Journée 1 — Valeur temps de l’argent

Modifié

4 octobre 2026

Résumé

Comment rendre comparables des sommes encaissées ou décaissées à des dates différentes ? Cette journée pose les fondations du raisonnement financier : capitalisation, actualisation, conversion de taux et annuités.

Objectifs de la journée

À la fin de cette journée, vous saurez :

distinguer capitalisation et actualisation ;
convertir des taux exprimés sur des périodicités différentes ;
calculer la valeur actuelle ou acquise d’un capital isolé ;
valoriser une suite d’annuités constantes (fin, début, différées, perpétuité) ;
résoudre des problèmes d’épargne et de constitution de capital.

Séquence 1 — Introduction et diagnostic

Durée : 30 minutes

Intuition économique

Choisissez une option, sans calculer, et justifiez votre choix :

Option A : recevoir 10 000 € aujourd’hui
Option B : recevoir 11 000 € dans un an
Option C : recevoir 12 500 € dans deux ans

Ce choix simple fait émerger les concepts qui structurent toute la finance :

Pourquoi un euro aujourd’hui vaut-il plus qu’un euro demain ?

Quatre raisons fondamentales :

Préférence pour le présent — nous préférons disposer d’une somme maintenant plutôt que de l’attendre.
Coût d’opportunité — 10 000 € aujourd’hui peuvent être placés et produire des intérêts.
Inflation — 11 000 € dans un an achèteront peut-être moins que 10 000 € aujourd’hui si les prix augmentent.
Risque — une somme future est incertaine ; une somme présente est certaine.

Ces quatre raisons se condensent en un seul paramètre : le taux d’actualisation.

Diagnostic initial

Avant de démarrer, évaluez vos acquis sur :

pourcentages et taux de variation ;
calcul de puissances (\(1{,}05^{10}\), \(1{,}03^{-5}\)) ;
résolution d’équations du type \(x(1+i)^n = C\) ;
intérêt intuitif pour l’actualisation (ex. : « combien vaut 1 000 € dans 3 ans si le taux est 4 % ? »).

Séquence 2 — Intérêts simples et intérêts composés

Durée : 1 heure

Représentation (ligne du temps)

t = 0          t = 1          t = 2          ...    t = n
  |--------------|--------------|------------- ... ---|
  C₀                                                  Cₙ

Un capital \(C_0\) placé à la date 0 produit un capital \(C_n\) à la date \(n\).

A. Intérêts simples

Formule — Capitalisation en intérêts simples

\[C_n = C_0(1 + ni)\]

Intérêts produits : \(I = C_0 \, n \, i\)

Lecture : les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial \(C_0\), à chaque période. Ils ne s’accumulent pas.

B. Intérêts composés

Formule — Capitalisation en intérêts composés

\[C_n = C_0(1 + i)^n\]

Intérêts produits : \(I = C_0\left[(1+i)^n - 1\right]\)

Lecture : à chaque période, les intérêts s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts lors des périodes suivantes. C’est l’effet des intérêts composés (ou « intérêts sur intérêts »).

Démonstration — Pourquoi \((1+i)^n\) ?

À la fin de la période 1 : \(C_1 = C_0 + C_0 \cdot i = C_0(1+i)\)

À la fin de la période 2 : \(C_2 = C_1(1+i) = C_0(1+i)^2\)

Par récurrence, à la fin de la période \(n\) :

\[C_n = C_0(1+i)^n\]

La clé est que la base de calcul des intérêts est le capital courant \(C_{t-1}\), non le capital initial — d’où l’exposant \(n\).

C. Comparaison des deux régimes

Régime	Base de calcul des intérêts	Croissance
Intérêts simples	Capital initial \(C_0\)	Linéaire en \(n\)
Intérêts composés	Capital courant \(C_{t-1}\)	Exponentielle en \(n\)

Remarque

Pour une même durée \(n\) et un même taux \(i\) :

Pour \(n < 1\) (fraction d’année) : les intérêts simples donnent un montant supérieur aux intérêts composés.
Pour \(n > 1\) : les intérêts composés donnent toujours un montant supérieur.
L’écart s’amplifie avec le taux et la durée.

