Statistiques et Probabilités

Date de publication

18 février 2026

Modifié

20 mars 2026

Résumé

Ce cours introduit les probabilités et les statistiques comme outils de modélisation de l’incertitude et d’analyse de données. Il couvre les variables aléatoires continues (densités, lois classiques, couples), les théorèmes de convergence (loi des grands nombres, théorème central limite), ainsi que les statistiques descriptives et inférentielles (estimation, intervalles de confiance).

Syllabus

“Tous les modèles sont faux, mais certains sont utiles.” — George E. P. Box

Ce cours introduit les probabilités et les statistiques comme outils de modélisation de l’incertitude et d’analyse de données. Il s’articule autour de trois axes complémentaires : la théorie des variables aléatoires continues (densités, lois classiques), les théorèmes de convergence (loi des grands nombres, théorème central limite) et les statistiques descriptives et inférentielles (résumé de données, estimation, tests).

Objectifs pédagogiques

À l’issue de ce module, l’étudiant sera capable de :

Calculer des probabilités pour des variables aléatoires à densité et maîtriser les lois classiques (uniforme, exponentielle, normale).
Analyser des couples de variables aléatoires : densités conjointes, indépendance, covariance, et loi de la somme par convolution.
Comprendre et appliquer les théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème central limite) à des problèmes concrets.
Décrire et résumer des données uni- et bivariées à l’aide des outils de statistique descriptive.
Construire des estimateurs (méthode des moments, maximum de vraisemblance) et des intervalles de confiance.

Carte du cours

Le cours se déroule en cinq phases — cliquez sur un chapitre pour y accéder.

{
  const COL_W = 155, GAP = 22, PAD = 16;
  const HDR_H = 36, NODE_H = 40, NODE_GAP = 10;

  const sections = [
    {
      label: "Fondations",
      hue: "#64748B",
      chapters: [
        { label: "Notations", url: "notation.html" }
      ]
    },
    {
      label: "Une variable",
      hue: "#2563EB",
      chapters: [
        { label: "Stats univariée",  url: "univariate.html" },
        { label: "Probabilités",     url: "probability.html" },
        { label: "Lois à densité",   url: "density-function.html" },
        { label: "Loi normale",      url: "normal-distribution.html" }
      ]
    },
    {
      label: "Deux variables",
      hue: "#16A34A",
      chapters: [
        { label: "Stats bivariée",    url: "bivariate.html" },
        { label: "Couples à densité", url: "joint-continuous-random-variables.html" }
      ]
    },
    {
      label: "Convergence",
      hue: "#EA580C",
      chapters: [
        { label: "Convergence", url: "convergence-random-variables.html" }
      ]
    },
    {
      label: "Inférence",
      hue: "#9333EA",
      chapters: [
        { label: "Échantillonnage", url: "sampling-distribution.html" },
        { label: "Estimation",      url: "point-estimation.html" }
      ]
    }
  ];

  const maxN = d3.max(sections, s => s.chapters.length);
  const W = sections.length * COL_W + (sections.length - 1) * GAP + 2 * PAD;
  const H = PAD + HDR_H + NODE_GAP + maxN * (NODE_H + NODE_GAP) + PAD;

  function alpha(hex, a) {
    const r = parseInt(hex.slice(1, 3), 16),
          g = parseInt(hex.slice(3, 5), 16),
          b = parseInt(hex.slice(5, 7), 16);
    return `rgba(${r},${g},${b},${a})`;
  }

  const svg = d3.create("svg")
    .attr("viewBox", `0 0 ${W} ${H}`)
    .attr("width", "100%")
    .style("font-family", "system-ui,-apple-system,sans-serif")
    .style("overflow", "visible");

  // Single arrowhead marker (auto-orient: works for horizontal & vertical lines)
  svg.append("defs").append("marker")
    .attr("id", "arr")
    .attr("viewBox", "0 -4 8 8")
    .attr("refX", 7).attr("refY", 0)
    .attr("markerWidth", 5).attr("markerHeight", 5)
    .attr("orient", "auto")
    .append("path")
    .attr("d", "M0,-4L8,0L0,4")
    .attr("fill", "#94A3B8");

  sections.forEach((sec, i) => {
    const sx = PAD + i * (COL_W + GAP);

    // Column background
    svg.append("rect")
      .attr("x", sx).attr("y", PAD)
      .attr("width", COL_W).attr("height", H - 2 * PAD)
      .attr("rx", 8)
      .attr("fill", alpha(sec.hue, 0.05))
      .attr("stroke", alpha(sec.hue, 0.2))
      .attr("stroke-width", 1.5);

    // Header fill (rounded top, square bottom via overlap)
    svg.append("rect")
      .attr("x", sx).attr("y", PAD)
      .attr("width", COL_W).attr("height", HDR_H)
      .attr("rx", 8)
      .attr("fill", alpha(sec.hue, 0.15));
    svg.append("rect")
      .attr("x", sx).attr("y", PAD + HDR_H - 8)
      .attr("width", COL_W).attr("height", 8)
      .attr("fill", alpha(sec.hue, 0.15));

    // Header label
    svg.append("text")
      .attr("x", sx + COL_W / 2).attr("y", PAD + HDR_H / 2)
      .attr("dy", "0.35em")
      .attr("text-anchor", "middle")
      .attr("fill", sec.hue)
      .attr("font-size", "12px")
      .attr("font-weight", "600")
      .text(sec.label);

    // Arrow to next section
    if (i < sections.length - 1) {
      svg.append("line")
        .attr("x1", sx + COL_W + 3).attr("y1", PAD + HDR_H / 2)
        .attr("x2", sx + COL_W + GAP - 3).attr("y2", PAD + HDR_H / 2)
        .attr("stroke", "#CBD5E1")
        .attr("stroke-width", 1.5)
        .attr("marker-end", "url(#arr)");
    }

