Journée 2 — Emprunts et obligations

Modifié

4 octobre 2026

Résumé

Comment mesurer le coût réel d’un financement et valoriser une dette ? Cette journée couvre les tableaux d’amortissement, le taux actuariel et la valorisation des obligations à taux fixe.

Objectifs de la journée

À la fin de cette journée, vous serez capables de :

construire un tableau d’amortissement à annuités constantes ou à amortissement constant ;
distinguer intérêt, amortissement et annuité à chaque échéance ;
comparer plusieurs modalités de remboursement sur les critères coût total, trésorerie et risque ;
calculer le taux actuariel d’un emprunt intégrant des frais ;
valoriser une obligation à taux fixe ;
mesurer la sensibilité du prix d’une obligation aux variations de taux (duration de Macaulay, duration modifiée).

Séquence 1 — Réactivation des acquis

Durée : 30 minutes

Erreurs fréquentes issues de la Journée 1

Erreurs à corriger avant de continuer

Confusion capitalisation / actualisation : « capitaliser » va vers le futur (\(C_n = C_0(1+i)^n\)) ; « actualiser » revient au présent (\(V_0 = V_n / (1+i)^n\)).
Oubli de convertir le taux : un tableau trimestriel avec un taux annuel exige la conversion en taux trimestriel équivalent.
Décalage d’une période : vérifier si le premier versement est en début ou en fin de période avant d’appliquer les formules d’annuités.
Pourcentage non converti : \(i = 5\,\%\) → utiliser \(0{,}05\), pas \(5\).

Quiz de réactivation

Répondez sans calculatrice (ordre de grandeur suffisant) :

Un capital de 10 000 € placé 3 ans à 4 % vaut environ combien ?
Quelle est la valeur actuelle de 12 000 € reçus dans 2 ans au taux 6 % ?
Taux mensuel équivalent à 6 % annuel (résultat approché) ?
Valeur actuelle d’une perpétuité de 500 €/an au taux 5 % ?

Réponses

\(10\,000 \times (1{,}04)^3 \approx 11\,249\) €
\(12\,000 / (1{,}06)^2 \approx 10\,680\) €
\((1{,}06)^{1/12} - 1 \approx 0{,}487\,\%\) (≈ 0,5 %)
\(500 / 0{,}05 = 10\,000\) €

Séquence 2 — Emprunt amortissable à annuités constantes

Durée : 1 heure 15

Intuition économique

Lorsqu’une entreprise ou un particulier emprunte, chaque échéance remplit deux fonctions simultanées : payer les intérêts de la période et rembourser une partie du capital. Le tableau d’amortissement rend visible cette décomposition.

Représentation (ligne du temps)

t = 0          t = 1     t = 2     ...    t = n
  |              |         |               |
 C₀             A         A               A
(montant        (annuité  constante = Intérêts + Amortissement)
 emprunté)

Formule de l’annuité constante

Formule — Annuité d’un emprunt à annuités constantes

Pour un emprunt \(C_0\), taux périodique \(i\), \(n\) échéances :

\[C_0 = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \quad \Longrightarrow \quad A = C_0 \cdot \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}\]

Lecture : \(A\) est l’annuité constante qui rembourse exactement le capital \(C_0\) en \(n\) versements au taux \(i\).

Démonstration — L’annuité est la valeur actuelle inverse

Le montant emprunté \(C_0\) est la valeur actuelle de toutes les annuités :

\[C_0 = A \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\]

On isole \(A\) :

\[A = C_0 \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\]

C’est l’inversion directe de la formule de valeur actuelle des annuités de fin de période.

Structure d’une échéance

À la période \(t\) :

Composante	Formule
Intérêts \(I_t\)	\(CRD_{t-1} \times i\)
Amortissement \(Am_t\)	\(A - I_t\)
Capital restant dû \(CRD_t\)	\(CRD_{t-1} - Am_t\)

Exemple résolu — Tableau d’amortissement

Emprunt de 100 000 € sur 5 ans au taux annuel de 4 %, à annuités constantes.

