Journée 3 — Choix d’investissement

Résumé

Comment décider aujourd’hui d’un investissement dont les effets financiers s’étendent sur plusieurs années ? Cette journée couvre la construction des flux de trésorerie, la VAN, le TRI et l’analyse du risque.

Objectifs de la journée

À la fin de cette journée, vous serez capables de :

• construire les flux de trésorerie différentiels d’un projet d’investissement ;
• calculer et interpréter la valeur actuelle nette (VAN) ;
• calculer et discuter les limites du taux de rentabilité interne (TRI) ;
• utiliser le délai de récupération simple et actualisé ;
• comparer correctement des projets de durées ou de tailles différentes ;
• mener une analyse de sensibilité et raisonner par scénarios ;
• formuler une recommandation d’investissement argumentée.

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Séquence 1 — Construction des flux de trésorerie

Durée : 1 heure

Intuition économique

Principe fondamental

Une décision d’investissement se fonde sur les flux de trésorerie différentiels — les encaissements et décaissements supplémentaires générés par le projet — et non sur le résultat comptable.

Pourquoi ? Les amortissements comptables sont une charge non décaissée ; ils réduisent le résultat mais ne constituent pas une sortie de trésorerie. Seuls les flux réels comptent pour la décision financière.

Représentation (ligne du temps)

t = 0          t = 1       t = 2    ...    t = n
  |              |           |               |
 −I₀            CF₁         CF₂            CFₙ + VR − ΔBFR
(investissement) (flux d'exploitation)     (flux terminal)

A. Flux initial (\(t = 0\))

Le flux initial peut comprendre :

• prix d’acquisition de l’actif ;
• frais d’installation et de mise en service ;
• coûts de formation directement liés au projet ;
• produit de cession d’un ancien équipement remplacé (entrée) ;
• variation initiale du BFR (besoin en fonds de roulement) ;
• conséquences fiscales éventuelles de la cession.

\[I_0 = \text{Prix d'achat} + \text{Frais} - \text{Produit de cession} + \Delta BFR_0\]

B. Flux d’exploitation (\(1 \leq t \leq n\))

Formules — Flux de trésorerie d’exploitation

Présentation simplifiée :

\[CF_t = \text{Résultat d'exploitation après impôt} + \text{Dotation aux amortissements}\]

Présentation à partir de l’EBE :

\[CF_t = EBE - \text{Impôt théorique sur l'EBE} - \Delta BFR_t - \text{Investissements complémentaires}\]

Lecture : on ajoute les dotations aux amortissements au résultat net car elles ont été déduites fiscalement sans générer de sortie de trésorerie (réintégration d’une charge non décaissée).

C. Flux terminal (\(t = n\))

Il comprend éventuellement :

• valeur résiduelle de l’actif (valeur de revente nette) ;
• imposition sur la plus-value de cession ;
• récupération du BFR (le BFR immobilisé est libéré en fin de projet) ;
• coûts de fermeture ou de remise en état du site.

D. Pièges classiques

Erreurs fréquentes dans la construction des flux

1. Amortissements en sortie : les dotations ne sont pas des décaissements. Ne jamais les inclure comme flux négatif.
2. BFR oublié : toute hausse d’activité génère un besoin supplémentaire en stocks et créances — c’est une sortie de trésorerie au démarrage.
3. Double comptage de l’investissement : ne pas inclure les intérêts de la dette dans les flux si le taux d’actualisation reflète déjà le coût du financement (CMPC).
4. Valeur résiduelle omise : en fin de projet, l’actif a souvent encore une valeur — l’ignorer sous-estime la rentabilité.
5. Coûts irrécupérables (sunk costs) : les coûts déjà engagés et non récupérables ne doivent jamais apparaître dans les flux futurs.

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Séquence 2 — Valeur actuelle nette (VAN)

Durée : 1 heure

Formule et règle de décision

Formule — Valeur actuelle nette

\[VAN = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+k)^t}\]

où \(k\) est le taux d’actualisation (coût moyen pondéré du capital ou taux de rentabilité exigé).

Règle de décision :

Résultat	Interprétation	Décision
\(VAN > 0\)	Le projet crée de la valeur au-delà du taux exigé	Accepter
\(VAN = 0\)	Le projet rémunère exactement au taux exigé	Indifférent
\(VAN < 0\)	Le projet ne couvre pas le rendement exigé	Rejeter

Interprétation économique de la VAN

Une \(VAN = 120\,000\) € signifie que le projet :

1. rembourse l’investissement initial \(I_0\) ;
2. rémunère les capitaux engagés au taux \(k\) sur toute la durée ;
3. crée un surplus de 120 000 € (exprimé en valeur d’aujourd’hui).

