Choix d’investissement

Mathématiques financières · Module 3

fmt = (x, d = 0) =>
  x.toLocaleString("fr-FR", {minimumFractionDigits: d, maximumFractionDigits: d})
pct = (x, d = 2) => fmt(100 * x, d) + " %"
eur = x => {
  const r = Math.round(Math.abs(x)).toString().replace(/\B(?=(\d{3})+(?!\d))/g, " ");
  return (x < 0 && Math.round(Math.abs(x)) !== 0 ? "−" : "") + r + " €";
}
van = (I0, flows, k) => -I0 + flows.reduce((s, cf, t) => s + cf / (1 + k) ** (t + 1), 0)

Faut-il acheter cette machine ?

Sans calculer — votez à main levée, puis justifiez.

Un atelier de menuiserie hésite à acheter une machine à commande numérique.

MACHINE

50 000 €

aujourd'hui

EN RETOUR

15 000 €/an

pendant 5 ans = 75 000 €

EXIGENCE

8 %/an

rendement minimum exigé

75 000 € > 50 000 €… mais les 75 000 € arrivent au fil des années. Toute la journée tient dans cette question.

Vote à main levée (2 min). Noter la répartition oui/non au tableau. Demander 2-3 justifications : elles font émerger la valeur temps de l’argent, le coût d’opportunité, le risque. On tranchera en Séquence 2 avec la VAN.

Objectifs de la journée

À la fin de cette journée, vous serez capables de :

1. construire les flux de trésorerie différentiels d’un projet ;
2. calculer et interpréter la VAN ;
3. calculer le TRI et discuter ses limites ;
4. utiliser le délai de récupération simple et actualisé ;
5. comparer des projets de durées différentes (annuité équivalente) ;
6. mener une analyse de sensibilité et raisonner par scénarios ;
7. formuler une recommandation d’investissement argumentée.

Programme de la journée

Matin — 3 h

Séquence	Durée
1 · Flux de trésorerie	45 min
2 · VAN	60 min
3 · TRI	60 min
Pause	15 min
Total	180 min

Après-midi — 3 h

Séquence	Durée
4 · Délais & comparaison	45 min
5 · Analyse du risque	75 min
6 · Cas intégrateur	45 min
7 · Synthèse & exercices	15 min
Total	180 min

6 h de face-à-face. Le classeur Excel est disponible dans le cours pour reproduire tous les calculs.

Si le groupe prend du retard : la démonstration interactive de la Séquence 4 (délais) est compressible. Le cas intégrateur (S6) peut être traité en démonstration magistrale plutôt qu’en travail de groupe.

La règle d’or

✏️ La ligne du temps avant toute formule.

− I₀

t = 0
investissement

 

CF₁

t = 1

 

CF₂

t = 2

…

CFₙ+VR

t = n
flux terminal

1. Placez chaque flux à sa date, avec son sens (+ reçu / − versé).
2. Repérez la date d’évaluation (aujourd’hui, \(t = 0\)).
3. Ensuite seulement : actualisez tout à cette date.

Insister : amortissements oubliés, BFR ignoré, double comptage de l’investissement… les pièges de la Séquence 1 se voient tous sur ce schéma.

Séquence 1
Construction des flux de trésorerie

Quels flux réels le projet génère-t-il ?

Flux comptables ≠ flux de trésorerie

• 📊 Le résultat comptable inclut des charges non décaissées (amortissements).
• 💶 Seuls les flux réels comptent pour la décision financière.
• 🔄 On réintègre les dotations aux amortissements : elles ont réduit l’impôt sans sortir d’argent.

\[CF_t = \text{Résultat d'exploitation après impôt} + \text{Dotation aux amortissements}\]

Ou à partir de l’EBE :

\[CF_t = EBE - \text{Impôt théorique} - \Delta BFR_t - \text{Investissements complémentaires}\]

La ligne du temps d’un projet

−I₀
prix + frais
+ ΔBFR₀

t = 0

 

CF₁

t = 1

 

CF₂

t = 2

…

CFₙ + VR
+ BFR récupéré

t = n

Flux initial (\(t = 0\))

• Prix d’acquisition
• Frais d’installation
• Coûts de formation
• − Produit de cession (si remplacement)
• • ΔBFR₀

Flux terminal (\(t = n\))

• Valeur résiduelle nette
• − Imposition sur plus-value
• • Récupération du BFR
• − Coûts de fermeture

🪤 Cinq pièges classiques

1. Amortissements en sortie — ce ne sont pas des décaissements.
2. BFR oublié — toute hausse d’activité immobilise de la trésorerie.
3. Double comptage — ne pas inclure les intérêts si le taux reflète déjà le coût du financement.
4. Valeur résiduelle omise — l’actif a souvent encore de la valeur en fin de projet.
5. Sunk costs — les coûts déjà engagés et irrécupérables n’apparaissent jamais.

