Couples de variables a densite
Ce chapitre etend la theorie des lois a densite au cas de deux variables aleatoires reelles. On introduit d’abord les integrales doubles sur \(\mathbb{R}^2\) (cadre de Tonelli/Fubini), puis la loi conjointe d’un couple \((X,Y)\) absolument continu. On construit ensuite les lois marginales, on caracterise l’independance par factorisation de la densite, puis on generalise les notions d’esperance et de covariance. Le chapitre se termine par une application centrale: la loi de la somme de deux variables independantes via la convolution des densites.
Dans tout ce chapitre, nous nous placons dans un espace probabilise quelconque \((\Omega, \mathcal{F}, P)\).
I - Integrales sur \(\mathbb{R}^2\)
Un prealable utile est la theorie des integrales multiples (integration sur des domaines du plan).
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), continue par morceaux, positive.
Alors: \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\right)dy, \] en autorisant la valeur \(+\infty\).
Pour une fonction qui peut changer de signe, on utilise le theoreme de Fubini sous des hypotheses d’integrabilite adaptees.
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) c.p.m. et positive. On dit que \(f\) est integrable sur \(\mathbb{R}^2\) si l’une (donc les deux) des quantites suivantes est finie:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dy\right)dx, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\right)dy. \]
- Soit \(D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\}\). Calculer:
- \(\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy\),
- \(\displaystyle \iint_D xy(x+y)\,dx\,dy\).
- Soit \[ f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+y)} & \text{si } 0\le x\le y,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \] Calculer \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy\).
- \(\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy = \frac{1}{6}\).
- \(\displaystyle \iint_D xy(x+y)\,dx\,dy = \frac{1}{30}\).
- \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1\).
Ainsi, dans le second cas, \(f\) est bien normalisee pour jouer le role d’une densite conjointe.
II - Loi conjointe d’un couple de variables aleatoires continues
Un couple de variables aleatoires continues est une application \[ (X,Y):\Omega\to\mathbb{R}^2, \qquad \omega\mapsto (X(\omega),Y(\omega)). \]
1. Densite de probabilite sur \(\mathbb{R}^2\)
Une fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) est une densite de probabilite sur \(\mathbb{R}^2\) si:
- \(f(x,y)\ge 0\) pour tout \((x,y)\),
- \(f\) est integrable sur \(\mathbb{R}^2\),
- \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1\).
Le couple \((X,Y)\) est dit absolument continu s’il existe une densite conjointe \(f\) telle que, pour tous intervalles \(I,J\subset\mathbb{R}\), \[ P(X\in I,\ Y\in J) = \iint_{I\times J} f(x,y)\,dx\,dy. \]
Soit \[ f(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)} & \text{si } x\ge 0,\ y\ge 0,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \] Montrer que \(f\) est une densite sur \(\mathbb{R}^2\).
La positivite est immediate. Ensuite: \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = \left(\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx\right) \left(\int_0^{+\infty} e^{-y}\,dy\right)=1\cdot 1=1. \] Donc \(f\) est bien une densite.
2. Fonction de repartition conjointe
La fonction de repartition du couple \((X,Y)\) de densite \(f\) est \[ F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v)\,dv\,du. \]
Aux points ou \(f\) est continue, \[ f(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,y). \]
La densite conjointe et la repartition conjointe caracterisent la loi du couple.
III - Lois marginales
Si \((X,Y)\) admet une densite conjointe \(f\), alors \(X\) et \(Y\) sont des variables a densite de densites marginales: \[ f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dx. \]
Ces formules se lisent comme une “projection” de la densite conjointe sur chaque axe: on integre selon l’autre variable pour ne garder qu’une seule coordonnee.
Soit \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le 1\}\) et \[ f(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_D(x,y). \]
- Verifier que \(f\) est une densite.
- Determiner les densites marginales \(f_X\) et \(f_Y\).
- Verifier que \(\int_{\mathbb{R}} f_X(x)\,dx=\int_{\mathbb{R}} f_Y(y)\,dy=1\).
Pour \(|x|\le 1\): \[ f_X(x)=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi}\,dy =\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}, \] et \(f_X(x)=0\) sinon.
