Mathématiques financières · Module 1
Sans calculer — votez à main levée, puis justifiez.
Le montant le plus élevé n’est pas forcément le meilleur. Toute la journée tient dans cette question.
4 raisons → 1 seul paramètre : le taux d’actualisation \(i\)
À la fin de cette journée, vous saurez :
✏️ La ligne du temps avant toute formule.
| Question | Réponse |
|---|---|
| \(1{,}05^{10}\) ≈ ? | ≈ 1,629 |
| \(1{,}03^{-5}\) ≈ ? | ≈ 0,863 (soit \(1/1{,}03^5\)) |
| Résoudre \(x(1+i)^n = C\) | \(x = C/(1+i)^n = C(1+i)^{-n}\) |
| Combien vaut 1 000 € dans 3 ans à 4 % ? | \(1\,000 \times 1{,}04^3 ≈ 1\,124{,}86\) € |
Ces quatre gestes — puissances, puissances négatives, inversion, intuition — suffisent pour toute la journée.
Même taux, même durée… même résultat ?
Léa reçoit une prime de 10 000 €, inutile avant 10 ans. Deux placements à 3 % par an :
Le conseiller : « C’est le même taux, donc à peu près le même résultat. »
Quel écart au bout de 10 ans ?
Votre pronostic ① 0 € ② ≈ 50 € ③ ≈ 450 € ④ ≈ 2 000 €
10 000 + 300 = 10 300
10 300 + 300 = 10 600
10 600 + 300 = 10 900
On ajoute toujours le même montant.
10 000 × 1,03 = 10 300
10 300 × 1,03 = 10 609
10 609 × 1,03 = 10 927
On multiplie toujours par le même facteur.
Dès l’année 2, les intérêts produisent des intérêts.
| Année | « Simple » | « Cumul » | Écart |
|---|---|---|---|
| 0 | 10 000 | 10 000 | 0 |
| 1 | 10 300 | 10 300 | 0 |
| 2 | 10 600 | 10 609 | 9 |
| 3 | 10 900 | 10 927 | 27 |
| 5 | 11 500 | 11 593 | 93 |
| 8 | 12 400 | 12 668 | 268 |
| 10 | 13 000 | 13 439 | 439 |
Valeurs en €, arrondies.
en faveur de « Cumul » après 10 ans
Le conseiller se trompe : même taux ≠ même résultat.
Sur 20 ans : 18 061 € contre 16 000 €, soit un écart de 2 061 €. Durée × 2 → écart × 4,7
data_s2 = Array.from({length: duree_s2 + 1}, (_, t) => [
{t, valeur: 10000 * (1 + t * taux_s2), regime: "Intérêts simples"},
{t, valeur: 10000 * (1 + taux_s2) ** t, regime: "Intérêts composés"}
]).flat()
Plot.plot({
width: 900, height: 300, marginLeft: 70,
color: {domain: ["Intérêts simples", "Intérêts composés"], range: ["#5b9bdb", "#5bdb6d"], legend: true},
x: {label: "Années →"},
y: {label: "↑ Capital (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
marks: [
Plot.lineY(data_s2, {x: "t", y: "valeur", stroke: "regime", strokeWidth: 3}),
Plot.ruleY([10000], {stroke: "#8b8f9c", strokeDasharray: "4"}),
Plot.tip(data_s2, Plot.pointerX({x: "t", y: "valeur", stroke: "regime"}))
]
})\[C_n = C_0\,(1 + n\,i)\]
Intérêts : \(I = C_0\,n\,i\)
Base de calcul : capital initial \(C_0\)
Croissance linéaire
\[C_n = C_0\,(1 + i)^n\]
Intérêts : \(I = C_0\left[(1+i)^n - 1\right]\)
Base de calcul : capital courant \(C_{t-1}\)
Croissance exponentielle
\(C_0\) capital placé · \(i\) taux par période (en décimal) · \(n\) nombre de périodes
\[C_1 = C_0 + C_0\,i = C_0(1+i)\]
\[C_2 = C_1(1+i) = C_0(1+i)^2\]
\[C_3 = C_2(1+i) = C_0(1+i)^3\]
\[\vdots \qquad\qquad \boxed{C_n = C_0(1+i)^n}\]
20 000 € placés 5 ans à 4 % par an.
