Emprunts et obligations

Mathématiques financières · Module 2

fmt = (x, d = 0) =>
  x.toLocaleString("fr-FR", {minimumFractionDigits: d, maximumFractionDigits: d})
pct = (x, d = 2) => fmt(100 * x, d) + " %"
pvFlows = (flows, r) => flows.reduce((s, f, k) => s + f / (1 + r) ** (k + 1), 0)

Quelle offre choisir ?

Sans calculer — votez à main levée, puis justifiez.

Une entreprise emprunte 50 000 € sur 4 ans, échéances annuelles constantes.

BANQUE A

4,0 %

+ 1 500 € de frais de dossier

BANQUE B

4,5 %

aucun frais

Le taux affiché le plus bas n’est pas forcément le moins cher. Nous trancherons en Séquence 4.

Vote à main levée (2 min). Noter la répartition A/B au tableau : on y revient en Séquence 4 avec le taux actuariel (A ≈ 5,30 %, B = 4,50 %).

Objectifs de la journée

À la fin de cette journée, vous saurez :

1. construire un tableau d’amortissement (annuités constantes, amortissement constant) ;
2. distinguer intérêt, amortissement et annuité à chaque échéance ;
3. comparer des modalités de remboursement : coût, trésorerie, risque ;
4. calculer le taux actuariel d’un emprunt avec frais ;
5. valoriser une obligation à taux fixe ;
6. mesurer sa sensibilité aux taux (duration de Macaulay, duration modifiée).

Programme de la journée

Matin — 3 h

Séquence	Durée
1 · Réactivation	20 min
2 · Annuités constantes	60 min
3 · Autres modalités	45 min
4 · Taux actuariel	55 min
Total	180 min

Après-midi — 3 h

Séquence	Durée
5 · Obligations	50 min
6 · Sensibilité	45 min
7 · Étude de cas	60 min
Exercices & synthèse	25 min
Total	180 min

6 h de face-à-face. Pauses non comptées : à prendre sur le temps de discussion des séquences 3 et 6 si nécessaire.

Si le groupe prend du retard : la démonstration interactive de la Séquence 3 et la vérification de la Séquence 5 sont compressibles (5 min chacune). Le niveau 3 des exercices est prévu en travail personnel.

La règle d’or

✏️ La ligne du temps avant toute formule.

+ C₀
reçu

t = 0

← actualiser

− A

t = 1

 

− A

t = 2

…

− A

t = n

1. Placez chaque flux (emprunt, échéance, frais, coupon, nominal) à sa date.
2. Notez son sens : reçu (+) ou versé (−).
3. Ensuite seulement : ramenez tout à une même date.

Insister : frais oubliés, décalage d’une période, nominal omis… toutes les erreurs de la journée se voient sur ce schéma.

Séquence 1
Réactivation des acquis

Les outils du Module 1 sont-ils encore là ?

20 min : quiz 8 min (autonomie), correction 7 min, erreurs fréquentes 5 min.

Quiz de réactivation ⚡

Ordre de grandeur suffisant

Question	Réponse
10 000 € placés 3 ans à 4 % valent…	\(10\,000 \times 1{,}04^3 \approx 11\,249\) €
Valeur actuelle de 12 000 € reçus dans 2 ans à 6 % ?	\(12\,000 / 1{,}06^2 \approx 10\,680\) €
Taux mensuel équivalent à 6 % annuel ?	\(1{,}06^{1/12} - 1 \approx 0{,}487\,\%\) (≈ 0,5 %)
Perpétuité de 500 €/an au taux de 5 % ?	\(500 / 0{,}05 = 10\,000\) €

Capitaliser, actualiser, convertir un taux, valoriser une rente : toute la journée s’appuie sur ces quatre gestes.

Erreurs à corriger avant de continuer

1. Capitalisation ≠ actualisation — capitaliser va vers le futur (\(C_n = C_0(1+i)^n\)), actualiser revient au présent (\(V_0 = V_n/(1+i)^n\)).
2. Convertir le taux — échéances trimestrielles + taux annuel → taux trimestriel équivalent.
3. Décalage d’une période — premier versement en début ou en fin de période ?
4. Pourcentage non converti — \(i = 5\,\%\) → \(0{,}05\), pas \(5\).

Séquence 2
Emprunt à annuités constantes

Quelle part de chaque échéance rembourse vraiment la dette ?

60 min : situation + exploration 20 min, formule et structure 15 min, exemple résolu 15 min, piège + vérification 10 min.

Le camion de la PME

Une PME de livraison emprunte 60 000 € pour un camion frigorifique : 3 ans, 5 % par an, échéance identique chaque année.

La gérante veut savoir combien elle versera, et quelle part de chaque versement réduit sa dette plutôt que de rémunérer la banque.

Combien d’intérêts paiera-t-elle au total ?

Votre pronostic   ① 3 000 €   ② ≈ 6 100 €   ③ 9 000 €   ④ 15 000 €

Une échéance, deux fonctions

Payer les intérêts

Intérêts de l’année = dette restant due en début d’année × taux

Rembourser la dette

Ce qui reste de l’échéance après les intérêts rembourse le capital

La banque calcule une échéance de 22 032,51 € : le seul montant constant qui ramène la dette exactement à zéro en 3 ans. (D’où vient-il ? Réponse dans quelques minutes.)

Le prêt, année par année

Année	Dette début	Intérêts (× 5 %)	Remboursement	Échéance	Dette fin
1	60 000,00	3 000,00	19 032,51	22 032,51	40 967,49
2	40 967,49	2 048,37	19 984,14	22 032,51	20 983,35
3	20 983,35	1 049,17	20 983,35	22 032,51	0,00

6 097,54 €

d’intérêts au total (réponse ②)

• La part intérêts fond : 3 000 → 1 049 €.
• La part remboursement grossit : 19 033 → 20 983 €.