Décision sur flux différentiels, jamais sur le résultat comptable seul.

Séquence 2
Valeur actuelle nette (VAN)

Combien vaut aujourd’hui la machine de la menuiserie ?

Retour à la question d’ouverture

Machine à 50 000 €, 15 000 €/an pendant 5 ans, taux exigé 8 %. Le comptable : « 5 × 15 000 = 75 000 € > 50 000 €, c’est rentable. »

Faut-il acheter la machine ?

Votre pronostic   ① Oui, largement   ② Oui, de justesse   ③ Non

Actualisons chaque flux

Année \(t\)	Flux	Facteur \(1/1{,}08^t\)	Valeur d’aujourd’hui
1	15 000 €	0,9259	13 888,89 €
2	15 000 €	0,8573	12 860,08 €
3	15 000 €	0,7938	11 907,48 €
4	15 000 €	0,7350	11 025,45 €
5	15 000 €	0,6806	10 208,75 €
Total	75 000 €		59 890,65 €

\[59\,890{,}65 - 50\,000 = \mathbf{+9\,890{,}65\ €}\]

La formule et la règle de décision

\[VAN = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+k)^t}\]

Résultat	Interprétation	Décision
\(VAN > 0\)	Crée de la valeur au-delà du taux exigé	✅ Accepter
\(VAN = 0\)	Rémunère exactement au taux exigé	➖ Indifférent
\(VAN < 0\)	Ne couvre pas le rendement exigé	❌ Rejeter

VAN
+9 891 €

t = 0
évaluation

÷ 1,08

15 000

t = 1

÷ 1,08²

15 000

t = 2

…

15 000

t = 5

VAN(k) : plus le taux monte, moins ça vaut 🎛️

viewof s2_k = Inputs.range([0, 30], {value: 8, step: 0.5, label: "Taux d'actualisation k (%)"})

{
  const flows = [15000, 15000, 15000, 15000, 15000];
  const pts = Array.from({length: 121}, (_, i) => ({
    x: i * 0.25,
    v: van(50000, flows, i * 0.0025)
  }));
  const k = s2_k / 100;
  const v = van(50000, flows, k);
  return Plot.plot({
    width: 900, height: 300, marginLeft: 70,
    style: {background: "transparent", color: "currentColor"},
    x: {label: "Taux k (%)", domain: [0, 30]},
    y: {label: "↑ VAN (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
    marks: [
      Plot.areaY(pts, {x: "x", y1: 0, y2: d => Math.max(d.v, 0), fill: "#5bdb6d", fillOpacity: 0.15}),
      Plot.areaY(pts, {x: "x", y1: d => Math.min(d.v, 0), y2: 0, fill: "#db5b5b", fillOpacity: 0.15}),
      Plot.ruleY([0], {stroke: "#8b8f9c"}),
      Plot.line(pts, {x: "x", y: "v", stroke: "#5b9bdb", strokeWidth: 3}),
      Plot.dot([{x: s2_k, y: v}], {x: "x", y: "y", r: 8, fill: v >= 0 ? "#5bdb6d" : "#db5b5b", stroke: "white", strokeWidth: 2}),
      Plot.text([{x: s2_k, y: v}], {x: "x", y: "y", text: () => eur(v), dy: -16, fontSize: 14, fontWeight: "bold", fill: "currentColor"})
    ]
  });
}

{
  const k = s2_k / 100;
  const v = van(50000, [15000,15000,15000,15000,15000], k);
  return md`<div class="ojs-result">À k = **${pct(k, 1)}** : VAN = <span class="${v >= 0 ? "green" : "red"}">**${eur(v)}**</span> → ${v >= 0 ? "**accepter**" : "**rejeter**"}</div>`;
}

Faire constater : la VAN décroît quand k monte. À 8 % : +9 891 €. À 12 % : encore positif (+4 072 €). Au-delà de ~15,2 % (le TRI, Séquence 3), la VAN devient négative. Zone verte = zone d’acceptation.