Ce surplus enrichit les actionnaires : c’est la création de valeur.

Démonstration — Lien entre VAN et valeur créée

Supposons que le projet est financé entièrement par fonds propres au coût \(k\). Les actionnaires investissent \(I_0\) et reçoivent \(CF_t\) chaque année. La VAN est exactement la valeur présente de leur enrichissement au-delà de ce qu’ils auraient obtenu en plaçant \(I_0\) au taux \(k\) :

\[VAN = \underbrace{-I_0}_{\text{mise initiale}} + \underbrace{\sum \frac{CF_t}{(1+k)^t}}_{\text{VA des flux reçus}}\]

Si \(VAN > 0\), le projet rapporte plus que l’alternative de placement au taux \(k\) — il crée de la valeur nette.

Indice de profitabilité

Définition — Indice de profitabilité (IP)

\[IP = \frac{\text{VA des flux futurs}}{I_0} = 1 + \frac{VAN}{I_0}\]

Lecture : l’IP mesure la valeur créée par euro investi. Il est utile quand le budget d’investissement est contraint et qu’il faut hiérarchiser des projets de tailles différentes.

Attention

L’IP peut classer les projets différemment de la VAN. Pour des projets mutuellement exclusifs, c’est la VAN absolue qui prime, car elle mesure l’enrichissement total — pas la rentabilité par euro.

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Séquence 3 — Taux de rentabilité interne (TRI)

Durée : 1 heure

Définition

Définition — Taux de rentabilité interne

Le TRI est le taux \(r\) qui annule la VAN :

\[0 = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}\]

Règle de décision : le projet est acceptable si \(TRI > k\) (taux exigé).

Limites du TRI

Quatre limites à connaître

1. Plusieurs TRI possibles

Si les flux changent de signe plus d’une fois (ex. : flux positifs puis négatifs en fin de projet — coûts de démantèlement), l’équation peut avoir plusieurs solutions. Le TRI n’est plus unique ni interprétable.

2. Absence de TRI

Certains profils de flux ne permettent pas de trouver un taux qui annule la VAN (ex. : projet avec VAN > 0 pour tout taux positif).

3. Conflit VAN / TRI pour projets mutuellement exclusifs

Deux projets peuvent être classés différemment selon le critère retenu :

Projet	VAN à 10 %	TRI
A	80 000 €	25 %
B	120 000 €	18 %

La VAN choisit B (enrichissement absolu supérieur) ; le TRI choisit A (rendement relatif supérieur). Pour des projets de tailles ou durées différentes, ce conflit est fréquent.

4. Hypothèse de réinvestissement

Le TRI suppose implicitement que les flux intermédiaires sont réinvestis au taux \(r\) lui-même — hypothèse souvent irréaliste si \(r\) est élevé. La VAN suppose implicitement un réinvestissement au taux \(k\), ce qui est plus réaliste (coût d’opportunité).

Message central

En cas de contradiction entre VAN et TRI pour des projets mutuellement exclusifs, la VAN est le critère prioritaire : elle mesure directement l’enrichissement en valeur absolue, ce qui est l’objectif de la firme.

Démonstration interactive — VAN et TRI

I0_d3 = 10000
cashflows_d3 = [3000, 3500, 4000, 4000, 3000]

viewof k_d3 = Inputs.range([0.00, 0.50], {
  value: 0.10, step: 0.005,
  label: "Taux d'actualisation k"
})

npv_d3 = (rate) =>
  -I0_d3 + cashflows_d3.reduce((sum, cf, t) => sum + cf / (1 + rate) ** (t + 1), 0)

vanCurve_d3 = Array.from({length: 101}, (_, j) => ({
  k: j * 0.005,
  van: npv_d3(j * 0.005)
}))

currentVAN_d3 = npv_d3(k_d3)

tri_d3 = (() => {
  let lo = 0.0001, hi = 0.9999
  for (let i = 0; i < 60; i++) {
    const mid = (lo + hi) / 2
    npv_d3(mid) > 0 ? (lo = mid) : (hi = mid)
  }
  return (lo + hi) / 2
})()

vanSign = currentVAN_d3 >= 0 ? "✅ Projet acceptable" : "❌ Projet rejeté"

md`**VAN au taux ${(k_d3*100).toFixed(1)} % = ${currentVAN_d3.toFixed(0)} €** — ${vanSign}
| **TRI ≈ ${(tri_d3*100).toFixed(2)} %**`