Simples
\[20\,000 \times (1 + 5 \times 0{,}04)\] \[= 20\,000 \times 1{,}20\] \[= \mathbf{24\,000\ €}\]
Composés
\[20\,000 \times 1{,}04^5\] \[= 20\,000 \times 1{,}21665\] \[\approx \mathbf{24\,333\ €}\]
L’écart de 333 € = les intérêts produits par les intérêts capitalisés.
Nuance : pour \(n < 1\) (fraction d’année), les intérêts simples donnent plus ; pour \(n > 1\), les composés l’emportent toujours.
« 3 % par an pendant 10 ans, cela fait 30 % de gain, quel que soit le placement. »
En composé, on multiplie 10 fois par 1,03 : \(1{,}03^{10} \approx 1{,}344\), soit + 34,4 %, et non 30 %.
En composé, on multiplie, on n’additionne pas.
Avant d’appliquer une formule, vérifiez :
1 000 € placés 2 ans à 10 %. Valeur acquise en simple ? En composé ? D’où vient l’écart ?
L’écart de 10 € = 10 % des 100 € d’intérêts de la 1re année : l’intérêt de l’intérêt.
Combien vaut aujourd’hui une somme future ?
Un client propose de vous régler :
Vous pouvez placer votre trésorerie sans risque à 5 % par an.
Quelle offre accepter ?
Votre choix
Capitalisation : « combien vaut un capital dans le futur ? »
Actualisation : « combien vaut un capital futur aujourd’hui ? »
1 050 € < 1 100 €
1 047,62 € > 1 000 €
✅ Même conclusion : accepter 1 100 € dans un an. Seuil : il faudrait un placement à plus de 10 % (1 100 / 1 000) pour inverser la décision.
On recule deux fois :
\[1\,100 \div 1{,}05 \div 1{,}05 = \frac{1\,100}{1{,}05^2} \approx 997{,}73\ €\]
997,73 € < 1 000 €
Les mêmes 1 100 € deviennent moins intéressants que 1 000 € immédiats.
Diviser par \((1+i)^n\), c’est remonter le temps.
\[V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n} = V_n\,(1+i)^{-n}\]
Capitaliser →
\[C_n = C_0 \times (1+i)^n\]
← Actualiser
\[V_0 = V_n \div (1+i)^n\]
Même calcul, sens opposé.
Équivalence financière — deux capitaux sont équivalents s’ils ont la même valeur à une date commune, au même taux.
Payer 48 000 € immédiatement, ou 52 000 € dans 2 ans ? Taux : 5 %.
\[VA = \frac{52\,000}{1{,}05^2} = \frac{52\,000}{1{,}1025} \approx 47\,166\ €\]
Le paiement différé coûte moins cher en valeur actuelle : il est financièrement préférable (toutes choses égales par ailleurs).
data_s3 = [0.02, taux_s3, 0.10].flatMap((r, k) =>
Array.from({length: 31}, (_, n) => ({
n, va: 1000 / (1 + r) ** n,
courbe: k === 1 ? `Votre taux : ${pct(r, 1)}` : (k === 0 ? "Référence 2 %" : "Référence 10 %")
}))
)
Plot.plot({
width: 900, height: 300, marginLeft: 60,
color: {legend: true, range: ["#8b8f9c", "#f0a500", "#555a68"]},
x: {label: "Date du flux (années) →"},
y: {label: "↑ Valeur actuelle de 1 000 € (€)", grid: true, domain: [0, 1000]},
marks: [
Plot.lineY(data_s3, {x: "n", y: "va", stroke: "courbe", strokeWidth: d => d.courbe.startsWith("Votre") ? 4 : 1.5}),
Plot.tip(data_s3.filter(d => d.courbe.startsWith("Votre")), Plot.pointerX({x: "n", y: "va"}))
]
})« 1 100 € dans un an, c’est plus que 1 000 € aujourd’hui, donc c’est forcément mieux. »
On compare deux montants à des dates différentes. Il faut d’abord les ramener à une date commune (actualiser ou capitaliser), puis comparer.
On ne compare et on n’additionne que des euros de même date.
Combien valent aujourd’hui 2 000 € reçus dans 3 ans, au taux de 4 % ?
\[V_0 = \frac{2\,000}{1{,}04^3} \approx 1\,777{,}99\ €\]
« 0,75 % par mois, c’est 9 % par an. » Vraiment ?