Calcul de l’annuité :

\[A = 100\,000 \times \frac{0{,}04}{1-(1{,}04)^{-5}} = 100\,000 \times \frac{0{,}04}{0{,}17877} \approx 22\,463 \text{ €}\]

Tableau d’amortissement :

Période	CRD début	Intérêts	Amortissement	Annuité	CRD fin
1	100 000	4 000	18 463	22 463	81 537
2	81 537	3 261	19 202	22 463	62 335
3	62 335	2 493	19 970	22 463	42 365
4	42 365	1 695	20 768	22 463	21 597
5	21 597	864	21 599	22 463	0*

*Légère différence due aux arrondis (≈ −2 € par ajustement).

Coût total des intérêts : \(22\,463 \times 5 - 100\,000 = 12\,315\) €

Lecture économique du tableau

En début d’emprunt : les intérêts sont élevés (base = capital total) ; l’amortissement est faible.
En fin d’emprunt : les intérêts diminuent (CRD réduit) ; l’amortissement représente la quasi-totalité de l’annuité.
L’annuité reste constante, mais sa composition change chaque année.

Séquence 3 — Autres modalités de remboursement

Durée : 1 heure

A. Amortissement constant

Formule — Amortissement constant

\[Am = \frac{C_0}{n} \quad \text{(identique à chaque période)}\]

L’annuité est décroissante :

\[A_t = Am + I_t = \frac{C_0}{n} + CRD_{t-1} \times i\]

Lecture : le capital est remboursé à parts égales ; les intérêts baissent car le CRD diminue régulièrement. Les premières échéances sont plus élevées qu’avec des annuités constantes.

B. Emprunt in fine

Le capital est remboursé intégralement à la dernière échéance.

Pendant la durée de l’emprunt (\(t < n\)) :

\[I_t = C_0 \times i \quad \text{(intérêts sur le capital total)}\]

À la dernière période (\(t = n\)) :

\[Flux_n = C_0 \times i + C_0 = C_0 \times (1 + i)\]

Risque spécifique à l’emprunt in fine

L’emprunteur doit être certain de disposer de \(C_0\) à l’échéance (souvent via une épargne parallèle ou une cession d’actif). Le risque de refinancement est concentré sur la dernière période.

C. Différé d’amortissement

Différé partiel : pendant la période de différé, l’emprunteur paie les intérêts mais n’amortit pas le capital.

Différé total : aucun flux pendant la période de différé ; les intérêts sont capitalisés et s’ajoutent au capital. À la fin du différé, le nouveau capital à rembourser est \(C_0 (1+i)^d\) où \(d\) est la durée du différé.

Comparaison des modalités

Modalité	Avantage principal	Inconvénient principal
Annuités constantes	Stabilité budgétaire	Coût d’intérêt significatif en début
Amortissement constant	Coût total généralement inférieur	Échéances initiales plus élevées
In fine	Faibles sorties de trésorerie pendant la durée	Risque élevé à l’échéance
Différé	Soulage la trésorerie initiale	Augmente souvent le coût total

Séquence 4 — Coût réel du crédit et taux actuariel

Durée : 1 heure

A. Limite du taux nominal

Le taux nominal ne suffit pas à mesurer le coût réel lorsque l’emprunt comporte des frais annexes :

frais de dossier ;
commissions de garantie ;
primes d’assurance emprunteur ;
versement initial (points) ;
pénalités de remboursement anticipé.

B. Principe du taux actuariel

Définition — Taux actuariel (ou TAEG)

Le taux actuariel \(r\) est le taux qui égalise le montant net effectivement reçu par l’emprunteur et la valeur actuelle de tous les flux futurs (remboursements + frais) qu’il devra verser :

\[\text{Montant net reçu} = \sum_{t=1}^{n} \frac{Flux_t}{(1+r)^t}\]

Lecture : \(r\) est le « vrai » coût de l’emprunt, tenant compte de tous les flux effectifs, quelle que soit leur date.