Deux leviers de la VAN 🎛️

viewof s2_mult = Inputs.range([50, 150], {value: 100, step: 1, label: "Niveau des flux CF (% du cas central)"})

{
  const k = s2_k / 100;
  const mult = s2_mult / 100;
  const base = [15000, 15000, 15000, 15000, 15000];

  // Panneau gauche : VAN(k)
  const ptsK = Array.from({length: 121}, (_, i) => ({x: i * 0.25, v: van(50000, base.map(c => c * mult), i * 0.0025)}));
  const plotK = Plot.plot({
    width: 430, height: 280, marginLeft: 60,
    style: {background: "transparent", color: "currentColor"},
    x: {label: "Taux k (%)", domain: [0, 30]},
    y: {label: "VAN (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
    title: "↑ k  →  ↓ VAN",
    marks: [
      Plot.ruleY([0], {stroke: "#8b8f9c"}),
      Plot.line(ptsK, {x: "x", y: "v", stroke: "#5b9bdb", strokeWidth: 2.5}),
      Plot.dot([{x: s2_k, y: van(50000, base.map(c => c * mult), k)}], {x: "x", y: "y", r: 7, fill: "#5b9bdb", stroke: "white", strokeWidth: 1.5})
    ]
  });

  // Panneau droit : VAN(flux)
  const ptsCF = Array.from({length: 101}, (_, i) => ({x: 50 + i, v: van(50000, base.map(c => c * (50 + i) / 100), k)}));
  const plotCF = Plot.plot({
    width: 430, height: 280, marginLeft: 60,
    style: {background: "transparent", color: "currentColor"},
    x: {label: "Flux CF (%)", domain: [50, 150]},
    y: {label: "VAN (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
    title: "↑ CF  →  ↑ VAN",
    marks: [
      Plot.ruleY([0], {stroke: "#8b8f9c"}),
      Plot.line(ptsCF, {x: "x", y: "v", stroke: "#5bdb6d", strokeWidth: 2.5}),
      Plot.dot([{x: s2_mult, y: van(50000, base.map(c => c * mult), k)}], {x: "x", y: "y", r: 7, fill: "#5bdb6d", stroke: "white", strokeWidth: 1.5})
    ]
  });

  return html`<div style="display:flex; gap:16px; flex-wrap:wrap; justify-content:center;">
    <div>${plotK}</div><div>${plotCF}</div>
  </div>`;
}

{
  const k = s2_k / 100, mult = s2_mult / 100;
  const v = van(50000, [15000,15000,15000,15000,15000].map(c => c * mult), k);
  return md`<div class="ojs-result">k = **${pct(k, 1)}** · flux × **${s2_mult} %** → VAN = <span class="${v >= 0 ? "green" : "red"}">**${eur(v)}**</span></div>`;
}

Exemple résolu — La presse de l’imprimerie

Presse à 30 000 €, flux de 10 000 / 12 000 / 14 000 € sur 3 ans, \(k = 10\,\%\).

\[VAN = -30\,000 + \frac{10\,000}{1{,}10} + \frac{12\,000}{1{,}10^2} + \frac{14\,000}{1{,}10^3}\] \[= -30\,000 + 9\,090{,}91 + 9\,917{,}36 + 10\,518{,}41\]

−473,33 €

VAN < 0 → on rejette la presse

La somme brute (36 000 €) dépasse la mise, mais actualisée elle ne vaut que 29 527 €.

Indice de profitabilité (IP)

\[IP = \frac{\text{VA des flux futurs}}{I_0} = 1 + \frac{VAN}{I_0}\]

• IP > 1 ⇔ VAN > 0. Mesure la valeur créée par euro investi.
• Utile quand le budget est contraint : hiérarchiser des projets de tailles différentes.

⚠️ Pour des projets mutuellement exclusifs, c’est la VAN absolue qui prime — elle mesure l’enrichissement total, pas la rentabilité relative.

🪤 Le piège

« 5 × 15 000 = 75 000 € pour 50 000 € investis : rentable, inutile de calculer. »

On additionne des euros de dates différentes comme s’ils valaient tous autant que les 50 000 € d’aujourd’hui. Il faut actualiser d’abord.

Un euro de demain n’est pas un euro d’aujourd’hui.

🧠 Vérifiez votre compréhension

Projet à 80 000 €, flux 30 000 / 35 000 / 40 000 € sur 3 ans, k = 10 %. VAN ?

\[VAN = -80\,000 + \frac{30\,000}{1{,}1} + \frac{35\,000}{1{,}1^2} + \frac{40\,000}{1{,}1^3} \approx \mathbf{+6\,252\ €}\]

✅ VAN > 0 → projet acceptable.