Faire calculer la ligne 1 par les étudiants avant de révéler. Les trois gestes : intérêts = dette × taux ; remboursement = échéance − intérêts ; nouvelle dette = ancienne − remboursement.

D’où vient 22 032,51 € ?

Les 60 000 € reçus aujourd’hui = valeur actuelle des 3 échéances futures.

+ 60 000

t = 0

÷ 1,05

− A

t = 1

÷ 1,05

− A

t = 2

÷ 1,05

− A

t = 3

\[60\,000 = \frac{A}{1{,}05} + \frac{A}{1{,}05^2} + \frac{A}{1{,}05^3} = A \cdot \frac{1 - 1{,}05^{-3}}{0{,}05}\]

\[A = 60\,000 \times \frac{0{,}05}{1 - 1{,}05^{-3}} \approx 22\,032{,}51\ €\]

La formule de l’annuité constante

\[A = C_0 \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\]

\(C_0\) montant emprunté · \(i\) taux par période · \(n\) nombre d’échéances · \(A\) échéance constante de fin de période

C’est l’inversion de la valeur actuelle d’une suite d’annuités (Module 1) : \(C_0 = A \cdot \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\).

Si \(n\) augmente → \(A\) baisse… mais le total des intérêts augmente.

Structure d’une échéance

À la période \(t\), avec \(CRD_0 = C_0\) et \(CRD_n = 0\) :

Composante	Formule
Intérêts \(I_t\)	\(CRD_{t-1} \times i\)
Amortissement \(Am_t\)	\(A - I_t\)
Capital restant dû \(CRD_t\)	\(CRD_{t-1} - Am_t\)

Annuité fixe, composition qui bascule des intérêts vers le capital.

Exemple résolu — Tableau d’amortissement

100 000 € sur 5 ans à 4 %, annuités constantes.

\[A = 100\,000 \times \frac{0{,}04}{1-1{,}04^{-5}} = 100\,000 \times \frac{0{,}04}{0{,}17807} \approx 22\,463\ €\]

Période	CRD début	Intérêts	Amortissement	Annuité	CRD fin
1	100 000	4 000	18 463	22 463	81 537
2	81 537	3 261	19 202	22 463	62 335
3	62 335	2 493	19 970	22 463	42 365
4	42 365	1 695	20 768	22 463	21 597
5	21 597	864	21 599	22 463	0*

*Écart de 2 € dû à l’arrondi de l’annuité : on ajuste la dernière échéance.

Coût total des intérêts : \(22\,463 \times 5 - 100\,000 =\) 12 315 €

Lire le tableau

• Début d’emprunt : intérêts élevés (base = capital total), amortissement faible.
• Fin d’emprunt : intérêts faibles (CRD réduit), l’amortissement fait presque toute l’annuité.
• Si la durée change, le coût change :

Prêt de 60 000 € à 5 %	Annuité	Intérêts totaux
sur 3 ans	22 032,51 €	6 097,54 €
sur 4 ans	16 920,71 €	7 682,84 €

🪤 Le piège

« L’échéance est constante, donc chaque année je rembourse la même part de capital et je paie les mêmes intérêts. »

Les intérêts portent sur le capital restant dû, qui diminue à chaque échéance : la part d’intérêts baisse, la part d’amortissement augmente d’autant.

L’annuité est fixe, sa composition bascule.

🧠 Vérifiez votre compréhension

10 000 € sur 2 ans à 6 %, annuités constantes. Annuité ? Intérêts et amortissement de chaque année ?

\(A = 10\,000 \times \dfrac{0{,}06}{1 - 1{,}06^{-2}} \approx\) 5 454,37 €

Année	Intérêts	Amortissement	CRD fin
1	600,00	4 854,37	5 145,63
2	308,74	5 145,63	0,00

Séquence 3
Autres modalités de remboursement

Quand la première année est la plus difficile…

45 min : situation + tableau 12 min, démo 5 min, formules 10 min, exemple résolu 8 min, comparaison + piège + vérification 10 min.

Trois formules pour le même prêt

Même prêt : 60 000 €, 3 ans, 5 %. Le banquier propose :

• échéances identiques chaque année ;
• capital par tiers (20 000 €/an) + intérêts ;
• intérêts seuls pendant 3 ans, capital remboursé en une fois à la fin.

La première année, la trésorerie est tendue : le camion doit d’abord trouver ses clients.

Quelle formule choisir, et à quel prix ?

Votre choix

Ce que la PME décaisse

Année	Échéances identiques	Capital par tiers + intérêts	Intérêts seuls, capital à la fin
1	22 032,51	20 000 + 3 000 = 23 000	3 000
2	22 032,51	20 000 + 2 000 = 22 000	3 000
3	22 032,51	20 000 + 1 000 = 21 000	60 000 + 3 000 = 63 000
Total versé	66 097,54	66 000	69 000
dont intérêts	6 097,54	6 000	9 000

Actualisons chaque colonne à 5 % :

\[\frac{3\,000}{1{,}05} + \frac{3\,000}{1{,}05^2} + \frac{63\,000}{1{,}05^3} = 60\,000\ €\]

Les trois colonnes valent exactement 60 000 € : même coût actuariel.

Réponse : l’in fine soulage le plus l’année 1. Son « prix » n’est pas un taux plus élevé mais un risque de refinancement concentré sur l’année 3 (63 000 €).