Exemple résolu

Un capital de 20 000 € est placé pendant 5 ans au taux annuel de 4 %.

Intérêts simples :

\[C_5 = 20\,000 \times (1 + 5 \times 0{,}04) = 20\,000 \times 1{,}20 = 24\,000 \text{ €}\]

Intérêts composés :

\[C_5 = 20\,000 \times (1{,}04)^5 = 20\,000 \times 1{,}21665 \approx 24\,333 \text{ €}\]

L’écart (333 €) représente les intérêts générés par les intérêts capitalisés.

Points de vigilance

Avant d’appliquer une formule, vérifiez systématiquement :

Le taux exprimé (\(i\) en décimal, pas en pourcentage : \(0{,}04\) et non \(4\))
La durée \(n\) (en nombre de périodes, pas nécessairement en années)
La périodicité de calcul (mensuelle, trimestrielle, annuelle…)
La fréquence de capitalisation (combien de fois par an les intérêts sont-ils capitalisés ?)

Séquence 3 — Actualisation et équivalence financière

Durée : 1 heure

Intuition économique

Si la capitalisation répond à « combien vaut un capital dans le futur ? », l’actualisation répond à « combien vaut un capital futur aujourd’hui ? »

Représentation (ligne du temps)

t = 0          t = 1          ...    t = n
  |<------------|<------------- ... --|
  V₀                                  Vₙ
  (valeur actuelle)             (valeur future)

A. Valeur actuelle

Formule — Actualisation

\[V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n} = V_n \cdot (1+i)^{-n}\]

Facteur d’actualisation : \(a_n = (1+i)^{-n}\)

Lecture : \(V_0\) est la valeur aujourd’hui d’une somme \(V_n\) disponible dans \(n\) périodes. Le facteur \((1+i)^{-n}\) est toujours inférieur à 1 : une somme future vaut moins aujourd’hui.

B. Équivalence financière

Définition — Équivalence financière

Deux capitaux sont financièrement équivalents s’ils ont la même valeur actualisée à une date de référence commune, au même taux.

Pour comparer \(C_1\) versé à la date \(n_1\) et \(C_2\) versé à la date \(n_2\), on les ramène tous deux à une date commune (souvent \(t = 0\)).

Exemple décisionnel

Une entreprise doit choisir entre :

payer 48 000 € immédiatement ;

payer 52 000 € dans deux ans.

Le taux d’actualisation est 5 %.

Valeur actuelle du paiement différé :

\[VA = \frac{52\,000}{(1{,}05)^2} = \frac{52\,000}{1{,}1025} \approx 47\,166 \text{ €}\]

\(47\,166 < 48\,000\) : le paiement différé a une valeur actuelle inférieure. Toutes choses égales par ailleurs, il est financièrement préférable.

Pourquoi le taux d’actualisation n’est jamais neutre

Le choix du taux \(i\) reflète :

le coût du capital (le rendement minimum exigé par les investisseurs) ;
le risque (un projet risqué exige un taux plus élevé) ;
l’inflation attendue ;
la liquidité requise.

Un taux plus élevé pénalise davantage les flux éloignés dans le temps.