Séquence 3
Taux de rentabilité interne (TRI)

Jusqu’où le taux exigé peut-il monter ?

La machine, à plusieurs taux

Taux exigé	VA des 5 flux	VAN
8 %	59 891 €	+9 891 €
12 %	54 072 €	+4 072 €
16 %	49 114 €	−886 €
20 %	44 859 €	−5 141 €

La VAN change de signe entre 12 % et 16 % → interpolation : \(12\,\% + 4\,\% \times \frac{4\,072}{4\,072 + 886} \approx\) 15,3 %

Calcul exact : TRI = 15,24 %

Définition et règle de décision

\[0 = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} \qquad \text{le TRI est le taux } r \text{ qui annule la VAN}\]

Comparaison	Décision
\(TRI > k\)	✅ Accepter
\(TRI = k\)	➖ Indifférent
\(TRI < k\)	❌ Rejeter

Le TRI ne dépend que des flux du projet, pas de l’opinion des associés. C’est le taux exigé maximal que le projet peut supporter.

Profil VAN(k) — le TRI est le point de croisement 🎛️

viewof s3_k = Inputs.range([0, 50], {value: 10, step: 0.5, label: "Taux d'actualisation k (%)"})

{
  const flows = [3000, 3500, 4000, 4000, 3000];
  const I0 = 10000;

  // Bissection pour trouver le TRI
  let lo = 0, hi = 1;
  for (let i = 0; i < 200; i++) {
    const mid = (lo + hi) / 2;
    if (van(I0, flows, mid) > 0) lo = mid; else hi = mid;
  }
  const tri = (lo + hi) / 2;

  const pts = Array.from({length: 101}, (_, i) => ({x: i * 0.5, v: van(I0, flows, i * 0.005)}));
  const k = s3_k / 100;
  const v = van(I0, flows, k);

  return Plot.plot({
    width: 900, height: 320, marginLeft: 70,
    style: {background: "transparent", color: "currentColor"},
    x: {label: "Taux k (%)", domain: [0, 50]},
    y: {label: "↑ VAN (€)", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
    title: "Le TRI est l'abscisse où la courbe coupe l'axe",
    marks: [
      Plot.areaY(pts, {x: "x", y1: 0, y2: d => Math.max(d.v, 0), fill: "#5b9bdb", fillOpacity: 0.15}),
      Plot.ruleY([0], {stroke: "#8b8f9c"}),
      Plot.line(pts, {x: "x", y: "v", stroke: "#5b9bdb", strokeWidth: 2.5}),
      Plot.ruleX([tri * 100], {stroke: "#f0a500", strokeDasharray: "4,3"}),
      Plot.dot([{x: tri * 100, y: 0}], {x: "x", y: "y", r: 7, fill: "#f0a500"}),
      Plot.text([{x: tri * 100, y: 0}], {x: "x", y: "y", text: () => `TRI ≈ ${pct(tri)}`, dx: 10, fontSize: 13, fontWeight: "bold", fill: "#f0a500"}),
      Plot.dot([{x: s3_k, y: v}], {x: "x", y: "y", r: 6, fill: "#5bdb6d", stroke: "white", strokeWidth: 1.5}),
      Plot.text([{x: s3_k, y: v}], {x: "x", y: "y", text: () => eur(v), dy: -14, fontSize: 12, fill: "currentColor"})
    ]
  });
}

{
  const flows = [3000, 3500, 4000, 4000, 3000];
  let lo = 0, hi = 1;
  for (let i = 0; i < 200; i++) {
    const mid = (lo + hi) / 2;
    if (van(10000, flows, mid) > 0) lo = mid; else hi = mid;
  }
  const tri = (lo + hi) / 2;
  return md`<div class="ojs-result">TRI ≈ **${pct(tri)}** · à k = ${pct(s3_k / 100, 1)} : VAN = <span class="${van(10000, flows, s3_k/100) >= 0 ? "green" : "red"}">**${eur(van(10000, flows, s3_k/100))}**</span> → ${van(10000, flows, s3_k/100) >= 0 ? "accepter" : "rejeter"}</div>`;
}

Exemple résolu — Le food-truck

Food-truck à 10 000 €, 6 000 €/an pendant 2 ans.

Taux testé	VAN
12 %	+140,31 €
14 %	−120,04 €

\[TRI \approx 12\,\% + 2\,\% \times \frac{140{,}31}{140{,}31 + 120{,}04} \approx \mathbf{13{,}08\,\%}\]

Si \(k = 10\,\%\) : \(TRI > k\) → ✅ projet acceptable.