Calcul pratique — Fonctions Excel

Besoin	Fonction Excel	Argument clé
Valeur actuelle	`VA(taux;npm;vpm)`	Convention de signe
Valeur future	`VC(taux;npm;vpm)`	Idem
Annuité	`VPM(taux;npm;va)`	`va` = montant emprunté
Taux actuariel	`TAUX(npm;vpm;va)`	`va` = montant net reçu
VAN générale	`VAN(taux;flux1:fluxn)` + flux initial	Exclure le flux à \(t=0\)
TRI	`TRI(flux0:fluxn)`	Inclure le flux à \(t=0\)

Conventions de signe dans Excel

Les sorties de trésorerie (remboursements) sont négatives ; les entrées (montant reçu) sont positives. Utiliser la même convention tout au long du modèle — ne jamais mélanger.

Exemple résolu — Taux actuariel avec frais

Emprunt nominal : 100 000 €, taux facial 4 %, durée 5 ans, frais de dossier 2 000 € prélevés à l’origine.

Montant net reçu : \(100\,000 - 2\,000 = 98\,000\) €

Annuité inchangée : \(A \approx 22\,463\) € (calculée sur 100 000 €)

Le taux actuariel \(r\) vérifie :

\[98\,000 = 22\,463 \cdot \frac{1-(1+r)^{-5}}{r}\]

Résolution numérique (Excel TAUX) : \(r \approx 4{,}46\,\%\)

Le coût réel (4,46 %) est supérieur au taux nominal (4 %) car les frais réduisent le montant effectivement disponible sans réduire les remboursements.

Séquence 5 — Introduction aux obligations

Durée : 1 heure

A. Vocabulaire obligataire

Définitions clés

Terme	Définition
Valeur nominale \(N\)	Capital de référence sur lequel sont calculés les coupons
Prix d’émission	Prix auquel l’obligation est émise (peut différer de \(N\))
Prix de remboursement	Montant versé à l’échéance (souvent = \(N\))
Coupon \(C\)	Intérêt versé chaque période (\(C = N \times t_{\text{facial}}\))
Taux facial	Taux d’intérêt nominal de l’obligation
Maturité \(n\)	Durée restant jusqu’au remboursement
Rendement actuariel \(r\)	Taux qui égalise prix et valeur actuelle des flux
Prime / Décote	Prix \(>\) \(N\) : prime (surcote) ; prix \(<\) \(N\) : décote (escompte)

B. Valorisation d’une obligation à taux fixe

Formule — Prix d’une obligation

\[P_0 = C \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} + \frac{N}{(1+r)^n}\]

où \(r\) est le taux de marché (rendement exigé) et \(C\) le coupon annuel.

Lecture : le prix \(P_0\) est la valeur actuelle de deux composantes : (1) la rente de coupons et (2) le remboursement du nominal à maturité.

Démonstration — Décomposition du prix

\[P_0 = \underbrace{\sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+r)^t}}_{\text{rente de coupons}} + \underbrace{\frac{N}{(1+r)^n}}_{\text{remboursement du nominal}}\]

La rente de coupons est une annuité constante ; sa valeur actuelle est \(C \cdot (1-(1+r)^{-n})/r\). Le remboursement du nominal est un flux unique actualisé sur \(n\) périodes.

C. Relation prix – taux de marché

Règle fondamentale — Relation inverse prix / taux

Situation	Effet sur le prix
Taux de marché \(r\) augmente	Prix \(P_0\) diminue
Taux de marché \(r\) diminue	Prix \(P_0\) augmente
\(r\) = taux facial	\(P_0 \approx N\) (obligation au pair)
\(r\) < taux facial	\(P_0 > N\) (prime)
\(r\) > taux facial	\(P_0 < N\) (décote)

La relation est non linéaire (convexe) : une baisse de taux d’un point augmente le prix plus qu’une hausse de taux d’un point ne le baisse.

D. Obligation zéro-coupon

Pas de versement intermédiaire : l’obligation ne rembourse que \(N\) à maturité.

\[P_0 = \frac{N}{(1+r)^n}\]

C’est l’actualisation pure d’un flux unique.