Comparer les modalités 🎛️

viewof mod_C = Inputs.range([10000, 200000], {value: 60000, step: 5000, label: "Montant emprunté C₀ (€)"})
viewof mod_i = Inputs.range([0.01, 0.10], {value: 0.05, step: 0.005, label: "Taux annuel i"})
viewof mod_n = Inputs.range([2, 10], {value: 3, step: 1, label: "Durée n (années)"})

mod_names = ["Annuités constantes", "Amortissement constant", "In fine"]
mod_A = mod_C * mod_i / (1 - (1 + mod_i) ** -mod_n)
mod_data = Array.from({length: mod_n}, (_, k) => [
  {t: k + 1, modalite: mod_names[0], echeance: mod_A},
  {t: k + 1, modalite: mod_names[1], echeance: mod_C / mod_n + mod_C * (1 - k / mod_n) * mod_i},
  {t: k + 1, modalite: mod_names[2], echeance: mod_C * mod_i + (k + 1 === mod_n ? mod_C : 0)}
]).flat()
mod_int = (m) => d3.sum(mod_data.filter(d => d.modalite === m), d => d.echeance) - mod_C

Plot.plot({
  width: 900, height: 280, marginLeft: 70,
  fx: {label: "Année →"},
  x: {axis: null, domain: mod_names},
  y: {label: "↑ Échéance (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
  color: {domain: mod_names, range: ["#5bdb6d", "#5b9bdb", "#f0a500"], legend: true},
  marks: [
    Plot.barY(mod_data, {fx: "t", x: "modalite", y: "echeance", fill: "modalite", tip: true})
  ]
})

md`<div class="ojs-result">Intérêts totaux : annuités constantes **${fmt(mod_int(mod_names[0]))} €** · amortissement constant **${fmt(mod_int(mod_names[1]))} €** · in fine <span class="orange">**${fmt(mod_int(mod_names[2]))} €**</span></div>`

Faire tester : allonger la durée (3 → 10 ans). L’écart d’intérêts en euros se creuse, mais au même taux les trois ont le même coût actuariel. Observer la « falaise » de l’in fine à la dernière année.

Trois règles de remboursement

Amortissement constant

\[Am = \frac{C_0}{n}\]

\(A_t = \dfrac{C_0}{n} + CRD_{t-1} \times i\)

Échéances décroissantes

In fine

\[I_t = C_0 \times i\]

Dernière échéance : \(C_0 \times i + C_0 = C_0(1+i)\)

Falaise finale

Différé

Partiel : on paie les intérêts, on n’amortit pas.

Total : aucun flux ; le capital devient \(C_0(1+i)^d\).

Dans tous les cas : échéance = \(Am_t + CRD_{t-1} \times i\), avec \(\sum Am_t = C_0\). Seul change le rythme de remboursement du capital.

Exemple résolu — 90 000 € sur 3 ans à 4 %

Amortissement constant : \(Am = 90\,000 / 3 = 30\,000\) €

Période	CRD début	Intérêts	Amort.	Échéance
1	90 000	3 600	30 000	33 600
2	60 000	2 400	30 000	32 400
3	30 000	1 200	30 000	31 200

Intérêts : 7 200 €

In fine

• Années 1 et 2 : \(90\,000 \times 0{,}04 = 3\,600\) €
• Année 3 : \(90\,000 \times 1{,}04 = 93\,600\) €

Intérêts : 10 800 €

Annuités constantes (pour comparer)

\(A \approx 32\,431\) € · intérêts ≈ 7 294 €

Avantages et risques

Modalité	Avantage principal	Inconvénient principal
Annuités constantes	Stabilité budgétaire	Intérêts élevés en début de prêt
Amortissement constant	Intérêts totaux plus faibles	Premières échéances plus lourdes
In fine	Faibles sorties de trésorerie pendant le prêt	Risque élevé à l’échéance
Différé	Soulage la trésorerie initiale	Augmente souvent le coût total

Choisir une modalité, c’est d’abord aligner les sorties de cash sur la capacité de l’entreprise à les financer.

🪤 Le piège

« L’in fine fait payer 9 000 € d’intérêts contre 6 000 € pour l’amortissement constant : c’est toujours le plus mauvais choix. »

Au même taux, les trois modalités ont le même coût actuariel. L’in fine paie plus d’intérêts parce que l’entreprise garde le capital plus longtemps. Comparez des valeurs actualisées, pas des totaux en euros courants.

Plus d’intérêts ≠ plus cher. Peut-être juste plus longtemps emprunté.

🧠 Vérifiez votre compréhension

120 000 € in fine sur 4 ans à 5 %. Flux des années 1 à 3 ? Flux de l’année 4 ? Intérêts totaux ?

• Années 1 à 3 : \(120\,000 \times 0{,}05 =\) 6 000 €
• Année 4 : \(6\,000 + 120\,000 =\) 126 000 €
• Intérêts totaux : \(4 \times 6\,000 =\) 24 000 €

Quelle question poser à l’emprunteur avant de signer ? → « D’où viendront les 120 000 € en année 4 ? »

Séquence 4
Coût réel du crédit et taux actuariel

Le taux affiché dit-il tout ?

55 min : situation + échéances 10 min, recherche du taux 15 min, définition + Excel 12 min, exemple résolu 10 min, piège + vérification 8 min.

Retour à la question d’ouverture

50 000 € sur 4 ans, échéances annuelles constantes.

• Banque A : 4,0 % mais 1 500 € de frais prélevés au déblocage.
• Banque B : 4,5 %, sans frais.

Avec A, l’entreprise ne reçoit que 48 500 €, mais rembourse comme si elle en avait reçu 50 000.

Laquelle est réellement la moins chère ?