Par symetrie, \[ f_Y(y)=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}\ \text{pour }|y|\le 1, \quad f_Y(y)=0\ \text{sinon.} \]
IV - Independance de deux variables continues
Les variables continues \(X\) et \(Y\) sont independantes si, pour tous intervalles \(I,J\), \[ P(X\in I,\ Y\in J)=P(X\in I)P(Y\in J). \]
Soit \((X,Y)\) de densite conjointe \(f\), de repartition conjointe \(F\), et de marginales \((f_X,f_Y)\), \((F_X,F_Y)\). Les proprietes suivantes sont equivalentes:
- \(X\) et \(Y\) sont independantes.
- \(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\) pour tout \((x,y)\).
- \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\) pour tout \((x,y)\).
On reprend la densite de l’exemple 2: \[ f(x,y)=e^{-(x+y)}\mathbf{1}_{x\ge 0, y\ge 0}. \]
- Calculer \(f_X\) et \(f_Y\).
- Conclure sur l’independance de \(X\) et \(Y\).
- \(f_X(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{x\ge 0}\),
- \(f_Y(y)=e^{-y}\mathbf{1}_{y\ge 0}\),
- donc \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\).
Les variables \(X\) et \(Y\) sont independantes.
V - Esperance, covariance, correlation
Si \(X\) et \(Y\) sont integrables, \[ E(X)=\int_{\mathbb{R}} x f_X(x)\,dx, \qquad E(Y)=\int_{\mathbb{R}} y f_Y(y)\,dy. \]
Si \(X\) et \(Y\) sont de carre integrable, la covariance est \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E\!\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right] =E(XY)-E(X)E(Y), \] avec \[ E(XY)=\iint_{\mathbb{R}^2} xy f(x,y)\,dx\,dy. \]
- On peut aussi ecrire:
- \(\displaystyle E(X)=\iint_{\mathbb{R}^2} x f(x,y)\,dx\,dy\),
- \(\displaystyle E(Y)=\iint_{\mathbb{R}^2} y f(x,y)\,dx\,dy\).
- \(\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)\).
Si \(X\) et \(Y\) sont independantes, alors \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=0. \] La reciproque est fausse en general.
Si \(\sigma(X)>0\) et \(\sigma(Y)>0\), \[ \rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}. \] Ce coefficient mesure la force (lineaire) de la liaison entre \(X\) et \(Y\).
VI - Loi de la somme de deux variables independantes
Soient \(X\) et \(Y\) independantes, de densites \(f_X\) et \(f_Y\), et posons \(Z=X+Y\).
La variable \(Z\) admet la densite \[ f_Z(z)=\int_{\mathbb{R}} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx. \]
On dit que \(f_Z\) est le produit de convolution de \(f_X\) et \(f_Y\).
Soient \(X\) et \(Y\) independantes, de loi uniforme sur \([0,1]\).
- Determiner la densite de \(Z=X+Y\).
- Verifier qu’il s’agit d’une densite (positive et integree a 1).
Ici \(f_X=f_Y=\mathbf{1}_{[0,1]}\). Donc \[ f_Z(z)=\int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{[0,1]}(x)\mathbf{1}_{[0,1]}(z-x)\,dx, \] ce qui donne la densite triangulaire: \[ f_Z(z)= \begin{cases} z & \text{si } 0\le z\le 1,\\ 2-z & \text{si } 1<z\le 2,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \] Elle est positive et son aire totale vaut 1.
VII - Exercice de synthese
Soit le triangle \[ T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ x+y\le 1\} \] et la fonction \[ f(x,y)=2\mathbf{1}_T(x,y). \]
- Verifier que \(f\) est une densite conjointe.
- Determiner \(f_X\) et \(f_Y\).
- Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\), puis \(E(XY)\).
- En deduire \(\operatorname{Cov}(X,Y)\).
- Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles independantes?
Aire de \(T=\frac{1}{2}\), donc \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy=2\times\frac{1}{2}=1. \]
Pour \(0\le x\le 1\), \[ f_X(x)=\int_0^{1-x}2\,dy=2(1-x), \] et sinon \(0\). De meme, \[ f_Y(y)=2(1-y)\ \text{pour }0\le y\le 1, \] et sinon \(0\).
\[ E(X)=\int_0^1 x\,2(1-x)\,dx=\frac{1}{3}, \quad E(Y)=\frac{1}{3}. \] Puis \[ E(XY)=\int_0^1\int_0^{1-x}2xy\,dy\,dx=\frac{1}{12}. \]
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{12}-\frac{1}{9}=-\frac{1}{36}. \]
Non: les variables ne sont pas independantes (le support triangulaire interdit deja la factorisation sur un rectangle, et la covariance est negative).