Vous empruntez 10 000 €, remboursés en une fois dans un an.
Le commercial de B : « 0,75 % × 12 = 9 %, c’est exactement pareil. »
Ces deux offres coûtent-elles vraiment la même chose ?
Votre avis Oui · B coûte plus cher · B coûte moins cher
| Mois | Dette chez B (×1,0075) | Si +75 €/mois |
|---|---|---|
| 0 | 10 000,00 | 10 000 |
| 1 | 10 075,00 | 10 075 |
| 2 | 10 150,56 | 10 150 |
| 3 | 10 226,69 | 10 225 |
| 6 | 10 458,52 | 10 450 |
| 9 | 10 695,61 | 10 675 |
| 12 | 10 938,07 | 10 900 |
Les intérêts mensuels passent de 75 € (mois 1) à 81,42 € (mois 12).
9,38 %
coût annuel réel chez B, et non 9 %
B coûte environ 38 € de plus que A.
\[i_m = \frac{i_a}{12}\]
\(9\,\% / 12 = 0{,}75\,\%\)
❌ Ignore les intérêts sur intérêts.
\[(1 + i_m)^{12} = 1 + i_a\]
\(1{,}09^{1/12} - 1 \approx 0{,}721\,\%\)
✅ Donne exactement 9 % sur un an.
Diviser donne le proportionnel, la racine donne l’équivalent.
Pour \(m\) sous-périodes par an :
Annuel → sous-période
\[i_p = (1 + i_a)^{1/m} - 1\]
Sous-période → annuel (taux effectif, TAEG)
\[i_a = (1 + i_p)^{m} - 1\]
Exemple — un taux mensuel de 0,5 % :
\[i_a = 1{,}005^{12} - 1 \approx \mathbf{6{,}17\,\%} \quad \text{(et non } 6\,\% \text{)}\]
Les 0,17 point = l’effet de la capitalisation mensuelle.
freqs_s4 = [
{f: "Annuelle", m: 1}, {f: "Semestrielle", m: 2}, {f: "Trimestrielle", m: 4},
{f: "Mensuelle", m: 12}, {f: "Hebdomadaire", m: 52}, {f: "Quotidienne", m: 365}
].map(d => ({...d, eff: (1 + taux_s4 / d.m) ** d.m - 1}))
Plot.plot({
width: 900, height: 300, marginLeft: 60,
x: {label: null, domain: freqs_s4.map(d => d.f)},
y: {label: "↑ Taux annuel effectif", tickFormat: d => pct(d, 1), grid: true,
domain: [taux_s4 * 0.97, (Math.exp(taux_s4) - 1) * 1.01]},
marks: [
Plot.barY(freqs_s4, {x: "f", y1: taux_s4 * 0.97, y2: "eff", fill: "#5bdb6d", fillOpacity: 0.8}),
Plot.text(freqs_s4, {x: "f", y: "eff", text: d => pct(d.eff), dy: -10, fill: "currentColor", fontSize: 14}),
Plot.ruleY([taux_s4], {stroke: "#f0a500", strokeDasharray: "4"})
]
})Taux proportionnel \(i_a/m\) capitalisé \(m\) fois par an. Pointillés : taux affiché.
| Conversion | Formule | Capitalisation prise en compte ? |
|---|---|---|
| Proportionnel | \(i_p = i_a / m\) | ❌ |
| Équivalent | \(i_p = (1+i_a)^{1/m} - 1\) | ✅ |
Quel est le taux trimestriel équivalent à 8 % par an ?
\[i_t = 1{,}08^{1/4} - 1 \approx 1{,}943\,\%\]
…et non \(8\,\% / 4 = 2\,\%\), qui est le taux proportionnel. Capitalisé 4 fois, 2 % par trimestre donnerait 8,24 % sur l’année.
Que vaut une suite de versements réguliers ?
Thomas veut un apport de 30 000 € dans 5 ans. Il peut épargner 5 000 € par an, en fin d’année, à 3 %.
5 × 5 000 = 25 000 € : il manque 5 000 € sur le papier… mais les intérêts travaillent.
Atteindra-t-il son objectif ?