Le taux nominal ignore : frais de dossier · commissions de garantie · assurance emprunteur · points · pénalités de remboursement anticipé.

Étape 1 — Les échéances

Calculées sur les 50 000 € empruntés (formule de la Séquence 2) :

13 774,50 €

Offre A (4,0 %) · 4 ans

13 937,18 €

Offre B (4,5 %) · 4 ans

Offre B : on reçoit 50 000 € et les 4 échéances actualisées à 4,5 % valent exactement 50 000 € → coût réel 4,5 %.

Offre A : la ligne du temps change à \(t = 0\) !

+ 48 500
reçu net

t = 0

 

− 13 774,50

t = 1

…

− 13 774,50

t = 4

Étape 2 — Tester l’offre A à 4,5 %

Année	Échéance A	Facteur \(1/1{,}045^t\)	Valeur actuelle
1	13 774,50	0,9569	13 181,34
2	13 774,50	0,9157	12 613,72
3	13 774,50	0,8763	12 070,55
4	13 774,50	0,8386	11 550,77
Total			49 416,38

À 4,5 %, ce que l’entreprise rend vaut 49 416 € > 48 500 € reçus.

L’offre A coûte donc plus de 4,5 %.

Étape 3 — Chercher le taux d’équilibre

Taux d’actualisation	VA des échéances de A	Comparée à 48 500 €
4,5 %	49 416,38	trop haute
5,0 %	48 843,70	trop haute
5,3 %	48 505,24	≈ égale
5,5 %	48 281,70	trop basse

A ≈ 5,30 %

B = 4,50 %

Malgré son taux affiché plus bas, A est la plus chère. Revenez sur votre vote !

Le taux actuariel (TAEG)

\[\text{Montant net reçu} = \sum_{t=1}^{n} \frac{Flux_t}{(1+r)^t}\]

Le taux \(r\) qui égalise ce que je reçois vraiment aujourd’hui et la valeur actuelle de tout ce que je rendrai (échéances, frais, assurance).

• Sans frais : \(r\) = taux affiché.
• Frais ↑ → montant net reçu ↓, échéances inchangées → \(r\) ↑.
• Durée courte → des frais fixes pèsent plus lourd dans \(r\).

Calcul pratique — Excel

Besoin	Fonction Excel	Argument clé
Valeur actuelle	VA(taux;npm;vpm)	Convention de signe
Valeur future	VC(taux;npm;vpm)	Idem
Annuité	VPM(taux;npm;va)	va = montant emprunté
Taux actuariel	TAUX(npm;vpm;va)	va = montant net reçu
VAN générale	VAN(taux;flux1:fluxn) + flux initial	Exclure le flux à \(t=0\)
TRI	TRI(flux0:fluxn)	Inclure le flux à \(t=0\)

Signes : entrées (montant reçu) positives, sorties (remboursements) négatives. Une seule convention dans tout le modèle.

Offre A : =TAUX(4;-13774,50;48500) → 5,30 %

Exemple résolu — Taux actuariel avec frais

100 000 €, taux facial 4 %, 5 ans, frais de dossier 2 000 € à l’origine.

• Montant net reçu : \(100\,000 - 2\,000 = 98\,000\) €
• Annuité inchangée (calculée sur 100 000 €) : \(A \approx 22\,463\) €

\[98\,000 = 22\,463 \cdot \frac{1-(1+r)^{-5}}{r}\]

=TAUX(5;-22463;98000) →

r ≈ 4,72 %

contre 4 % affichés : les frais réduisent le montant disponible, pas les remboursements

🪤 Le piège

« L’offre à 4,0 % est moins chère que l’offre à 4,5 %, puisque son taux est plus bas. »

Avec 1 500 € de frais, l’entreprise reçoit 48 500 € mais rembourse comme si elle en avait reçu 50 000 : coût réel ≈ 5,3 %. Seul le taux actuariel permet de comparer des offres aux frais différents.

Coût réel = ce que je reçois vraiment face à ce que je rends vraiment.

🧠 Vérifiez votre compréhension

Deux offres identiques (même taux, mêmes frais de 1 000 €), l’une sur 3 ans, l’autre sur 15 ans. Laquelle a le TAEG le plus élevé ?

Celle sur 3 ans : les frais fixes sont amortis sur moins d’années, ils pèsent davantage dans le taux.

Un prêt sans aucun frais affiche 3,9 %. Son taux actuariel ?

3,9 % : sans frais, le montant net reçu égale le montant emprunté.

Pause déjeuner 🍽️

Reprise : Séquence 5 — Introduction aux obligations.

Séquence 5
Introduction aux obligations

Combien vaut une dette… quand les taux changent ?

50 min : situation + vocabulaire 10 min, exploration 10 min, formule + exemple 12 min, relation prix/taux + zéro-coupon 5 min, démo 8 min, piège + vérification 5 min.

L’obligation de Sarah

Sarah a acheté 1 000 € une obligation qui verse 50 €/an (5 %) et rembourse 1 000 € dans 3 ans.

Aujourd’hui, les obligations de même risque rapportent 6 % (60 €/an pour 1 000 €). Sarah veut revendre.

Combien un investisseur acceptera-t-il de payer ?