Démonstration interactive — Capitalisation vs Actualisation

viewof C0_s3 = Inputs.range([100, 20000], {
  value: 1000, step: 100,
  label: "Capital initial C₀ (€)"
})
viewof i_s3 = Inputs.range([0.01, 0.20], {
  value: 0.05, step: 0.001,
  label: "Taux d'intérêt i (annuel)"
})
viewof n_s3 = Inputs.range([1, 20], {
  value: 10, step: 1,
  label: "Nombre de périodes n"
})

data_s3 = Array.from({length: n_s3 + 1}, (_, t) => [
  {t, valeur: C0_s3 * (1 + i_s3) ** t,                          serie: "Capitalisation (Cₙ)"},
  {t, valeur: C0_s3 * (1 + i_s3) ** n_s3 / (1 + i_s3) ** (n_s3 - t), serie: "Actualisation (V₀)"}
]).flat()

Plot.plot({
  title: "Valeur du capital selon la perspective choisie",
  marks: [
    Plot.barY(data_s3, Plot.groupX({y: "first"}, {
      x: "t", y: "valeur", fill: "serie",
      tip: true
    })),
    Plot.ruleY([C0_s3], {stroke: "gray", strokeDasharray: "4",
      label: "C₀"}),
    Plot.ruleY([0])
  ],
  color: {legend: true},
  x: {label: "Période t", tickFormat: d => `t=${d}`},
  y: {label: "Valeur (€)", grid: true},
  marginBottom: 40
})

Lire la démonstration

La barre bleue (Capitalisation) montre \(C_n = C_0(1+i)^t\) : le capital croit avec le temps.
La barre orange (Actualisation) montre \(V_0 = C_n / (1+i)^{n-t}\) : vue depuis la date \(n\), la valeur actuelle d’un flux futur décroît plus on s’éloigne dans le temps.
La ligne pointillée indique \(C_0\) de départ.

Séquence 4 — Taux proportionnels et taux équivalents

Durée : 1 heure

Intuition économique

Un même taux peut s’exprimer sur des périodicités différentes (mensuelle, trimestrielle, annuelle…). Deux conventions existent, avec des implications très différentes.

A. Taux proportionnel

Définition — Taux proportionnel

Le taux mensuel proportionnel au taux annuel \(i_a\) est :

\[i_m = \frac{i_a}{12}\]

Logique : on divise simplement le taux annuel par le nombre de périodes. Cette convention ignore la capitalisation infra-annuelle.

B. Taux équivalent

Formule — Taux équivalent

Le taux mensuel équivalent au taux annuel \(i_a\) vérifie :

\[(1 + i_m)^{12} = 1 + i_a\]

Donc :

\[i_m = (1 + i_a)^{1/12} - 1\]

De façon générale, pour \(m\) sous-périodes par an :

\[i_p = (1 + i_a)^{1/m} - 1\]

Lecture : placer au taux mensuel équivalent pendant 12 mois donne exactement le même résultat que placer au taux annuel \(i_a\) pendant 1 an.

Démonstration — Taux équivalent

On cherche \(i_p\) tel que placer \(C_0\) pendant \(m\) sous-périodes au taux \(i_p\) donne le même résultat que placer \(C_0\) pendant 1 an au taux \(i_a\) :

\[C_0(1 + i_p)^m = C_0(1 + i_a)\]

\[\Rightarrow \quad i_p = (1 + i_a)^{1/m} - 1\]

Pour \(m = 12\) (mensuel) : \(i_m = (1 + i_a)^{1/12} - 1\)

Pour \(m = 4\) (trimestriel) : \(i_t = (1 + i_a)^{1/4} - 1\)

C. Taux annuel effectif global (TAEG)

À partir d’un taux périodique \(i_p\) et de \(m\) périodes par an :

\[i_{\text{annuel effectif}} = (1 + i_p)^m - 1\]

Exemple résolu

Pour un taux mensuel de 0,5 % :

\[i_a = (1{,}005)^{12} - 1 \approx 0{,}0617 = 6{,}17\,\%\]

Le taux annuel effectif est 6,17 %, et non 6 % (qui serait le taux proportionnel \(0{,}5\% \times 12\)). L’écart (0,17 point) représente l’effet de la capitalisation mensuelle.