Quatre limites du TRI

1. Plusieurs TRI possibles — si les flux changent de signe plus d’une fois.

2. Absence de TRI — certains profils de flux n’ont pas de solution.

3. Conflit VAN / TRI — projets mutuellement exclusifs de tailles différentes :

   Projet	VAN à 10 %	TRI
   A	80 000 €	25 %
   B	120 000 €	18 %

   La VAN choisit B, le TRI choisit A.

4. Hypothèse de réinvestissement — le TRI suppose réinvestir au taux \(r\) lui-même (irréaliste si \(r\) est élevé). La VAN suppose réinvestir au coût du capital \(k\) (plus réaliste).

En cas de conflit : la VAN est prioritaire — elle mesure l’enrichissement absolu.

🪤 Le piège

« Le TRI dépasse le taux exigé, donc le projet est bon — pas besoin de la VAN. »

Le TRI suppose un réinvestissement au TRI même et peut classer à tort deux projets de tailles différentes. La VAN actualise au coût du capital.

VAN pour décider, TRI pour communiquer.

🧠 Vérifiez votre compréhension

Machine à 50 000 €, 15 000 €/an × 5 ans. À k = 12 %, que vaut la VAN ? Le projet est-il acceptable ? Et à k = 18 % ?

• k = 12 % : VAN ≈ +4 072 € → ✅ (TRI = 15,24 % > 12 %)
• k = 18 % : VAN ≈ −2 700 € → ❌ (TRI < 18 %)

Séquence 4
Délai de récupération et comparaison de projets

Récupérer vite = gagner plus ?

Rapide ou Durable ?

Une PME dispose de 40 000 €. Deux projets :

• Rapide : 20 000 €/an × 2 ans, puis 5 000 € en an 3.
• Durable : 12 000 €/an × 6 ans.

Le banquier : « Prenez celui qui rend la mise le plus vite, c’est le moins risqué. »

Faut-il suivre le banquier ?

Votre pronostic   ① Rapide   ② Durable   ③ Égal

Cumul des flux

Année	Rapide : flux	Rapide : cumul	Durable : flux	Durable : cumul
1	20 000 €	20 000 €	12 000 €	12 000 €
2	20 000 €	40 000 €	12 000 €	24 000 €
3	5 000 €	45 000 €	12 000 €	36 000 €
4	—	—	12 000 €	48 000 €
5	—	—	12 000 €	60 000 €
6	—	—	12 000 €	72 000 €

• DRS Rapide = 2 ans pile.
• DRS Durable ≈ 3,33 ans.

…mais en euros d’aujourd’hui (k = 8 %)

Année	Rapide : VA cumulée	Durable : VA cumulée
1	18 519 €	11 111 €
2	35 665 €	21 399 €
3	39 634 €	30 925 €
4	—	39 746 €
5	—	47 913 €
6	—	55 475 €

• Rapide ne récupère jamais ses 40 000 € : \(VAN = -366\) € ❌
• Durable franchit le seuil en ≈ 4,03 ans (DRA) : \(VAN = +15\,475\) € ✅

DRS et DRA

Délai de récupération simple

\[DRS : \sum_{t=1}^{DRS} CF_t \geq I_0\]

Cumule les flux tels quels.

Délai de récupération actualisé

\[DRA : \sum_{t=1}^{DRA} \frac{CF_t}{(1+k)^t} \geq I_0\]

Cumule les flux actualisés. Toujours ≥ DRS.

Critère	Intérêt	Limite
DRS / DRA	Mesure la liquidité, pertinent en environnement risqué	Ignore les flux après le délai ; ne mesure pas la création de valeur

:::

Comparer des projets de durées différentes

Quand deux projets ont des durées différentes, la VAN brute n’est pas comparable directement → annuité équivalente (AE) :

\[AE = VAN \times \frac{k}{1-(1+k)^{-n}}\]

L’AE est la rente annuelle constante équivalente à la VAN du projet.

Exemple — Rapide vs Durable à 8 % : AE ≈ −142 €/an contre +3 347 €/an. → Durable crée de la valeur par an.

🪤 Le piège

« Le projet qui rembourse le plus vite est le meilleur, puisqu’il est le moins risqué. »

Le délai ignore tout ce qui se passe après le remboursement. Ici, Rapide récupère en 2 ans mais détruit de la valeur.