Votre pronostic   ① 1 060 €   ② 1 000 €   ③ ≈ 973 €   ④ ≈ 833 €

Vocabulaire obligataire

Terme	Définition
Valeur nominale \(N\)	Capital de référence sur lequel sont calculés les coupons
Coupon \(C\)	Intérêt versé chaque période : \(C = N \times\) taux facial
Taux facial	Taux d’intérêt nominal de l’obligation (fixe)
Maturité \(n\)	Durée restant jusqu’au remboursement
Prix d’émission / de remboursement	Prix payé à l’émission / montant rendu à l’échéance (souvent \(N\))
Rendement actuariel \(r\)	Taux qui égalise le prix et la valeur actuelle des flux
Prime / Décote	Prix \(> N\) : prime (surcote) · Prix \(< N\) : décote

Ce que vaut le titre à 6 %

− P₀
prix ?

t = 0

÷ 1,06ᵗ

+ 50

t = 1

 

+ 50

t = 2

 

+ 1 050

t = 3

Année	Flux	\(1/1{,}06^t\)	VA
1	50	0,9434	47,17
2	50	0,8900	44,50
3	1 050	0,8396	881,60
Total			973,27

≈ 973 €

décote de ≈ 27 € (réponse ③)

Contrôle : à 5 %, la même somme donne 1 000 €, le prix d’origine.

Le prix d’une obligation à taux fixe

\[P_0 = \underbrace{C \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}}_{\text{rente de coupons}} + \underbrace{\frac{N}{(1+r)^n}}_{\text{nominal}}\]

\(C\) coupon · \(N\) nominal · \(n\) maturité · \(r\) taux de marché (rendement exigé)

Les flux sont figés ; c’est le prix qui s’ajuste pour que le rendement colle au marché.

Zéro-coupon : aucun coupon, seul \(N\) est versé à maturité → \(P_0 = \dfrac{N}{(1+r)^n}\)

Exemple résolu — Obligation avec prime

Nominal 1 000 €, coupon 4 % (40 €/an), maturité 4 ans, taux de marché 3 %.

\[P_0 = 40 \times \frac{1-1{,}03^{-4}}{0{,}03} + \frac{1\,000}{1{,}03^4}\]

\[\approx 148{,}68 + 888{,}49 = 1\,037{,}17\ €\]

Taux de marché (3 %) < taux facial (4 %) → l’obligation cote au-dessus du pair : prime d’environ 37 €.

Taux en haut, prix en bas

Situation	Effet sur le prix
Taux de marché \(r\) augmente	Prix \(P_0\) diminue
Taux de marché \(r\) diminue	Prix \(P_0\) augmente
\(r\) = taux facial	\(P_0 = N\) (au pair)
\(r\) < taux facial	\(P_0 > N\) (prime)
\(r\) > taux facial	\(P_0 < N\) (décote)

La relation est convexe : −1 point de taux fait monter le prix plus que +1 point ne le fait baisser.

Prix et taux de marché 🎛️

viewof obl_coupon = Inputs.range([0, 100], {value: 50, step: 5, label: "Coupon annuel C (€) — nominal 1 000 €"})
viewof obl_n = Inputs.range([1, 20], {value: 3, step: 1, label: "Maturité n (années)"})
viewof obl_r = Inputs.range([0.01, 0.12], {value: 0.06, step: 0.0025, label: "Taux de marché r"})

obl_price = (r) => pvFlows(Array.from({length: obl_n}, (_, k) => obl_coupon + (k + 1 === obl_n ? 1000 : 0)), r)
obl_curve = Array.from({length: 111}, (_, k) => ({r: 0.01 + k * 0.001, prix: obl_price(0.01 + k * 0.001)}))
obl_P0 = obl_price(obl_r)

Plot.plot({
  width: 900, height: 280, marginLeft: 70,
  x: {label: "Taux de marché r →", tickFormat: d => pct(d, 0)},
  y: {label: "↑ Prix P₀ (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
  marks: [
    Plot.ruleY([1000], {stroke: "#8b8f9c", strokeDasharray: "4"}),
    Plot.ruleX([obl_coupon / 1000].filter(x => x >= 0.01), {stroke: "#f0a500", strokeDasharray: "4"}),
    Plot.lineY(obl_curve, {x: "r", y: "prix", stroke: "#5b9bdb", strokeWidth: 3}),
    Plot.dot([{r: obl_r, prix: obl_P0}], {x: "r", y: "prix", fill: "#db5b5b", r: 7})
  ]
})

obl_status = Math.abs(obl_P0 - 1000) < 0.5 ? "au pair" : obl_P0 > 1000 ? `prime de ${fmt(obl_P0 - 1000)} €` : `décote de ${fmt(1000 - obl_P0)} €`
md`<div class="ojs-result">Prix **${fmt(obl_P0, 2)} €** au taux ${pct(obl_r)} — *${obl_status}* · taux facial <span class="orange">${pct(obl_coupon / 1000)}</span></div>`

Réglages par défaut = obligation de Sarah (973,27 €). Faire tester : r = taux facial (au pair), puis allonger la maturité (3 → 20 ans) : la courbe devient plus pentue, le titre plus sensible aux taux. Transition vers S6.

🪤 Le piège

« Les taux montent, donc mon obligation rapporte plus et vaut plus cher. »

Le coupon d’une obligation à taux fixe ne change pas. Quand les nouvelles obligations rapportent davantage, l’ancienne n’est attractive que si son prix baisse.

Taux en haut, prix en bas : c’est une balançoire.

🧠 Vérifiez votre compréhension

Coupon 5 %, nominal 1 000 €, 7 ans, taux de marché 5 %. Prix ?

1 000 € : taux de marché = taux facial → au pair, sans calcul.

Zéro-coupon de nominal 1 000 €, maturité 10 ans, taux de marché 4 %. Prix ?

\(P_0 = 1\,000 / 1{,}04^{10} \approx\) 675,56 €

Séquence 6
Sensibilité obligataire

« 5 ans » veut-il dire la même chose pour deux obligations à 5 ans ?

45 min : situation + table K 12 min, démo duration 5 min, duration modifiée et convexité 15 min, exemple résolu 8 min, piège + vérification 5 min.