Taux proportionnel ≠ taux équivalent

Conversion	Formule	Prend en compte la capitalisation ?
Proportionnel	\(i_p = i_a / m\)	❌ Non
Équivalent	\(i_p = (1+i_a)^{1/m} - 1\)	✅ Oui

En finance exacte (prêts immobiliers, obligations), on utilise toujours les taux équivalents. Le taux proportionnel n’est utilisé que dans des conventions simplifiées ou pour des durées inférieures à 1 an.

Séquence 5 — Annuités constantes

Durée : 1 heure 15

Intuition économique

Une annuité est un flux financier constant (versement ou encaissement) répété à intervalles réguliers. La question est : quelle est la valeur totale de ces flux, ramenée à une date commune ?

Règle d’or — La ligne du temps avant toute formule

Avant d’appliquer une formule d’annuités, tracez systématiquement la ligne du temps et répondez à ces cinq questions :

Quelle est la date d’évaluation souhaitée (\(t = 0\) ou \(t = n\)) ?
Les flux sont-ils en début ou en fin de période ?
Y a-t-il un différé (les flux commencent après plusieurs périodes) ?
Le taux et les flux sont-ils sur la même périodicité ?
Doit-on capitaliser (aller vers le futur) ou actualiser (revenir vers le présent) ?

A. Annuités de fin de période (terme échu)

t = 0    t = 1    t = 2    ...    t = n
  |--------|--------|--------- ... ----|
            A        A                 A

Formules — Annuités de fin de période

Valeur acquise (à la date \(n\)) :

\[V_n = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}\]

Valeur actuelle (à la date \(0\)) :

\[V_0 = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\]

Lecture : \(A\) est le montant de chaque versement, \(i\) le taux périodique, \(n\) le nombre de versements. Les formules donnent la valeur équivalente de tous les versements à la date choisie.

Démonstration — Valeur actuelle des annuités de fin de période

La valeur actuelle est la somme des valeurs actuelles de chaque versement :

\[V_0 = \frac{A}{(1+i)^1} + \frac{A}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{A}{(1+i)^n}\]

C’est une suite géométrique de premier terme \(A/(1+i)\), de raison \(1/(1+i)\), avec \(n\) termes. Sa somme vaut :

\[V_0 = \frac{A}{1+i} \cdot \frac{1 - (1/(1+i))^n}{1 - 1/(1+i)} = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\]

B. Annuités de début de période (terme à échoir)

t = 0    t = 1    t = 2    ...    t = n-1
  |--------|--------|--------- ... ----|
  A        A        A                  A

Chaque versement est avancé d’une période par rapport au cas précédent, donc il bénéficie d’une période de capitalisation supplémentaire.

Formules — Annuités de début de période

\[V_n = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i)\]

\[V_0 = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \cdot (1+i)\]

Lecture : il suffit de multiplier les formules de fin de période par \((1+i)\) pour obtenir celles de début de période.

C. Annuités différées

Si les versements commencent après \(d\) périodes de différé :

Calculer \(V_{d}\) : la valeur juste avant le premier versement (à \(t = d\)) à l’aide des formules habituelles.
Actualiser \(V_{d}\) jusqu’à la date souhaitée : \(V_0 = V_{d} \cdot (1+i)^{-d}\).

D. Perpétuités

Formules — Perpétuités

Perpétuité constante (versements infinis et constants) :

\[V_0 = \frac{A}{i}\]

Perpétuité croissante au taux \(g\) (\(i > g\)) :

\[V_0 = \frac{A_1}{i - g}\]

Lecture : quand \(n \to \infty\), le facteur \(1-(1+i)^{-n} \to 1\), donc \(V_0 \to A/i\). La perpétuité croissante correspond au modèle de Gordon-Shapiro utilisé en évaluation d’actions.

Séquence 6 — Cas pratique : constituer un capital

Durée : 1 heure

Situation

Une entreprise souhaite constituer dans 8 ans une réserve de 500 000 € destinée au remplacement de son système d’information.