Votre pronostic Oui, largement · Oui, de justesse · Non
| Question | Pour Thomas |
|---|---|
| 1. Quelle date d’évaluation ? | \(t = 5\), le jour de l’achat |
| 2. Flux en début ou en fin de période ? | Fin d’année |
| 3. Y a-t-il un différé ? | Non |
| 4. Taux et flux sur la même périodicité ? | Oui, annuels |
| 5. Capitaliser ou actualiser ? | Capitaliser (vers le futur) |
Barre = durée de placement : 4 ans, 3 ans, 2 ans, 1 an, 0 an. Valeur = \(5\,000 \times 1{,}03^{\text{durée}}\).
❌ Objectif manqué de 3 454 €. Les intérêts (1 545,68 €) ne comblent qu’une partie de l’écart. Il faudrait verser \(30\,000 / 26\,545{,}68 \times 5\,000 \approx\) 5 650,64 € par an.
\[5\,000 \times \left(1 + 1{,}03 + 1{,}03^2 + 1{,}03^3 + 1{,}03^4\right)\]
Une somme géométrique de raison \(1{,}03\) et de 5 termes vaut :
\[\frac{1{,}03^5 - 1}{0{,}03} \approx 5{,}30914 \quad\Rightarrow\quad 5\,000 \times 5{,}30914 \approx 26\,545{,}68\ €\]
On remplace \(5\,000 \to A\), \(3\,\% \to i\), \(5 \to n\) :
\[V_n = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]
Valeur acquise (à \(t = n\))
\[V_n = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]
Thomas : 26 545,68 €
Valeur actuelle (à \(t = 0\))
\[V_0 = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\]
Thomas : 22 898,54 €
Si \(i\) ↑ : \(V_n\) ↑ mais \(V_0\) ↓.
On actualise chaque versement, puis on additionne :
\[V_0 = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{A}{(1+i)^n}\]
Suite géométrique : 1er terme \(\dfrac{A}{1+i}\), raison \(\dfrac{1}{1+i}\), \(n\) termes.
\[V_0 = \frac{A}{1+i} \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{1 - \frac{1}{1+i}} = \boxed{A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}}\]
✔️ Contrôle : \(V_n = V_0 \times (1+i)^n\) — mêmes flux, vus à deux dates.
Verser 2 000 € en fin d’année pendant 4 ans, au taux de 5 %.
Valeur actuelle
\[2\,000 \times \frac{1 - 1{,}05^{-4}}{0{,}05}\] \[= 2\,000 \times 3{,}54595 \approx \mathbf{7\,091{,}90\ €}\]
Valeur acquise
\[2\,000 \times \frac{1{,}05^{4} - 1}{0{,}05}\] \[= 2\,000 \times 4{,}31013 \approx \mathbf{8\,620{,}25\ €}\]
Vérification : \(7\,091{,}90 \times 1{,}05^4 \approx 8\,620{,}25\) € ✔️
data_s5 = Array.from({length: n_s5}, (_, k) => {
const t = k + 1
const total = i_s5 === 0 ? A_s5 * t : A_s5 * ((1 + i_s5) ** t - 1) / i_s5
return [
{t, part: "Versements cumulés", montant: A_s5 * t},
{t, part: "Intérêts cumulés", montant: total - A_s5 * t}
]
}).flat()
Plot.plot({
width: 900, height: 260, marginLeft: 70,
color: {domain: ["Versements cumulés", "Intérêts cumulés"], range: ["#5b9bdb", "#5bdb6d"], legend: true},
x: {label: "Année →"},
y: {label: "↑ Valeur acquise (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
marks: [
Plot.barY(data_s5, {x: "t", y: "montant", fill: "part", tip: true}),
Plot.ruleY([0])
]
})Chaque versement est avancé d’une période → il travaille une période de plus.
\[V_n^{\text{début}} = V_n^{\text{fin}} \times (1+i) \qquad V_0^{\text{début}} = V_0^{\text{fin}} \times (1+i)\]
Thomas, s’il versait en début d’année : \(26\,545{,}68 \times 1{,}03 \approx\) 27 342 €
« Il y a 5 versements, donc la formule s’applique telle quelle, que l’on verse en début ou en fin d’année. »
La formule standard suppose des versements en fin de période. En début de période, chaque versement travaille une année de plus : on multiplie par \((1+i)\).