Plot.plot({
  title: "Courbe VAN(k) — le TRI est le zéro de la courbe",
  marks: [
    Plot.lineY(vanCurve_d3, {x: "k", y: "van", stroke: "steelblue", strokeWidth: 2}),
    Plot.ruleY([0], {stroke: "gray"}),
    Plot.dot([{k: tri_d3, van: 0}],
      {x: "k", y: "van", fill: "red", r: 7, tip: true, title: "TRI"}),
    Plot.dot([{k: k_d3, van: currentVAN_d3}],
      {x: "k", y: "van", fill: "royalblue", r: 5, tip: true})
  ],
  x: {label: "Taux d'actualisation k", tickFormat: "%", grid: true},
  y: {label: "VAN (€)", grid: true},
  marginBottom: 40
})

Lire la démonstration

• La courbe bleue montre \(VAN(k)\) : décroissante (un taux plus élevé pénalise les flux futurs).
• Le point rouge marque le TRI : à ce taux, \(VAN = 0\).
• Le point bleu marque la VAN au taux choisi par le curseur.
• La zone au-dessus de la ligne grise (\(VAN > 0\)) correspond aux taux acceptables pour ce projet.

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Séquence 4 — Délai de récupération et comparaison de projets

Durée : 45 minutes

A. Délai de récupération simple (DRS)

Le DRS est le temps nécessaire pour récupérer \(I_0\) grâce aux flux cumulés :

\[DRS : \quad \sum_{t=1}^{DRS} CF_t \geq I_0\]

B. Délai de récupération actualisé (DRA)

Même logique, mais avec des flux préalablement actualisés au taux \(k\) :

\[DRA : \quad \sum_{t=1}^{DRA} \frac{CF_t}{(1+k)^t} \geq I_0\]

C. Intérêt et limites

Critère	Intérêt	Limite
DRS	Simple, intuitif, mesure la liquidité	Ignore les flux au-delà du délai ; ignore la valeur temps
DRA	Corrige la valeur temps	Ignore toujours les flux tardifs
Les deux	Pertinents en environnement très risqué	Ne mesurent pas la création de valeur

D. Comparaison de projets de durées différentes

Lorsque deux projets mutuellement exclusifs ont des durées différentes, la VAN brute n’est pas comparable directement (un projet plus long peut avoir une VAN plus élevée simplement parce qu’il dure plus longtemps).

Formule — Annuité équivalente (AE)

\[AE = VAN \times \frac{k}{1-(1+k)^{-n}}\]

Lecture : l’AE est la rente annuelle constante équivalente à la VAN du projet. Elle permet de comparer des projets de durées différentes sur une base annuelle homogène.

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Séquence 5 — Analyse du risque

Durée : 1 heure 15

A. Analyse de sensibilité

L’analyse de sensibilité consiste à faire varier une hypothèse à la fois et à observer l’impact sur la VAN.

Variables typiquement testées :

• volume de ventes ;
• prix de vente unitaire ;
• coût variable unitaire ;
• investissement initial \(I_0\) ;
• besoin en fonds de roulement ;
• valeur résiduelle ;
• taux d’actualisation \(k\).

B. Valeur seuil (break-even)

Pour chaque hypothèse, on cherche la valeur critique qui rend \(VAN = 0\) :

Valeur seuil	Question
Prix minimal	En dessous de quel prix le projet n’est-il plus rentable ?
Volume minimal	Combien d’unités faut-il vendre au minimum ?
\(I_0\) maximal	Jusqu’à quel investissement initial le projet reste-t-il rentable ?
Taux critique	Au-delà de quel taux la VAN devient-elle négative ? (= TRI)

C. Analyse par scénarios

On construit trois scénarios cohérents (plusieurs hypothèses varient ensemble) :

Scénario	Description	Probabilité
Pessimiste	Toutes les hypothèses défavorables	\(p_1\)
Central	Hypothèses de référence	\(p_2\)
Optimiste	Toutes les hypothèses favorables	\(p_3\)

Formules — VAN espérée et dispersion

Espérance :

\[E(VAN) = \sum_{s=1}^{m} p_s \cdot VAN_s\]

Variance :

\[\sigma^2(VAN) = \sum_{s=1}^{m} p_s \cdot (VAN_s - E(VAN))^2\]

Écart-type :

\[\sigma(VAN) = \sqrt{\sigma^2(VAN)}\]

Lecture : \(E(VAN)\) mesure la rentabilité moyenne espérée ; \(\sigma(VAN)\) mesure la dispersion — c’est une mesure du risque.