Les versements sont effectués en fin d’année. Le placement rapporte 3,5 % par an.

Question principale — Calcul de l’annuité nécessaire

On cherche \(A\) tel que \(V_n = 500\,000\) avec \(n = 8\) et \(i = 0{,}035\).

On inverse la formule de valeur acquise des annuités de fin de période :

\[A = V_n \times \frac{i}{(1+i)^n - 1}\]

\[A = 500\,000 \times \frac{0{,}035}{(1{,}035)^8 - 1} = 500\,000 \times \frac{0{,}035}{0{,}3168} \approx 55\,244 \text{ €}\]

Vérification — Contrôle interne du modèle

Vérifiez que \(55\,244 \times \frac{(1{,}035)^8 - 1}{0{,}035} \approx 500\,000\). Tout modèle Excel doit comporter ce type de cellule de contrôle.

Questions subsidiaires

Q2 — Versements en début d’année :

\[A_{\text{début}} = V_n \times \frac{i}{(1+i)^n - 1} \times \frac{1}{1+i} \approx 55\,244 / 1{,}035 \approx 53\,373 \text{ €}\]

Verser en début d’année permet d’économiser environ 1 871 € par an.

Q3 — Taux limité à 2 % :

\[A = 500\,000 \times \frac{0{,}02}{(1{,}02)^8 - 1} \approx 58\,258 \text{ €}\]

Un taux plus faible impose des versements plus élevés (la capitalisation travaille moins).

Q4 — Versements fixes de 50 000 € :

\[V_8 = 50\,000 \times \frac{(1{,}035)^8 - 1}{0{,}035} \approx 452\,849 \text{ €}\]

Ces versements ne suffisent pas : il manquerait environ 47 151 €.

Séquence 7 — Synthèse et erreurs fréquentes

Durée : 45 minutes

Carte mentale du cours

                        Valeur temps de l'argent
                               │
          ┌────────────────────┼────────────────────┐
     Capitalisation       Actualisation          Taux
     C_n = C_0(1+i)^n   V_0 = V_n/(1+i)^n    ┌──┴──┐
                                            Propor. Équiv.
                                               │
                                           Annuités
                              ┌────────────────┼──────────────┐
                           Fin période    Début période   Perpétuité
                           V_0 = A·(…)   V_0 = A·(…)·(1+i)  A/i

Erreurs fréquentes à éviter

Erreurs mathématiques

Utiliser \(5\) au lieu de \(0{,}05\) pour un taux de 5 %.
Mélanger un taux mensuel avec une durée exprimée en années (sans conversion).
Oublier les intérêts composés (utiliser la formule simple quand la période > 1 an).
Décaler les flux d’une période (erreur de ±1 dans l’exposant).
Confondre taux proportionnel et taux équivalent.

Erreurs de raisonnement

Additionner directement des flux de dates différentes.
Ne pas tracer la ligne du temps avant de calculer.
Oublier de vérifier la cohérence entre la périodicité du taux et celle des flux.

Cinq réflexes à acquérir

Tracer la ligne du temps avant toute formule.
Vérifier la cohérence entre taux et périodicité des flux.
Actualiser à une date commune avant de comparer des flux.
Interpréter le résultat (que signifie cette VAN de 120 000 € ?).
Contrôler le calcul par une formule inverse.

Exercices

Niveau 1 — Application directe

Exercice 1.1 — Un capital de 15 000 € est placé pendant 6 ans au taux annuel de 3 % en intérêts composés. Calculez la valeur acquise \(C_6\).

Solution 1.1

\[C_6 = 15\,000 \times (1{,}03)^6 = 15\,000 \times 1{,}1941 \approx 17\,911 \text{ €}\]

Exercice 1.2 — Quelle somme faut-il placer aujourd’hui pour obtenir 25 000 € dans 4 ans, si le taux annuel est 4,5 % ?