Deux obligations à 5 ans

Nominal 1 000 €, 5 ans, taux de marché 5 % :

• Z ne verse rien pendant 5 ans, puis rembourse tout ;
• K verse 80 €/an (8 %) puis rend les 1 000 € à la fin.

Avec K, une partie de l’argent revient bien avant l’année 5.

En moyenne, quand récupère-t-on son argent ? Laquelle craint le plus une hausse des taux ?

Votre pronostic   ① Z   ② K   ③ autant l’une que l’autre

La date moyenne de récupération

Année \(t\)	Flux	VA à 5 %	Poids dans le prix	\(t\) × poids
1	80	76,19	6,74 %	0,067
2	80	72,56	6,42 %	0,128
3	80	69,11	6,12 %	0,184
4	80	65,82	5,83 %	0,233
5	1 080	846,21	74,89 %	3,745
Total		1 129,88	100 %	4,36

K : 4,36 ans

Z : 5 ans

un seul flux, prix \(1\,000/1{,}05^5 = 783{,}53\) €

Pour +1 point de taux : Z perd 4,63 %, K perd 4,04 % → Z est la plus exposée (réponse ①).

Le centre de gravité des flux 🎛️

viewof dur_coupon = Inputs.range([0, 150], {value: 80, step: 10, label: "Coupon annuel (€) — nominal 1 000 €, 5 ans, r = 5 %"})

dur_flows = Array.from({length: 5}, (_, k) => {
  const t = k + 1
  const cf = dur_coupon + (t === 5 ? 1000 : 0)
  return {t, cf, va: cf / 1.05 ** t}
})
dur_P = d3.sum(dur_flows, d => d.va)
dur_D = d3.sum(dur_flows, d => d.t * d.va) / dur_P

Plot.plot({
  width: 900, height: 280, marginLeft: 70,
  x: {label: "Date t (années) →", domain: [0, 5.6], ticks: [1, 2, 3, 4, 5]},
  y: {label: "↑ Valeur actuelle du flux (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
  marks: [
    Plot.rect(dur_flows, {x1: d => d.t - 0.3, x2: d => d.t + 0.3, y1: 0, y2: "va", fill: "#5bdb6d"}),
    Plot.ruleX([dur_D], {stroke: "#f0a500", strokeWidth: 3}),
    Plot.text([dur_D], {x: d => d, frameAnchor: "top", dy: 6, text: d => `D = ${fmt(d, 2)} ans`, fill: "#f0a500", fontSize: 16, textAnchor: "end", dx: -6})
  ]
})

md`<div class="ojs-result">Prix **${fmt(dur_P, 2)} €** · duration de Macaulay <span class="orange">**${fmt(dur_D, 2)} ans**</span> · duration modifiée **${fmt(dur_D / 1.05, 2)}**</div>`

Coupon 80 € = obligation K (4,36 ans). Coupon 0 = Z (5 ans exactement). Faire verbaliser : plus le coupon est élevé, plus le centre de gravité se rapproche du présent.

Duration de Macaulay

\[D_M = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1+r)^t}}{P_0}\]

Moyenne des dates \(t\), pondérée par la part de chaque flux actualisé dans le prix \(P_0\).

• Exprimée en années.
• Zéro-coupon : \(D_M = n\). Avec coupons : \(D_M < n\).
• Coupons ↑ → argent récupéré plus tôt → \(D_M\) ↓.

Quand le choc de taux grossit

Le trésorier détient K à 5 %. Le comité de risque demande la perte pour +1 point, puis +3 points. Un collègue : « ≈ 4 % pour 1 point, donc 12 % pour 3 points. »

La perte est-elle proportionnelle au choc ?

Choc	Nouveau taux	Prix exact	Variation exacte	Règle de trois (4,15 %/pt)
0	5 %	1 129,88	—	—
+1 pt	6 %	1 084,25	−4,04 %	−4,15 %
+3 pts	8 %	1 000,00	−11,50 %	−12,45 %

Non : la règle linéaire est fiable pour un petit choc, trop pessimiste pour un grand.

Duration modifiée

\[D^* = \frac{D_M}{1 + r} \qquad\qquad \frac{\Delta P}{P} \approx -D^* \cdot \Delta r\]

\(\Delta r\) en décimal : 1 point = 0,01

Pour K : \(D^* = 4{,}36 / 1{,}05 \approx 4{,}15\) → +1 point ≈ −4,15 %.

Pourquoi ? \(P(r) = \sum CF_t(1+r)^{-t}\), donc

\[\frac{dP}{dr} = -\frac{1}{1+r}\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1+r)^t} = -\frac{D_M}{1+r}\,P = -D^* \cdot P\]

\(D^*\) est la pente relative de la courbe prix-taux : une tangente.

Tangente et convexité 🎛️

viewof cvx_choc = Inputs.range([-3, 4], {value: 3, step: 0.25, label: "Choc de taux Δr (points), obligation K à partir de 5 %"})

cvx_flows = [80, 80, 80, 80, 1080]
cvx_P0 = pvFlows(cvx_flows, 0.05)
cvx_Ds = cvx_flows.reduce((s, f, k) => s + (k + 1) * f / 1.05 ** (k + 1), 0) / cvx_P0 / 1.05
cvx_curve = Array.from({length: 91}, (_, k) => {
  const r = 0.01 + k * 0.001
  return [
    {r, prix: pvFlows(cvx_flows, r), courbe: "Prix exact"},
    {r, prix: cvx_P0 * (1 - cvx_Ds * (r - 0.05)), courbe: "Approximation par la duration"}
  ]
}).flat()
cvx_r1 = 0.05 + cvx_choc / 100
cvx_exact = pvFlows(cvx_flows, cvx_r1)
cvx_approx = cvx_P0 * (1 - cvx_Ds * (cvx_r1 - 0.05))