D. Limites de l’espérance

Deux projets peuvent avoir la même VAN espérée et des risques très différents

Examinez toujours :

• le scénario défavorable (quelle est la perte maximale ?) ;
• l’amplitude des résultats (\(VAN_{max} - VAN_{min}\)) ;
• la probabilité de VAN négative (\(\sum p_s\) pour les scénarios où \(VAN_s < 0\)) ;
• la capacité financière de l’entreprise à absorber un échec.

Un projet avec \(E(VAN) = 100\,000\) € et \(\sigma = 80\,000\) € est très différent d’un projet avec \(E(VAN) = 100\,000\) € et \(\sigma = 10\,000\) €.

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Séquence 6 — Cas intégrateur : automatisation logistique

Durée : 1 heure 15

Contexte

Une entreprise envisage d’automatiser une partie de son processus logistique.

Données d’entrée :

Paramètre	Valeur
Investissement initial (robots + logiciel)	850 000 €
Frais d’installation	50 000 €
Hausse initiale du BFR	40 000 €
Durée économique	5 ans
Économies annuelles (scénario central)	280 000 €/an
Coûts annuels de maintenance	30 000 €/an
Valeur résiduelle nette (après impôt)	60 000 €
Taux d’actualisation (CMPC)	8 %
Taux d’imposition	25 %

Étape 1 — Modélisation des flux

Flux initial (\(t = 0\)) :

\[I_0 = 850\,000 + 50\,000 + 40\,000 = 940\,000 \text{ €}\]

Flux annuels d’exploitation (\(t = 1\) à \(5\)) :

Économies nettes avant amortissement : \(280\,000 - 30\,000 = 250\,000\) €

Dotation annuelle : \((850\,000 + 50\,000) / 5 = 180\,000\) €

Résultat d’exploitation : \(250\,000 - 180\,000 = 70\,000\) €

Impôt (25 %) : \(17\,500\) €

Résultat net : \(52\,500\) €

\[CF_t = 52\,500 + 180\,000 = 232\,500 \text{ €/an}\]

Flux terminal (\(t = 5\)) :

\[CF_5^{\text{total}} = 232\,500 + 60\,000 + 40\,000 = 332\,500 \text{ €}\]

(valeur résiduelle + récupération du BFR)

Étape 2 — Évaluation

\[VAN = -940\,000 + 232\,500 \times \frac{1-(1{,}08)^{-4}}{0{,}08} + \frac{332\,500}{(1{,}08)^5}\]

\[= -940\,000 + 232\,500 \times 3{,}3121 + 332\,500 \times 0{,}6806\]

\[= -940\,000 + 770\,063 + 226\,300 \approx 56\,363 \text{ €}\]

\(VAN \approx 56\,363 > 0\) → le projet crée de la valeur.

\[IP = 1 + \frac{56\,363}{940\,000} \approx 1{,}060\]

TRI : résolution numérique → \(TRI \approx 9{,}5\,\%\)

Délai de récupération simple :

\(CF\) cumulés : \(232\,500\) (an 1), \(465\,000\) (an 2), \(697\,500\) (an 3), \(930\,000\) (an 4), \(1\,262\,500\) (an 5)

\(DRS \approx 4{,}04\) ans (légèrement supérieur à 4 ans)

Étape 3 — Analyse du risque

Scénario	Économies	\(VAN\)	Probabilité
Pessimiste	200 000 €/an	−138 000 €	25 %
Central	280 000 €/an	+56 000 €	50 %
Optimiste	360 000 €/an	+250 000 €	25 %

\[E(VAN) = 0{,}25 \times (-138\,000) + 0{,}50 \times 56\,000 + 0{,}25 \times 250\,000 = 55\,000 \text{ €}\]

\[\sigma(VAN) = \sqrt{0{,}25 \times (-138\,000 - 55\,000)^2 + 0{,}50 \times (56\,000 - 55\,000)^2 + 0{,}25 \times (250\,000 - 55\,000)^2} \approx 136\,000 \text{ €}\]

Variable critique : les économies réalisées. Une baisse de 30 % (de 280 000 € à 196 000 €) fait basculer la VAN en négatif.