Le délai mesure la liquidité, pas la création de valeur.

🧠 Vérifiez votre compréhension

Projet à 10 000 €, flux 4 000 / 5 000 / 6 000 €, k = 10 %. DRS et DRA ?

• DRS = 2 + (10 000 − 9 000)/6 000 ≈ 2,17 ans
• DRA = 2 + (10 000 − 7 768,60)/4 507,89 ≈ 2,50 ans

Le délai actualisé est plus long : actualiser réduit le poids des flux.

Pause déjeuner 🍽️

Séquence 5
Analyse du risque

Jusqu’où les ventes peuvent-elles baisser ?

La machine, face à l’incertitude

Les 15 000 €/an de la machine reposent sur 2 000 pièces vendues à 12 € de marge, moins 9 000 € de charges fixes.

Un concurrent vient d’ouvrir. Si les ventes baissaient de 20 %, le projet tiendrait-il encore ?

Votre pronostic   ① Oui, largement   ② De justesse   ③ Non

Ventes −20 % : effet de levier des charges fixes

\[2\,000 \times 12 - 9\,000 = 15\,000\ € \quad\longrightarrow\quad 1\,600 \times 12 - 9\,000 = 10\,200\ €\]

Volume	Flux annuel	VAN (k = 8 %)
2 000 pièces (prévu)	15 000 €	+9 891 €
1 600 pièces (−20 %)	10 200 €	−9 274 €

Une baisse de 20 % des ventes fait chuter le flux de 32 % et fait basculer la VAN dans le négatif.

Valeur seuil (break-even)

Quel flux annuel rend la VAN nulle ?

\[\text{flux seuil} = \frac{50\,000}{3{,}9927} \approx 12\,523\ € \quad\Rightarrow\quad \text{volume seuil} \approx \mathbf{1\,794\ pièces}\]

≈ 10 %

marge de sécurité sur le volume — le projet ne supporte qu’une baisse de ~10 %

Trois outils, trois questions 🎛️

viewof s5_vol = Inputs.range([-30, 30], {value: 0, step: 1, label: "Volume vendu (%)"})
viewof s5_marge = Inputs.range([-30, 30], {value: 0, step: 1, label: "Marge unitaire (%)"})
viewof s5_fixes = Inputs.range([-30, 30], {value: 0, step: 1, label: "Charges fixes (%)"})

{
  const base = {vol: 2000, marge: 12, fixes: 9000, I0: 50000, k: 0.08, n: 5};
  const p = {
    vol: base.vol * (1 + s5_vol / 100),
    marge: base.marge * (1 + s5_marge / 100),
    fixes: base.fixes * (1 + s5_fixes / 100),
    ...base
  };
  const flux = p.vol * p.marge - p.fixes;
  const facteur = (1 - Math.pow(1 + p.k, -p.n)) / p.k;
  const v = -p.I0 + flux * facteur;
  const seuil = (p.I0 / facteur + p.fixes) / p.marge;
  const margeSecu = 1 - seuil / p.vol;

  // Tornade
  const v0 = v;
  const facteurs = [
    {label: "Volume", bas: van(p.I0, Array(p.n).fill(base.vol * (1 - 0.2) * p.marge - p.fixes), p.k) - (-p.I0 + flux * facteur), haut: van(p.I0, Array(p.n).fill(base.vol * (1 + 0.2) * p.marge - p.fixes), p.k) - (-p.I0 + flux * facteur)},
    {label: "Marge", bas: van(p.I0, Array(p.n).fill(p.vol * base.marge * 0.8 - p.fixes), p.k) - (-p.I0 + flux * facteur), haut: van(p.I0, Array(p.n).fill(p.vol * base.marge * 1.2 - p.fixes), p.k) - (-p.I0 + flux * facteur)},
    {label: "Charges fixes", bas: van(p.I0, Array(p.n).fill(p.vol * p.marge - base.fixes * 0.8), p.k) - (-p.I0 + flux * facteur), haut: van(p.I0, Array(p.n).fill(p.vol * p.marge - base.fixes * 1.2), p.k) - (-p.I0 + flux * facteur)}
  ].sort((a, b) => Math.max(Math.abs(a.bas), Math.abs(a.haut)) - Math.max(Math.abs(b.bas), Math.abs(b.haut)));

