Formulaire — Mathématiques financières
Les 10 formules essentielles du cours, à consulter lors des exercices et à maîtriser avant l’évaluation finale.
Ce formulaire est le pendant du glossaire. Il ne contient que les formules — chaque terme est défini dans le glossaire.
- Tracez la ligne du temps.
- Vérifiez que le taux \(i\) et la durée \(n\) sont sur la même périodicité.
- Distinguez capitalisation (aller vers le futur) et actualisation (revenir vers le présent).
- Contrôlez le résultat par la formule inverse.
1. Capitalisation
\[\boxed{V_n = V_0 \,(1+i)^n}\]
| Symbole | Signification |
|---|---|
| \(V_0\) | Capital de départ (à la date 0) |
| \(V_n\) | Capital acquis après \(n\) périodes |
| \(i\) | Taux d’intérêt périodique (en décimal) |
| \(n\) | Nombre de périodes |
2. Actualisation
\[\boxed{V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n} = V_n \,(1+i)^{-n}}\]
3. Taux équivalent
\[\boxed{i_p = (1+i_a)^{1/m} - 1}\]
| Symbole | Signification |
|---|---|
| \(i_p\) | Taux périodique (sous-période) |
| \(i_a\) | Taux annuel de référence |
| \(m\) | Nombre de sous-périodes par an |
Exemples : - Taux mensuel : \(i_m = (1+i_a)^{1/12} - 1\) - Taux trimestriel : \(i_t = (1+i_a)^{1/4} - 1\) - Taux annuel à partir d’un taux périodique : \(i_a = (1+i_p)^m - 1\)
4. Valeur acquise d’annuités constantes
\[\boxed{V_n = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}}\]
(Annuités de fin de période.) Pour des annuités de début de période, multiplier par \((1+i)\).
5. Valeur actuelle d’annuités constantes
\[\boxed{V_0 = A \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}}\]
(Annuités de fin de période.) Pour des annuités de début de période, multiplier par \((1+i)\).
Perpétuité (\(n \to \infty\)) :
\[V_0 = \frac{A}{i}\]
Perpétuité croissante au taux \(g\) (\(i > g\)) :
\[V_0 = \frac{A_1}{i - g}\]
6. Annuité d’un emprunt
\[\boxed{A = C_0 \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}}\]
| Symbole | Signification |
|---|---|
| \(A\) | Annuité constante |
| \(C_0\) | Capital emprunté |
| \(i\) | Taux périodique |
| \(n\) | Nombre d’échéances |
Structure d’une échéance \(t\) :
\[I_t = CRD_{t-1} \times i \qquad Am_t = A - I_t \qquad CRD_t = CRD_{t-1} - Am_t\]
7. Prix d’une obligation
\[\boxed{P_0 = C \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} + \frac{N}{(1+r)^n}}\]
| Symbole | Signification |
|---|---|
| \(P_0\) | Prix de l’obligation |
| \(C\) | Coupon annuel (\(= N \times\) taux facial) |
| \(N\) | Nominal |
| \(r\) | Taux de marché (rendement exigé) |
| \(n\) | Maturité résiduelle |
Duration modifiée : \(D^* = D_M / (1+r)\)
Approximation de la variation de prix : \(\Delta P / P \approx -D^* \cdot \Delta r\)
8. Valeur actuelle nette
\[\boxed{VAN = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+k)^t}}\]
| Symbole | Signification |
|---|---|
| \(I_0\) | Investissement initial (flux à \(t = 0\)) |
| \(CF_t\) | Flux de trésorerie net à la période \(t\) |
| \(k\) | Taux d’actualisation (CMPC ou taux exigé) |
Indice de profitabilité : \(IP = 1 + VAN / I_0\)
9. Taux de rentabilité interne
\[\boxed{0 = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+TRI)^t}}\]
Le TRI est le taux \(r\) qui annule la VAN. Il se calcule numériquement (Excel : TRI(flux0:fluxn)).
Règle de décision : accepter si \(TRI > k\).
10. Annuité équivalente
\[\boxed{AE = VAN \times \frac{k}{1-(1+k)^{-n}}}\]
Permet de comparer des projets de durées différentes sur une base annuelle homogène.
Récapitulatif des fonctions Excel
| Besoin | Fonction | Arguments principaux |
|---|---|---|
| Valeur actuelle d’un capital | VA(taux;npm;vpm) |
taux = \(i\), npm = \(n\), vpm = \(-A\) |
| Valeur future d’un capital | VC(taux;npm;vpm) |
idem |
| Annuité d’un emprunt | VPM(taux;npm;va) |
va = \(C_0\) (positif) |
| Taux actuariel | TAUX(npm;vpm;va) |
va = montant net reçu |
| VAN (flux variables) | VAN(taux;flux1:fluxn) + flux0 |
Ne pas inclure \(-I_0\) dans la plage VAN |
| TRI | TRI(flux0:fluxn) |
Inclure \(-I_0\) comme premier flux |
Les sorties de trésorerie (remboursements, investissement) sont saisies en négatif ; les entrées (montant reçu, revenus) en positif. Utiliser la même convention dans tout le modèle.