Démonstration interactive — Prix obligataire et taux de marché

viewof coupon = Inputs.range([0, 100], {
  value: 50, step: 1,
  label: "Coupon annuel C (€)"
})
viewof nominal = Inputs.range([500, 2000], {
  value: 1000, step: 100,
  label: "Nominal N (€)"
})
viewof maturite = Inputs.range([1, 20], {
  value: 10, step: 1,
  label: "Maturité n (années)"
})
viewof r_ref = Inputs.range([0.01, 0.15], {
  value: 0.05, step: 0.001,
  label: "Taux de marché de référence r"
})

bondPrice = (r) =>
  coupon * (1 - (1 + r) ** -maturite) / r + nominal * (1 + r) ** -maturite

curve = Array.from({length: 141}, (_, k) => {
  const r = 0.01 + k * 0.001
  return {r, prix: bondPrice(r)}
})

P0    = bondPrice(r_ref)
tFacial = coupon / nominal
status = Math.abs(P0 - nominal) < 1
  ? "Au pair"
  : P0 > nominal
    ? `Prime (+${(P0 - nominal).toFixed(0)} €)`
    : `Décote (${(P0 - nominal).toFixed(0)} €)`

md`**Prix P₀ = ${P0.toFixed(2)} €** au taux ${(r_ref*100).toFixed(2)} % — *${status}* | Taux facial : ${(tFacial*100).toFixed(2)} %`

Plot.plot({
  title: "Courbe prix-taux de l'obligation",
  marks: [
    Plot.lineY(curve, {x: "r", y: "prix", stroke: "steelblue", strokeWidth: 2}),
    Plot.dot([{r: r_ref, prix: P0}], {x: "r", y: "prix", fill: "red", r: 6, tip: true}),
    Plot.ruleY([nominal], {stroke: "gray", strokeDasharray: "4 4"}),
    Plot.ruleX([tFacial], {stroke: "orange", strokeDasharray: "4 4"})
  ],
  x: {label: "Taux de marché r", tickFormat: "%", grid: true},
  y: {label: "Prix P₀ (€)", grid: true},
  color: {legend: false},
  marginBottom: 40
})

Lire la démonstration

La courbe bleue montre \(P_0(r)\) : elle est décroissante et convexe.
Le point rouge est le prix au taux de référence choisi.
La ligne grise pointillée marque le nominal \(N\).
La ligne orange pointillée marque le taux facial : à ce taux \(r\), l’obligation cote au pair.

Séquence 6 — Sensibilité obligataire

Durée : 45 minutes

A. Duration de Macaulay

Définition — Duration de Macaulay \(D_M\)

La duration est la durée de vie moyenne pondérée des flux de l’obligation, pondérée par leurs valeurs actuelles :

\[D_M = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1+r)^t}}{P_0}\]

Lecture : \(D_M\) mesure la sensibilité économique de l’obligation. Plus la duration est longue, plus l’obligation est sensible aux variations de taux.

B. Duration modifiée

Formule — Duration modifiée \(D^*\)

\[D^* = \frac{D_M}{1 + r}\]

Approximation de la variation de prix :

\[\frac{\Delta P}{P} \approx -D^* \cdot \Delta r\]

Lecture : si \(D^* = 4\) et le taux augmente de 1 point de pourcentage (\(\Delta r = 0{,}01\)), le prix baisse d’environ \(4\,\%\).

Démonstration — Lien entre duration modifiée et dérivée du prix

Le prix est une fonction du taux : \(P(r) = \sum CF_t(1+r)^{-t}\).