Plot.plot({
  width: 900, height: 280, marginLeft: 70,
  color: {domain: ["Prix exact", "Approximation par la duration"], range: ["#5b9bdb", "#f0a500"], legend: true},
  x: {label: "Taux de marché r →", tickFormat: d => pct(d, 0)},
  y: {label: "↑ Prix (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
  marks: [
    Plot.lineY(cvx_curve, {x: "r", y: "prix", stroke: "courbe", strokeWidth: 3}),
    Plot.ruleX([cvx_r1], {stroke: "#8b8f9c", strokeDasharray: "4"}),
    Plot.dot([{r: cvx_r1, prix: cvx_exact}, {r: cvx_r1, prix: cvx_approx}], {x: "r", y: "prix", fill: "#db5b5b", r: 6})
  ]
})

md`<div class="ojs-result">Choc ${cvx_choc > 0 ? "+" : ""}${fmt(cvx_choc, 2)} pt : exact **${pct(cvx_exact / cvx_P0 - 1)}** · duration <span class="orange">**${pct(cvx_approx / cvx_P0 - 1)}**</span> · écart (convexité) <span class="green">**${fmt(cvx_exact - cvx_approx, 2)} €**</span></div>`

La courbe exacte est toujours au-dessus de la tangente : l’écart, toujours favorable au porteur, c’est la convexité. Tester un choc négatif : le prix monte plus que la duration ne le prévoit.

Exemple résolu — Obligation au pair

Nominal 1 000 €, coupon 6 % (60 €), 3 ans, taux de marché 6 % (prix 1 000 €).

\(t\)	\(CF_t\)	\(CF_t/1{,}06^t\)	\(t \cdot CF_t/1{,}06^t\)
1	60	56,60	56,60
2	60	53,40	106,80
3	1 060	890,00	2 669,99
Total		1 000,00	2 833,39

\(D_M = 2\,833{,}39 / 1\,000 \approx\) 2,83 ans

\(D^* = 2{,}83 / 1{,}06 \approx\) 2,67

Hausse de 0,5 point :

\(\Delta P/P \approx -2{,}67 \times 0{,}005 \approx\) −1,34 %

Recalcul exact à 6,5 % : 986,76 €, soit −1,32 %.

Petit choc → approximation très bonne.

🪤 Le piège

« Une obligation à 5 ans a une duration de 5 ans, et la duration donne la perte pour n’importe quel choc de taux. »

La duration est inférieure à la maturité dès qu’il y a des coupons. Et c’est une tangente : valable pour de petits chocs. Pour plusieurs points, recalculez le prix exactement ou ajoutez la convexité.

Duration = centre de gravité des flux. Grand choc → pensez convexité.

🧠 Vérifiez votre compréhension

Un portefeuille a une duration modifiée de 6. Les taux montent de 0,5 point.

\(\Delta P / P \approx -6 \times 0{,}005 =\) −3 %

Le trésorier anticipe une hausse des taux. Allonge-t-il ou raccourcit-il la duration de son portefeuille ?

Il la raccourcit : maturités plus courtes, coupons plus élevés.

Séquence 7
Étude de cas : choisir un financement

De la formule à la recommandation.

60 min : contexte 5 min, travail en binômes 35 min (étape 1 : 15 min, étape 2 : 10 min, étape 3 : 10 min), correction 15 min, cadre de décision 5 min.

Le contexte

Une PME finance un équipement industriel de 600 000 €. Trois offres sur 7 ans :

• Banque A : annuités constantes, 3,8 % ;
• Banque B : amortissement constant, 3,5 % ;
• Banque C : in fine, 3,2 %, mais 6 000 € de frais initiaux.

Quelle offre recommander ?

Votre intuition   ① A   ② B   ③ C

Travail demandé

Pour chaque financement :

1. Échéance de la première et de la dernière année.
2. Coût total des intérêts sur la durée.
3. Banque C : taux actuariel intégrant les frais.
4. Pression sur la trésorerie en année 1 et en année 7.
5. Risques propres à chaque modalité.
6. Recommandation argumentée (une page).

Étape	Questions	Outil	Durée
1	1 et 2	Annuité (S2), \(C_0/n\) + intérêts sur CRD (S3), \(C_0 \times i\) (S3)	15 min
2	3	Taux actuariel sur 594 000 € nets (S4)	10 min
3	4 à 6	Comparer année 1 / année 7, risques, profil de trésorerie	10 min

✏️ Une ligne du temps par banque avant tout calcul.

Correction — Étapes 1 et 2

	Banque A	Banque B	Banque C
Échéance année 1	99 228 €	106 714 €	19 200 €
Échéance année 7	99 228 €	88 714 €	619 200 €
Intérêts totaux	94 597 €	84 000 €	134 400 € + 6 000 € frais
Taux actuariel	3,8 %	3,5 %	3,36 %

A : \(A = 600\,000 \times \dfrac{0{,}038}{1 - 1{,}038^{-7}} = 600\,000 \times \dfrac{0{,}038}{0{,}229773} \approx 99\,228\) €

B : \(Am = 600\,000/7 \approx 85\,714\) € · \(A_1 = 85\,714 + 21\,000\) · \(A_7 = 85\,714 \times 1{,}035\) · \(\sum I_t = 0{,}035 \times 600\,000 \times \frac{7+1}{2}\)

C : \(594\,000 = 19\,200 \cdot \dfrac{1-(1+r)^{-7}}{r} + \dfrac{600\,000}{(1+r)^7}\) → \(r \approx 3{,}36\,\%\)

Correction — Étape 3

• Coût actuariel : C (3,36 %) < B (3,5 %) < A (3,8 %). Les 134 400 € d’intérêts de C ne la rendent pas plus chère (piège de la Séquence 3).
• B domine A : taux plus bas, 10 600 € d’intérêts en moins… mais + 7 500 € à décaisser en année 1.
• C : charge annuelle la plus légère, mais 600 000 € à trouver en année 7 → risque de refinancement.

