi^2_{2\,;\,0{,}05} = 5{,}991\).

5. (2 pts) Interpréter le résultat en termes de lien entre le statut et le niveau de satisfaction. Quelle case contribue le plus à \(T\) ?

Partie B — Droite de régression (14 points)

Un analyste relève, pour 5 actifs financiers, la volatilité annuelle \(x_i\) (en %) et le rendement moyen \(y_i\) (en %) :

Actif	A	B	C	D	E
\(x_i\)	1	2	3	4	5
\(y_i\) (%)	2	4	5	8	11

On donne : \(\displaystyle\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 55\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^5 x_iy_i = 112\), \(\displaystyle\sum_{i=1}^5 y_i^2 = 230\).

6. (3 pts) Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), puis \[S_{xx} = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2, \quad S_{xy} = \sum x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\bar{y}^2.\]

7. (4 pts) Déterminer les coefficients \(\hat{b} = S_{xy}/S_{xx}\) et \(\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\,\bar{x}\) et écrire l’équation de la droite de régression \(\hat{y} = \hat{a} + \hat{b}\,x\).

8. (4 pts) Calculer le coefficient de corrélation de Pearson \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}\) et le coefficient de détermination \(r^2\). Commenter la qualité de l’ajustement.

9. (3 pts) Un sixième actif a une volatilité \(x = 6\,\%\). Donner la prédiction de son rendement et discuter la fiabilité de cette extrapolation.

Exercice 2 — Couple de variables aléatoires continues (40 points)

Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires dont la densité conjointe est \[f(x,y) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 \leq y \leq x \leq 1, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]

1. (2 pts) Vérifier que \(\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1\). (Préciser le domaine d’intégration et justifier le calcul par l’ordre choisi.)

2. (6 pts) Calculer les densités marginales \(f_X(x)\) et \(f_Y(y)\) sur leur support respectif. Vérifier dans chaque cas que la densité intègre à 1.

3. (4 pts) Montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes. (Comparer \(f(x,y)\) au produit \(f_X(x)\,f_Y(y)\) pour un couple de valeurs particulier.)

4. (8 pts) Calculer \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[X^2]\) et \(\mathrm{Var}(X)\). Puis calculer \(\mathbb{E}[Y]\), \(\mathbb{E}[Y^2]\) et \(\mathrm{Var}(Y)\).

5. (7 pts) Calculer \(\mathbb{E}[XY]\), puis la covariance \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) et le coefficient de corrélation \(\rho(X,Y) = \mathrm{Cov}(X,Y)/\sqrt{\mathrm{Var}(X)\,\mathrm{Var}(Y)}\). Interpréter le signe et la valeur de \(\rho\).

6. (5 pts) Déterminer la densité conditionnelle \(f_{Y\mid X=x}(y)\) de \(Y\) sachant \(X = x\). Reconnaître la loi de \(Y \mid X = x\) et vérifier la normalisation.

7. (4 pts) En utilisant la densité conditionnelle de la question 6, calculer \(P\!\left(Y < \dfrac{X}{2}\right)\). (On pourra conditionner par \(X\) et utiliser la loi totale des probabilités.)

8. (4 pts) Calculer \(P\!\left(X > \dfrac{3}{4}\right)\) à partir de \(f_X\), puis \(P\!\left(Y < \dfrac{1}{4} \;\middle|\; X = \dfrac{3}{4}\right)\).

Exercice 3 — Convergence et inférence statistique (30 points)

Partie A — Inégalités de concentration (8 points)

Soit \(X\) une variable aléatoire positive, d’espérance \(\mathbb{E}[X] = 6\) et de variance \(\mathrm{Var}(X) = 9\).

1. (2 pts) En appliquant l’inégalité de Markov, majorer \(P(X \geq 18)\).

2. (3 pts) En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer \(P(|X - 6| \geq 6)\). En déduire une borne inférieure de \(P(0 < X < 12)\).

3. (3 pts) On suppose maintenant \(X \sim \mathcal{N}(6,\,9)\). Calculer \(P(0 < X < 12)\) exactement à l’aide de la table \(\Phi\), et comparer avec la borne de la question 2. Commenter.

Partie B — Maximum de vraisemblance (10 points)

Des temps de traitement \(T_1, \ldots, T_n\) sont supposés i.i.d. de loi \(\mathcal{E}(\lambda)\), de densité \(f(t\,;\,\lambda) = \lambda\,e^{-\lambda t}\) pour \(t > 0\).

4. (4 pts) Écrire la vraisemblance \(L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(T_i\,;\,\lambda)\) et la log-vraisemblance \(\ell(\lambda) = \ln L(\lambda)\). (Simplifier au maximum les deux expressions.)

5. (4 pts) Calculer \(\dfrac{d\ell}{d\lambda}\) et résoudre \(\dfrac{d\ell}{d\lambda} = 0\) pour déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\lambda}\).

6. (2 pts) Sur un échantillon de \(n = 25\) observations, on mesure \(\bar{t} = 4{,}0\) s. Calculer \(\hat{\lambda}\) et estimer \(\mathbb{E}[T] = 1/\lambda\).

Partie C — Intervalle de confiance pour une moyenne (12 points)

On mesure le temps de réponse (en ms) d’une API sur \(n = 100\) requêtes indépendantes. On obtient \(\bar{x} = 85\) ms et une variance empirique corrigée \(s^2 = 400\) ms².

7. (2 pts) Justifier pourquoi on peut utiliser la loi normale pour construire un intervalle de confiance pour \(\mu\). Donner la loi approchée de \(\bar{X}_{100}\) et préciser ses paramètres.

8. (3 pts) Construire un intervalle de confiance à 95 % pour \(\mu\).

9. (3 pts) Construire un intervalle de confiance à 99 % pour \(\mu\).

10. (4 pts) En conservant \(s = 20\) ms comme estimation de \(\sigma\), quel effectif minimal \(n\) faut-il pour que la demi-largeur de l’IC à 95 % soit inférieure ou égale à 2 ms ?