Sa dérivée par rapport à \(r\) :

\[\frac{dP}{dr} = -\sum_{t=1}^n t \cdot \frac{CF_t}{(1+r)^{t+1}} = -\frac{1}{1+r} \sum_{t=1}^n t \cdot \frac{CF_t}{(1+r)^t} = -\frac{D_M \cdot P}{1+r} = -D^* \cdot P\]

D’où l’approximation linéaire : \[\Delta P \approx \frac{dP}{dr} \cdot \Delta r = -D^* \cdot P \cdot \Delta r \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta P}{P} \approx -D^* \cdot \Delta r\]

Limites de la duration

La relation prix-taux est convexe (non linéaire). La duration modifiée fournit une approximation locale (tangente) valable pour de petites variations de taux. Pour de grandes variations, la convexité doit être prise en compte — elle joue toujours en faveur de l’investisseur (le prix remonte plus vite qu’il ne baisse pour une même amplitude de variation de taux).

Séquence 7 — Étude de cas : choisir un financement

Durée : 1 heure

Situation

Une PME doit financer un équipement industriel de 600 000 €. Trois établissements proposent :

Banque A : emprunt à annuités constantes, taux 3,8 %, durée 7 ans.

Banque B : amortissement constant, taux 3,5 %, durée 7 ans.

Banque C : prêt in fine, taux 3,2 %, durée 7 ans, mais frais initiaux de 6 000 €.

Travail demandé

Pour chaque financement :

Calculez l’annuité (ou le flux) de la première et de la dernière échéance.
Calculez le coût total des intérêts sur la durée.
Pour la Banque C, calculez le taux actuariel (intégrant les frais).
Comparez la pression sur la trésorerie en année 1 et en année 7.
Identifiez les risques propres à chaque modalité.
Rédigez une recommandation d’une page justifiant le choix retenu.

Éléments de correction

Correction indicative

Banque A — Annuités constantes à 3,8 % sur 7 ans :

\[A = 600\,000 \times \frac{0{,}038}{1-(1{,}038)^{-7}} \approx 100\,979 \text{ €/an}\]

Coût total des intérêts : \(100\,979 \times 7 - 600\,000 \approx 106\,853\) €

Banque B — Amortissement constant à 3,5 % sur 7 ans :

\(Am = 600\,000 / 7 \approx 85\,714\) €

Année 1 : \(A_1 = 85\,714 + 600\,000 \times 0{,}035 = 85\,714 + 21\,000 = 106\,714\) €

Année 7 : \(A_7 = 85\,714 + 85\,714 \times 0{,}035 \approx 88\,714\) €

Coût total des intérêts : \(\sum I_t = 0{,}035 \times 600\,000 \times (7+1)/2 = 84\,000\) € (somme des intérêts d’une série arithmétique)

Banque C — In fine à 3,2 %, frais 6 000 € :

Flux annuels : \(600\,000 \times 0{,}032 = 19\,200\) €

Flux final : \(19\,200 + 600\,000 = 619\,200\) €

Montant net reçu : \(594\,000\) €

Taux actuariel \(r\) tel que : \[594\,000 = 19\,200 \cdot \frac{1-(1+r)^{-7}}{r} + \frac{600\,000}{(1+r)^7}\] → \(r \approx 3{,}31\,\%\) (résolution numérique)

Recommandation possible :

Banque B offre le coût total le plus faible (84 000 € d’intérêts vs 107 000 € pour A). La pression trésorerie en année 1 est légèrement supérieure (~107 000 € vs ~101 000 €), mais si la PME dispose de flux d’exploitation suffisants, c’est la solution la plus économique. La Banque C présente un risque de refinancement à l’échéance (600 000 € à rembourser) ; elle ne se justifie que si la PME a un projet de cession d’actif planifié à 7 ans.

Exercices

Niveau 1 — Application directe

Exercice 1.1 — Calculez l’annuité d’un emprunt de 50 000 € sur 4 ans au taux annuel de 5 %.

Solution 1.1

\[A = 50\,000 \times \frac{0{,}05}{1-(1{,}05)^{-4}} = 50\,000 \times \frac{0{,}05}{0{,}17729} \approx 14\,101 \text{ €}\]

Exercice 1.2 — Une obligation de nominal 1 000 €, coupon annuel 40 €, maturité 3 ans, est évaluée à un taux de marché de 6 %. Quel est son prix ? Est-elle en prime ou en décote ?