  const ordre = facteurs.map(f => f.label).reverse();
  const tornado = Plot.plot({
    width: 900, height: 180, marginLeft: 120,
    style: {background: "transparent", color: "currentColor"},
    x: {label: "Δ VAN (€) autour du cas affiché", grid: true, tickFormat: d => fmt(d)},
    y: {domain: ordre},
    marks: [
      Plot.barX(facteurs, {y: "label", x1: 0, x2: "bas", fill: "#db5b5b", fillOpacity: 0.8}),
      Plot.barX(facteurs, {y: "label", x1: 0, x2: "haut", fill: "#5bdb6d", fillOpacity: 0.8}),
      Plot.ruleX([0], {stroke: "currentColor"})
    ]
  });

  return html`<div>
    <div style="border-left:4px solid #5b9bdb; padding:8px 14px; margin:8px 0; font-size:0.85em;">
      Flux annuel = ${fmt(p.vol)} × ${fmt(p.marge, 2)} € − ${fmt(p.fixes)} € = <b>${eur(flux)}</b><br>
      VAN = <b class="${v >= 0 ? "green" : "red"}">${eur(v)}</b> ·
      Volume seuil ≈ <b>${fmt(seuil)} pièces</b> ·
      Marge de sécurité <b>${pct(margeSecu * 100, 1)}</b>
    </div>
    ${tornado}
  </div>`;
}

Le diagramme en tornade fait varier un seul facteur à ±20 % : les barres les plus longues = les hypothèses à sécuriser en priorité. Ici volume et marge pèsent autant (leur produit = la recette).

Analyse par scénarios

Scénario	Volume	Flux annuel	VAN	Proba.
Pessimiste	1 600	10 200 €	−9 274 €	0,25
Central	2 000	15 000 €	+9 891 €	0,50
Optimiste	2 300	18 600 €	+24 264 €	0,25

\[E(VAN) = \sum p_s \cdot VAN_s \approx \mathbf{8\,693\ €} \qquad \sigma(VAN) = \sqrt{\sum p_s (VAN_s - E(VAN))^2} \approx \mathbf{11\,918\ €}\]

La VAN espérée est positive, mais l’écart-type dépasse la moyenne et la probabilité de VAN négative est de 25 %.

Limites de l’espérance

« La VAN espérée est positive, donc le projet est sûr. »

L’espérance est une moyenne : deux projets de même VAN espérée peuvent avoir des dispersions très différentes. Toujours regarder : - le scénario défavorable (perte maximale), - la probabilité de VAN < 0, - la capacité financière à absorber un échec.

Regarde la moyenne ET la dispersion.

Séquence 6
Cas intégrateur : automatisation logistique

Une recommandation complète, de la donnée à la décision.

Le contexte

Automatisation d’une partie du processus logistique.

Paramètre	Valeur
Investissement (robots + logiciel)	850 000 €
Frais d’installation	50 000 €
Hausse initiale du BFR	40 000 €
Durée	5 ans
Économies annuelles	280 000 €/an
Maintenance	30 000 €/an
Valeur résiduelle nette	60 000 €
CMPC	8 %
IS	25 %

Étape 1 — Les flux

• \(I_0 = 850\,000 + 50\,000 + 40\,000 = \mathbf{940\,000\ €}\)
• Dotation = \(900\,000 / 5 = 180\,000\) €/an
• RE = \((280\,000 - 30\,000) - 180\,000 = 70\,000\) € → IS = 17 500 € → RN = 52 500 €
• \(CF_t = 52\,500 + 180\,000 = \mathbf{232\,500\ €}\)/an
• \(CF_5^{total} = 232\,500 + 60\,000 + 40\,000 = \mathbf{332\,500\ €}\)

Étape 2 — Évaluation

Indicateur	Valeur
VAN	+56 363 € ✅
IP	1,060
TRI	≈ 9,5 % (> CMPC 8 %)
DRS	≈ 4,04 ans

Étape 3 — Risque

Scénario	Économies	VAN	Proba.
Pessimiste	200 000 €	−138 000 €	25 %
Central	280 000 €	+56 000 €	50 %
Optimiste	360 000 €	+250 000 €	25 %

\(E(VAN) = 55\,000\) € · \(\sigma(VAN) \approx 136\,000\) € · Proba. VAN < 0 ≈ 25 %

Variable critique : les économies réalisées. Une baisse de 30 % fait basculer la VAN en négatif.

Étape 4 — Recommandation

Investir, sous réserve de sécuriser l’hypothèse d’économies sur l’année 1 (pilote sur un entrepôt avant déploiement complet).