Solution 1.2

\[V_0 = \frac{25\,000}{(1{,}045)^4} = \frac{25\,000}{1{,}1925} \approx 20\,966 \text{ €}\]

Exercice 1.3 — Un taux mensuel de 0,8 % correspond à quel taux annuel effectif ?

Solution 1.3

\[i_a = (1{,}008)^{12} - 1 \approx 0{,}1003 = 10{,}03\,\%\]

(Et non \(0{,}8\% \times 12 = 9{,}6\,\%\) qui serait le taux proportionnel.)

Niveau 2 — Problème contextualisé

Exercice 2.1 — Comparer les trois offres de placement suivantes sur une base annuelle effective :

Offre	Taux affiché	Périodicité
A	4,8 %	Mensuel proportionnel
B	4,7 %	Annuel
C	4,6 %	Trimestriel équivalent

Quelle offre est la plus avantageuse ?

Solution 2.1

Offre A — taux mensuel proportionnel \(4{,}8\% / 12 = 0{,}4\,\%\)

Taux annuel effectif : \[i_A = (1{,}004)^{12} - 1 \approx 4{,}91\,\%\]

Offre B — déjà sur base annuelle : \(i_B = 4{,}70\,\%\)

Offre C — taux trimestriel équivalent \(4{,}6\,\% / 4 = 1{,}15\,\%\)

Taux annuel effectif : \[i_C = (1{,}0115)^{4} - 1 \approx 4{,}67\,\%\]

Classement : A (4,91 %) > B (4,70 %) > C (4,67 %)

L’offre A est la plus avantageuse malgré un taux affiché inférieur à B, parce que sa capitalisation mensuelle génère un taux effectif plus élevé.

Niveau 3 — Étude de cas

Cas — Plan d’épargne retraite

Un cadre de 35 ans souhaite constituer un complément de retraite. Il envisage de verser 800 €/mois en fin de mois pendant 30 ans sur un contrat d’assurance-vie rémunéré à 3 % par an (taux équivalent mensuel à calculer).

Calculez le taux mensuel équivalent au taux annuel de 3 %.
Calculez le capital constitué à 65 ans.
Si ce capital sert ensuite à financer une rente mensuelle pendant 20 ans (même taux), calculez le montant de la rente mensuelle.
Quel serait l’impact d’une hausse du taux à 4 % annuel sur le capital final ?
Rédigez une recommandation d’une phrase.

Correction

1. Taux mensuel équivalent : \[i_m = (1{,}03)^{1/12} - 1 \approx 0{,}2466\,\%\]

2. Capital à 65 ans (\(n = 360\) mois) : \[V_{360} = 800 \times \frac{(1{,}002466)^{360} - 1}{0{,}002466} \approx 800 \times 563{,}3 \approx 450\,640 \text{ €}\]

3. Rente mensuelle pendant 20 ans (\(n = 240\) mois) : \[A = 450\,640 \times \frac{0{,}002466}{1 - (1{,}002466)^{-240}} \approx 450\,640 \times 0{,}005543 \approx 2\,497 \text{ €/mois}\]

4. Impact d’un taux de 4 % : \[i_m = (1{,}04)^{1/12} - 1 \approx 0{,}3274\,\%\] \[V_{360} \approx 800 \times \frac{(1{,}003274)^{360} - 1}{0{,}003274} \approx 800 \times 693{,}6 \approx 554\,880 \text{ €}\]

Soit un gain de +104 240 € par rapport au scénario à 3 %.

5. Recommandation : À 3 % de rendement annuel et 800 €/mois de versement, le plan permet de constituer environ 451 000 € en 30 ans, générant une rente d’environ 2 500 €/mois pendant 20 ans ; une hausse d’un point de taux augmenterait ce capital de plus de 100 000 €, ce qui justifie d’arbitrer vers des supports plus dynamiques si le profil de risque le permet.