Solution 1.2

\[P_0 = 40 \cdot \frac{1-(1{,}06)^{-3}}{0{,}06} + \frac{1\,000}{(1{,}06)^3} = 40 \times 2{,}6730 + 839{,}62 = 106{,}92 + 839{,}62 = 946{,}54 \text{ €}\]

\(P_0 = 946{,}54 < 1\,000\) → décote (taux de marché 6 % > taux facial 4 %).

Niveau 2 — Problème contextualisé

Exercice 2.1 — Un particulier contracte un prêt immobilier de 200 000 € sur 20 ans au taux mensuel équivalent à 2,4 % annuel. Frais de garantie : 1 500 € prélevés à l’origine.

Calculez le taux mensuel équivalent.
Calculez la mensualité constante.
Calculez le taux actuariel mensuel puis annuel.

Solution 2.1

1. Taux mensuel équivalent : \[i_m = (1{,}024)^{1/12} - 1 \approx 0{,}1980\,\%\]

2. Mensualité (\(n = 240\) mois) : \[A = 200\,000 \times \frac{0{,}001980}{1-(1{,}001980)^{-240}} \approx 200\,000 \times 0{,}004674 \approx 934{,}8 \text{ €/mois}\]

3. Taux actuariel :

Montant net reçu : \(198\,500\) €

On cherche \(r_m\) tel que \(198\,500 = 934{,}8 \times (1-(1+r_m)^{-240})/r_m\)

→ \(r_m \approx 0{,}2001\,\%\) mensuel → \(r_a = (1{,}002001)^{12} - 1 \approx 2{,}43\,\%\) annuel

Le TAEG réel est légèrement supérieur au taux affiché.

Niveau 3 — Étude de cas

Cas — Analyse obligataire

Un gestionnaire de portefeuille détient une obligation de nominal 5 000 €, taux facial 3 %, maturité 8 ans, achetée au pair (taux de marché = 3 %). Les taux remontent brusquement de +150 points de base (à 4,5 %).

Calculez le nouveau prix de l’obligation.
Calculez la duration de Macaulay (vous pouvez supposer que la duration d’une obligation au pair de maturité \(n\) ans, taux \(i\), est approchée par \(D_M \approx (1+i)/i \cdot (1-(1+i)^{-n})\) — sinon, calculez-la explicitement).
Estimez la variation de prix par la duration modifiée et comparez à la variation réelle.
Que concluez-vous sur la convexité ?

Correction

1. Nouveau prix à 4,5 % : \[P_{\text{nouveau}} = 150 \cdot \frac{1-(1{,}045)^{-8}}{0{,}045} + \frac{5\,000}{(1{,}045)^8}\] \[= 150 \times 6{,}5959 + 5\,000 \times 0{,}7032 = 989{,}39 + 3\,516 = 4\,505{,}4 \text{ €}\]

Variation réelle : \(4\,505{,}4 - 5\,000 = -494{,}6\) € (soit \(-9{,}89\,\%\))

2. Duration de Macaulay (calcul explicite) :

Pour une obligation au pair (\(r\) = taux facial = 3 %, \(C = 150\) €, \(N = 5\,000\), \(P_0 = 5\,000\)) :

\[D_M = \frac{1}{5\,000} \sum_{t=1}^{8} t \cdot \frac{150}{(1{,}03)^t} + 8 \cdot \frac{5\,000}{(1{,}03)^8}\]

Calcul numérique → \(D_M \approx 7{,}11\) ans

3. Estimation par la duration modifiée :

\[D^* = \frac{7{,}11}{1{,}03} \approx 6{,}90\]

\[\frac{\Delta P}{P} \approx -6{,}90 \times 0{,}015 = -10{,}35\,\%\]

Variation estimée : \(-10{,}35\,\% \times 5\,000 = -517{,}5\) €

4. Conclusion sur la convexité :

La duration surestime la baisse de prix (\(-517\) € estimés vs \(-495\) € réels). L’écart (\(22\) €) est dû à la convexité positive de la courbe prix-taux : la relation réelle est plus douce que la tangente linéaire, toujours en faveur de l’investisseur.