• ✅ VAN centrale positive, TRI > CMPC, VAN espérée positive
• ⚠️ Marge de sécurité mince (TRI 9,5 % vs CMPC 8 %)
• ⚠️ Scénario pessimiste négatif → vérifier la capacité d’absorption
• 🎯 Sécuriser l’hypothèse clé avant engagement (bench fournisseur, visites de référence)

Séquence 7
Synthèse et évaluation

Les 8 réflexes d’une décision financière robuste.

La grille de décision

#	Réflexe
1	Identifier les flux différentiels (entrées/sorties réelles)
2	Positionner les flux dans le temps (ligne du temps)
3	Choisir un taux cohérent (CMPC, taux exigé…)
4	Actualiser tous les flux à la date de référence
5	Calculer plusieurs indicateurs (VAN, TRI, DRS, IP)
6	Tester les hypothèses (sensibilité, scénarios, seuils)
7	Apprécier les risques non quantifiés
8	Formuler une recommandation claire et argumentée

Pourquoi aucun indicateur unique ne suffit ?

Carte mentale du cours

💰 VAN

\(VAN = -I_0 + \sum \frac{CF_t}{(1+k)^t}\)

Enrichissement absolu.

📈 TRI

Taux qui annule la VAN.

Rendement relatif — limites connues.

⏱️ Délai

DRS / DRA.

Mesure la liquidité, pas la valeur.

🎲 Risque

Sensibilité · seuils · scénarios.

E(VAN) et σ(VAN).

Les erreurs qui coûtent cher

Construction des flux

• Amortissements comptés en sortie de trésorerie
• BFR oublié au démarrage
• Double comptage de l’investissement
• Valeur résiduelle omise
• Sunk costs dans les flux futurs

Décision

• Comparer des flux de dates différentes sans actualiser
• Décider sur le TRI seul pour des projets de tailles différentes
• Confondre VAN espérée positive et projet « sûr »
• Oublier de tester les hypothèses critiques

Cinq réflexes à acquérir

1. ✏️ Tracer la ligne du temps avant toute formule.
2. 💶 Ne compter que les flux différentiels réels.
3. 📊 Décider sur la VAN — le TRI et le délai sont des compléments.
4. 🎲 Tester les hypothèses : sensibilité, seuils, scénarios.
5. 📝 Formuler une recommandation chiffrée et nuancée.

Exercices

Du plus direct au plus ouvert. Classeur Excel disponible dans le cours.

Niveau 1 — Application directe

1.1 — Projet à 80 000 €, flux 30 000 / 35 000 / 40 000 € sur 3 ans, k = 10 %. Calculez la VAN et le DRS.

• VAN = −80 000 + 27 273 + 28 926 + 30 053 ≈ +6 252 € ✅
• DRS = 2 + (80 000 − 65 000)/40 000 = 2,375 ans

Niveau 2 — Projet A vs Projet B

Deux projets mutuellement exclusifs, k = 12 %.

An	Projet A	Projet B
0	−100 000 €	−150 000 €
1	50 000 €	40 000 €
2	50 000 €	60 000 €
3	50 000 €	80 000 €
4	—	60 000 €

• VAN A ≈ +20 090 € · AE A ≈ 8 360 €/an
• VAN B ≈ +28 643 € · AE B ≈ 9 431 €/an
• 🏆 Projet B (VAN et AE toutes deux supérieures)

Niveau 3 — Ligne d’embouteillage (étude de cas)

PME agroalimentaire, ligne à 500 000 € + 20 000 € installation + 30 000 € BFR. 6 ans, revenus 180 000 €/an, coûts variables 60 000 €/an, VR 40 000 €, IS 25 %, k = 9 %.

Scénarios : pessimiste 140 000 € (30 %) · central 180 000 € (50 %) · optimiste 220 000 € (20 %).

Travail : flux → VAN/TRI/DRS central → VAN des 3 scénarios → E(VAN) et σ(VAN) → valeur seuil → note de recommandation (10 lignes max).

• VAN centrale ≈ −7 389 € · TRI ≈ 8,4 % < 9 % · E(VAN) ≈ −18 300 €
• Proba. VAN < 0 = 80 % → ne pas investir en l’état (ou renégocier < 543 000 €)

📖 Pour aller plus loin

Théorie complète, démonstrations interactives, classeur Excel et corrections détaillées :

→ Module 3 : Choix d’investissement

→ Classeur Excel · → Formulaire · → Glossaire

Décider, c’est comparer des flux de dates différentes — ramenés à aujourd’hui, testés, puis assumés.