Recommandation type : B si les flux d’exploitation couvrent ~106 700 € dès l’année 1 ; A si la trésorerie initiale est la contrainte ; C seulement avec une source de remboursement identifiée à 7 ans (cession, épargne dédiée).

Cadre de décision

• Si les frais diffèrent → comparez par le taux actuariel, jamais par le taux affiché.
• Si la PME dégage des flux suffisants dès l’année 1 → l’amortissement constant minimise les intérêts payés.
• Si la trésorerie des premières années est la contrainte → annuités constantes : charge plus faible au départ et stable.
• Si le capital est remboursé en une fois (in fine) → exigez une source de remboursement identifiée à l’échéance.
• Si les coûts réels sont proches → tranchez sur le profil de trésorerie et le risque de refinancement.

Exercices & synthèse

Ce qu’il faut retenir, et le mettre en pratique.

25 min : carte mentale 3 min, niveau 1 en autonomie 8 min, niveau 2 en binômes 12 min, réflexes 2 min. Niveau 3 : travail personnel, correction dans le cours en ligne.

Carte mentale du cours

Σ Annuités constantes

\(A = C_0 \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}\)

\(I_t = CRD_{t-1} \times i\) · \(Am_t = A - I_t\)

⇅ Modalités

Amort. constant : \(Am = C_0/n\)

In fine : \(I_t = C_0\,i\), puis \(C_0(1+i)\)

% Taux actuariel

Net reçu \(= \sum \dfrac{Flux_t}{(1+r)^t}\)

Frais ↑ → \(r\) ↑ · Excel TAUX

⚖ Obligations

\(P_0 = C\,\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r} + \dfrac{N}{(1+r)^n}\)

\(\dfrac{\Delta P}{P} \approx -\dfrac{D_M}{1+r}\,\Delta r\)

Niveau 1 — Application directe

1.1 — Annuité d’un emprunt de 50 000 € sur 4 ans à 5 % ?

\(A = 50\,000 \times \dfrac{0{,}05}{1 - 1{,}05^{-4}} = 50\,000 \times \dfrac{0{,}05}{0{,}17730} \approx\) 14 101 €

1.2 — Obligation de nominal 1 000 €, coupon 40 €, 3 ans, taux de marché 6 %. Prix ? Prime ou décote ?

\(P_0 = 40 \times 2{,}6730 + 1\,000 / 1{,}06^3 = 106{,}92 + 839{,}62 =\) 946,54 €

946,54 < 1 000 → décote (taux de marché 6 % > taux facial 4 %).

Niveau 2 — Prêt immobilier

200 000 € sur 20 ans, mensualités constantes, taux 2,4 % annuel (converti en taux mensuel équivalent). Frais de garantie : 1 500 € à l’origine.

1. Taux mensuel équivalent ?
2. Mensualité ?
3. Taux actuariel mensuel, puis annuel ?

1. \(i_m = 1{,}024^{1/12} - 1 \approx\) 0,1980 %

2. \(A = 200\,000 \times \dfrac{0{,}001980}{1 - 1{,}001980^{-240}} \approx 200\,000 \times 0{,}005238 \approx\) 1 047,57 €/mois

3. \(198\,500 = 1\,047{,}57 \times \dfrac{1-(1+r_m)^{-240}}{r_m}\) → \(r_m \approx 0{,}2046\,\%\) → \(r_a = 1{,}002046^{12} - 1 \approx\) 2,48 %

Excel : =VPM(1,024^(1/12)-1;240;-200000) → 1 047,57 ; =TAUX(240;-1047,57;198500) → 0,2046 %.

Niveau 3 — Analyse obligataire

Obligation de nominal 5 000 €, taux facial 3 %, 8 ans, achetée au pair. Les taux montent brusquement de +150 points de base (à 4,5 %).

1. Nouveau prix de l’obligation ?
2. Duration de Macaulay ? (au pair : \(D_M = \frac{1+i}{i}\left(1-(1+i)^{-n}\right)\))
3. Variation estimée par la duration modifiée, comparée à la variation réelle ?
4. Que concluez-vous sur la convexité ?

Travail personnel — correction détaillée dans le cours en ligne.

Résultats pour l’enseignant : P = 4 505,31 € (−9,89 %) ; D_M ≈ 7,23 ans ; D* ≈ 7,02 → −10,53 % (≈ −526 €) contre −495 € réels ; écart ≈ 32 € dû à la convexité, en faveur du porteur.

Cinq réflexes à acquérir

1. ✏️ Tracer la ligne du temps avec le sens de chaque flux.
2. 🧾 Décomposer chaque échéance : intérêts sur le CRD + amortissement.
3. 💶 Partir du montant net reçu pour mesurer le coût réel.
4. ⚖️ Comparer des valeurs actualisées, pas des totaux d’intérêts en euros.
5. 📉 Taux ↑ → prix ↓, d’autant plus que la duration est longue.

📖 Pour aller plus loin

Théorie complète, démonstrations, exemples et corrections détaillées :

→ Module 2 : Emprunts et obligations

→ Formulaire · → Glossaire

Une dette n’est qu’une suite de flux datés ramenés à une même date.