Dessine la ligne du temps : où tombe le premier flux ?
Les versements commencent après \(d\) périodes :
Deux étapes, une ligne du temps.
Quand \(n \to \infty\), \((1+i)^{-n} \to 0\) :
\[V_0 = \frac{A}{i}\]
Croissante au taux \(g < i\) : \(V_0 = \dfrac{A_1}{i - g}\) (Gordon-Shapiro)
Exemple : 1 000 € par an pour toujours, à 4 % → \(1\,000 / 0{,}04 =\) 25 000 €. Si \(g \to i\), la valeur explose.
Un bien rapporte un loyer de 600 € par an, pour toujours. Au taux de 3 %, quel prix maximal payer aujourd’hui ?
\[V_0 = \frac{600}{0{,}03} = 20\,000\ €\]
Une PME verse 2 000 € pendant 4 ans, mais en début d’année. Valeur actuelle ?
\[7\,091{,}90 \times 1{,}05 \approx 7\,446{,}50\ €\]
De la formule à la décision.
Une entreprise veut disposer de 500 000 € dans 8 ans pour remplacer son système d’information. Versements en fin d’année, placement à 3,5 %.
Quel versement annuel prévoir ?
On cherche \(A\) tel que \(V_8 = 500\,000\) :
\[A = V_n \times \frac{i}{(1+i)^n - 1}\]
\[A = 500\,000 \times \frac{0{,}035}{1{,}035^8 - 1} = 500\,000 \times \frac{0{,}035}{0{,}316809}\]
≈ 55 238 € / an
✔️ Contrôle : \(55\,238 \times \dfrac{1{,}035^8 - 1}{0{,}035} \approx 500\,000\) €. Tout modèle Excel doit avoir sa cellule de contrôle.
| Scénario | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Référence (fin d’année, 3,5 %) | \(500\,000 \times \frac{0{,}035}{1{,}035^8 - 1}\) | 55 238 €/an |
| Versements en début d’année | \(55\,238 / 1{,}035\) | 53 370 €/an (− 1 868 €) |
| Taux limité à 2 % | \(500\,000 \times \frac{0{,}02}{1{,}02^8 - 1}\) | 58 255 €/an (+ 3 017 €) |
| Versement imposé : 50 000 € | \(50\,000 \times \frac{1{,}035^8 - 1}{0{,}035}\) | 452 584 € (manque 47 416 €) |
Ce qu’il faut retenir.
\(C_n = C_0(1+i)^n\)
On multiplie par \((1+i)\) à chaque période.
\(V_0 = V_n\,(1+i)^{-n}\)
On divise par \((1+i)\) à chaque période.
Proportionnel : \(i_p = i_a/m\)
Équivalent : \(i_p = (1+i_a)^{1/m} - 1\)
Fin : \(V_0 = A\,\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\)
Début : \(\times (1+i)\) · Perpétuité : \(A/i\)
Du plus direct au plus ouvert.
1.1 — 15 000 € placés 6 ans à 3 % (composés). Valeur acquise ?
\(C_6 = 15\,000 \times 1{,}03^6 \approx\) 17 911 €
1.2 — Quelle somme placer aujourd’hui pour obtenir 25 000 € dans 4 ans à 4,5 % ?
\(V_0 = 25\,000 / 1{,}045^4 \approx\) 20 964 €
1.3 — Taux annuel effectif d’un taux mensuel de 0,8 % ?
\(i_a = 1{,}008^{12} - 1 \approx\) 10,03 % (et non 9,6 %, taux proportionnel)
| Offre | Taux affiché | Capitalisation |
|---|---|---|
| A | 4,8 % | mensuelle, taux proportionnel (0,4 %/mois) |
| B | 4,7 % | annuelle |
| C | 4,6 % | trimestrielle, taux proportionnel (1,15 %/trim.) |
Quelle offre est la plus avantageuse ?
🏆 A > B > C — A l’emporte malgré un taux affiché inférieur à B, grâce à sa capitalisation mensuelle.
Un cadre de 35 ans verse 800 €/mois en fin de mois pendant 30 ans, à 3 % par an.
Théorie complète, démonstrations, exemples et corrections détaillées :
→ Module 1 : Valeur temps de l’argent
Un euro n’a de valeur qu’à une date donnée.