Étape 4 — Recommandation

Modèle de note de recommandation

Le projet crée-t-il de la valeur ? Oui — VAN centrale ≈ +56 000 € (TRI ≈ 9,5 % > CMPC de 8 %). La VAN espérée (55 000 €) confirme ce résultat en probabilité.

Principal facteur de risque : le niveau des économies réalisées. En scénario pessimiste (−25 % d’économies), la VAN devient négative. La probabilité de VAN < 0 est d’environ 25 %.

Hypothèse à sécuriser avant décision : vérifier contractuellement les gains de productivité attendus (bench auprès du fournisseur, visites de sites de référence) avant engagement.

Décision recommandée : investir, sous réserve de sécuriser l’hypothèse d’économies sur l’année 1 (pilote sur un entrepôt avant déploiement complet).

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Séquence 7 — Évaluation finale et synthèse

Durée : 30 minutes

Grille de décision — Les 8 réflexes

Grille de décision financière

Étape	Action
1	Identifier les flux différentiels (entrées et sorties réelles)
2	Positionner les flux dans le temps sur une ligne du temps
3	Choisir un taux cohérent (CMPC, taux exigé, taux sans risque + prime)
4	Actualiser tous les flux à la date de référence
5	Calculer plusieurs indicateurs (VAN, TRI, DRS, IP)
6	Tester les hypothèses (sensibilité, scénarios, valeurs seuils)
7	Apprécier les risques non quantifiés (stratégiques, réglementaires…)
8	Formuler une recommandation claire, nuancée, argumentée

Question de synthèse

Pourquoi une décision financière ne peut-elle pas être fondée sur un indicateur unique ?

Parce que chaque indicateur répond à une question différente :

• La VAN mesure l’enrichissement absolu — mais elle ne tient pas compte du risque ni de la taille relative du projet.
• Le TRI mesure le rendement relatif — mais peut être multiple, absent, ou conduire à des décisions erronées pour des projets de tailles différentes.
• Le délai de récupération mesure la liquidité — mais ignore la valeur créée après le délai.
• L’IP mesure la rentabilité par euro investi — mais peut classer différemment de la VAN.

Une décision robuste combine plusieurs indicateurs, teste les hypothèses critiques et intègre des facteurs qualitatifs non modélisables.

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Exercices

Niveau 1 — Application directe

Exercice 1.1 — Un projet nécessite un investissement de 80 000 € et génère les flux suivants : 30 000 € en an 1, 35 000 € en an 2, 40 000 € en an 3. Le taux d’actualisation est de 10 %. Calculez la VAN et le DRS.

Solution 1.1

VAN :

\[VAN = -80\,000 + \frac{30\,000}{1{,}1} + \frac{35\,000}{1{,}1^2} + \frac{40\,000}{1{,}1^3}\]

\[= -80\,000 + 27\,273 + 28\,926 + 30\,053 = +6\,252 \text{ €}\]

\(VAN > 0\) → projet acceptable.

DRS :

Flux cumulés : 30 000 (an 1) ; 65 000 (an 2) ; 105 000 (an 3)

Le seuil de 80 000 € est dépassé entre l’an 2 et l’an 3.

\[DRS = 2 + \frac{80\,000 - 65\,000}{40\,000} = 2 + 0{,}375 = 2{,}375 \text{ ans}\]

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Niveau 2 — Problème contextualisé

Exercice 2.1 — Deux projets mutuellement exclusifs sont présentés au comité d’investissement. Le taux exigé est 12 %.

An	Projet A	Projet B
0	−100 000 €	−150 000 €
1	50 000 €	40 000 €
2	50 000 €	60 000 €
3	50 000 €	80 000 €
4	—	60 000 €

1. Calculez la VAN de chaque projet.
2. Calculez l’annuité équivalente de chaque projet.
3. Quel projet recommandez-vous ? Justifiez.