    // Chapter nodes
    sec.chapters.forEach((ch, j) => {
      const ny = PAD + HDR_H + NODE_GAP + j * (NODE_H + NODE_GAP);
      const nw = COL_W - 20;

      // Arrow between consecutive chapters within section
      if (j > 0) {
        svg.append("line")
          .attr("x1", sx + COL_W / 2).attr("y1", ny - NODE_GAP + 1)
          .attr("x2", sx + COL_W / 2).attr("y2", ny - 1)
          .attr("stroke", alpha(sec.hue, 0.35))
          .attr("stroke-width", 1)
          .attr("marker-end", "url(#arr)");
      }

      const g = svg.append("a")
        .attr("href", ch.url)
        .style("cursor", "pointer");

      g.on("mouseenter", function() {
          d3.select(this).select("rect")
            .attr("stroke-width", 2.5)
            .style("filter", "drop-shadow(0 2px 6px rgba(0,0,0,0.18))");
        })
        .on("mouseleave", function() {
          d3.select(this).select("rect")
            .attr("stroke-width", 1.5)
            .style("filter", null);
        });

      g.append("rect")
        .attr("x", sx + 10).attr("y", ny)
        .attr("width", nw).attr("height", NODE_H)
        .attr("rx", 5)
        .attr("fill", "white")
        .attr("stroke", alpha(sec.hue, 0.45))
        .attr("stroke-width", 1.5);

      g.append("text")
        .attr("x", sx + 10 + nw / 2).attr("y", ny + NODE_H / 2)
        .attr("dy", "0.35em")
        .attr("text-anchor", "middle")
        .attr("fill", sec.hue)
        .attr("font-size", "11px")
        .attr("font-weight", "500")
        .text(ch.label);
    });
  });

  return svg.node();
}

Contenu du cours

Fondations

Notations mathématiques — Guide de lecture · Symboles probabilistes (\(P\), \(\mathbb{E}\), \(\sigma\)) vs statistiques (\(\bar{x}\), \(s\)) · Conventions du cours

Une variable

Statistiques univariées — Série discrète et continue · Histogramme (densité) · Fonction de répartition empirique · Médiane, quartiles, écart interquartile · Moyenne, variance, König-Huygens · Transformations affines
Probabilités discrètes — Variables aléatoires discrètes · Loi de probabilité · Espérance et variance · Lois de Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson · Approximation de la loi binomiale
Lois à densité — Intégrales généralisées · Densité et fonction de répartition · Loi uniforme \(\mathcal{U}([a,b])\) · Loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) · Espérance, variance, écart-type
Loi normale — Loi \(\mathcal{N}(0,1)\) et table \(\Phi\) · Standardisation · Loi \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) · Stabilité par somme · Loi log-normale · Loi du khi-deux \(\chi^2_n\)

Deux variables

Statistiques bivariées — Tableau de contingence · Distributions marginales et conditionnelles · Indépendance statistique · Test du \(\chi^2\) d’indépendance · Résidus standardisés
Couples de variables à densité — Intégrales doubles (Fubini-Tonelli) · Densité conjointe · Lois marginales · Indépendance · Covariance et corrélation · Convolution

Convergence

Convergence de variables aléatoires — Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev · Convergences en probabilité, en loi, en moyenne quadratique · Loi faible des grands nombres · Théorème central limite · Approximation de la loi binomiale

Inférence

Distribution d’échantillonnage — Échantillon i.i.d. · Statistique · Moyenne empirique (espérance, variance, loi) · Variance empirique corrigée et biais · Lois exactes en cas gaussien (\(\mathcal{N}\), \(\chi^2\))
Estimation — Estimateur, biais, erreur quadratique · Méthode des moments · Maximum de vraisemblance · Intervalles de confiance pour une proportion, une moyenne, une variance

Annexes

Tables statistiques — Table de la loi de Poisson · Quantiles du \(\chi^2\) · Quantiles de la loi de Student

Projet intégrateur

Projet intégrateur du module — Étude de cas complète · Données réelles ou simulées · Modélisation probabiliste · Convergences, TCL, Monte-Carlo · Estimation et recommandations

Évaluation du module

Ce cours s’appuie sur une approche d’apprentissage actif [@sheldon_multiplayer_2020] : les étudiants progressent au travers de missions, accumulent des points d’expérience (XP) et débloquent des niveaux au fil du semestre.

Niveaux

Niveau	Titre	XP requises
1	Analyste Junior	< 400
2	Analyste Confirmé	≥ 400
3	Stratège Financier	≥ 800
4	Expert en Stratégie Financière	≥ 1 200

Activités notées

Chaque activité du cours génère des XP selon son type :

Activité	Description	XP
Feuille d’exercices	Rendue individuellement avant chaque séance via le site du cours	50
Participation en séance	Questions, réponses et discussions lors des corrections	20
Mission de groupe	Étude de cas appliquée réalisée en binôme ou trinôme	100
Examen écrit	Contrôle final sur table (2 h) couvrant l’ensemble du cours	200

Utilisation du site du cours

Le site du cours est votre référence principale tout au long du semestre. Il est attendu que vous :

Consultiez les chapitres avant chaque séance pour vous familiariser avec les notions abordées.
Téléchargiez et complètiez la feuille d’exercices associée à chaque chapitre, puis déposiez votre travail avant le délai fixé.
Vérifiez vos solutions en déroulant les corrigés détaillés disponibles sur chaque feuille d’exercices.
Utilisiez les tables statistiques (loi de Poisson, \(\chi^2\), Student) en ligne lors de vos révisions et à l’examen.