Solution 2.1

Projet A (\(n = 3\) ans) :

\[VAN_A = -100\,000 + 50\,000 \times \frac{1-(1{,}12)^{-3}}{0{,}12} = -100\,000 + 50\,000 \times 2{,}4018 = +20\,090 \text{ €}\]

\[AE_A = 20\,090 \times \frac{0{,}12}{1-(1{,}12)^{-3}} = 20\,090 \times 0{,}4163 \approx 8\,360 \text{ €/an}\]

Projet B (\(n = 4\) ans) :

\[VAN_B = -150\,000 + \frac{40\,000}{1{,}12} + \frac{60\,000}{1{,}12^2} + \frac{80\,000}{1{,}12^3} + \frac{60\,000}{1{,}12^4}\]

\[= -150\,000 + 35\,714 + 47\,832 + 56\,966 + 38\,131 = +28\,643 \text{ €}\]

\[AE_B = 28\,643 \times \frac{0{,}12}{1-(1{,}12)^{-4}} = 28\,643 \times 0{,}3292 \approx 9\,431 \text{ €/an}\]

Recommandation :

La VAN absolue favorise B (\(28\,643 > 20\,090\)). L’annuité équivalente confirme ce classement (\(9\,431 > 8\,360\)). Choisir le Projet B.

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Niveau 3 — Étude de cas

Cas — Note de recommandation d’investissement

Une PME du secteur agroalimentaire envisage d’acquérir une nouvelle ligne d’embouteillage pour 500 000 €. Les données prévisionnelles sont les suivantes :

• Frais d’installation : 20 000 €
• Hausse du BFR à l’ouverture : 30 000 €
• Durée économique : 6 ans (amortissement linéaire)
• Revenus supplémentaires annuels : 180 000 €
• Coûts variables supplémentaires : 60 000 €/an
• Valeur résiduelle brute à 6 ans : 40 000 € (pas de plus-value imposable)
• Taux d’imposition : 25 %
• Taux d’actualisation : 9 %

Scénarios :

Scénario	Revenus supplémentaires	Probabilité
Pessimiste	140 000 €/an	30 %
Central	180 000 €/an	50 %
Optimiste	220 000 €/an	20 %

Travail demandé :

1. Construisez les flux de trésorerie (flux initial, annuels, terminal).
2. Calculez la VAN, le TRI et le DRS du scénario central.
3. Calculez la VAN dans les trois scénarios.
4. Calculez l’espérance et l’écart-type de la VAN.
5. Identifiez la variable critique et la valeur seuil des revenus.
6. Rédigez une note de recommandation (10 lignes maximum).

Correction indicative

1. Flux initial : \(I_0 = 500\,000 + 20\,000 + 30\,000 = 550\,000\) €

Dotation annuelle : \((500\,000 + 20\,000) / 6 \approx 86\,667\) €

Flux d’exploitation (scénario central) : Revenus nets : \(180\,000 - 60\,000 = 120\,000\) € Résultat d’exploitation : \(120\,000 - 86\,667 = 33\,333\) € Impôt : \(8\,333\) € Résultat net : \(25\,000\) € \(CF_t = 25\,000 + 86\,667 = 111\,667\) €/an

Flux terminal : \(CF_6^{\text{total}} = 111\,667 + 40\,000 + 30\,000 = 181\,667\) €

2. VAN centrale : \[VAN = -550\,000 + 111\,667 \times \frac{1-(1{,}09)^{-5}}{0{,}09} + \frac{181\,667}{(1{,}09)^6}\] \[\approx -550\,000 + 111\,667 \times 3{,}8897 + 181\,667 \times 0{,}5963\] \[\approx -550\,000 + 434\,325 + 108\,286 \approx -7\,389 \text{ €}\]

\(VAN < 0\) dans le scénario central (légèrement) → projet à risque.

\(TRI \approx 8{,}4\,\%\) (légèrement inférieur au taux exigé de 9 %)

3–4. Scénarios :

Scénario	\(VAN\)	\(p\)	\(p \times VAN\)
Pessimiste	−120 000 €	30 %	−36 000 €
Central	−7 000 €	50 %	−3 500 €
Optimiste	+106 000 €	20 %	+21 200 €

\(E(VAN) \approx -18\,300\) € → en espérance, le projet détruit de la valeur.

5. Valeur seuil : revenus seuil ≈ 186 000 €/an pour atteindre \(VAN = 0\).

6. Recommandation : La VAN centrale et espérée sont légèrement négatives ; le projet présente un profil risqué (probabilité de VAN < 0 = 80 %). Avant tout engagement, il est indispensable de renforcer les hypothèses de revenus par des contrats fermes ou des études de marché approfondies. En l’état, la recommandation est de ne pas investir ou de renégocier le prix d’acquisition sous le seuil de 543 000 € pour restaurer la rentabilité au taux exigé.