Examen — Statistiques et Probabilités

Statistiques descriptives · Variables aléatoires à densité · Loi normale

Date de publication

18 février 2026

Modifié

23 mars 2026

Résumé

Durée : 1 h 30. Les documents de cours sont interdits. Une table de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) est fournie. Les calculatrices sont autorisées. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats numériques seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Barème indicatif : Exercice 1 — 30 pts · Exercice 2 — 35 pts · Exercice 3 — 35 pts

Exercice 1 — Statistiques descriptives (30 points)

Partie A — Série discrète (16 points)

Un service de maintenance relève, chaque semaine sur 50 machines, le nombre de pannes survenues. Les résultats sont :

Pannes \(x_i\) 0 1 2 3 4 5 Total
Effectif \(n_i\) 8 15 14 7 4 2 50
Fréquence \(f_i\) 1
E.C.C. \(N_i^+\)
F.C.C. \(F_i^+\)

1. (3 pts) Compléter le tableau ci-dessus (fréquences, effectifs cumulés croissants et fréquences cumulées croissantes).

2. (1 pt) Donner le mode de cette série.

3. (4 pts) Déterminer la médiane \(Me\), le premier quartile \(Q_1\), le troisième quartile \(Q_3\), et l’écart interquartile \(\mathrm{IQR}\).

4. (5 pts) Calculer la moyenne \(\bar{x}\), la moyenne des carrés \(\overline{x^2}\), puis la variance \(\mathrm{Var}(x)\) par la formule de König-Huygens et l’écart-type \(\sigma(x)\).

5. (3 pts) On définit la variable \(Y = 10X + 5\). Sans effectuer de nouveaux calculs, donner \(\bar{y}\), \(\mathrm{Var}(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

Partie B — Série continue en classes (14 points)

Un service qualité enregistre les durées (en minutes) de 40 appels téléphoniques :

Durée (min) \([0\,;\,2[\) \([2\,;\,5[\) \([5\,;\,10[\) \([10\,;\,20[\)
Effectif \(n_i\) 6 12 14 8

6. (4 pts) Calculer les fréquences \(f_i\), les amplitudes \(A_i\) et les densités de fréquence \(d_i = f_i / A_i\).

7. (2 pts) Expliquer pourquoi, dans un histogramme avec des classes d’amplitudes inégales, les hauteurs des rectangles doivent être proportionnelles aux densités \(d_i\) et non aux fréquences \(f_i\).

8. (4 pts) Déterminer la médiane par interpolation linéaire. On précisera d’abord dans quelle classe elle se trouve.

9. (4 pts) Calculer la moyenne \(\bar{x}\) et la variance \(\mathrm{Var}(x)\) à l’aide des centres de classe.

Exercice 2 — Variable aléatoire à densité (35 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x) = \begin{cases} k\,x\,(2 - x) & \text{si } x \in [0\,;\,2], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]

1. (1 pt) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0\,;\,2]\).

2. (4 pts) On admet que \(\displaystyle\int_0^2 x(2-x)\,dx = \dfrac{4}{3}\). Déterminer \(k > 0\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).

3. (4 pts) Soit \(X\) une v.a.r. de densité \(f\).

  • Justifier que \(P(X = 1) = 0\).
  • Calculer \(P(0 \leq X \leq 1)\).

4. (8 pts) Déterminer la fonction de répartition \(F_X\) de \(X\) sur \(\mathbb{R}\). On distinguera les cas \(x < 0\), \(0 \leq x \leq 2\), et \(x > 2\).

5. (2 pts) Vérifier que \(F_X(2) = 1\).

6. (3 pts) Calculer \(P\!\left(X > \dfrac{3}{2}\right)\) en utilisant \(F_X\).

7. (4 pts) On admet que \(f\) est symétrique par rapport à \(x = 1\), au sens où \(f(1+t) = f(1-t)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).

  • Vérifier cette propriété de symétrie.
  • En déduire \(\mathbb{E}(X)\) sans calcul d’intégrale.

8. (6 pts) Calculer \(\mathbb{E}(X^2)\) par le théorème de transfert, puis déduire \(\mathrm{Var}(X)\) par la formule de König-Huygens.

9. (3 pts) Soit \(T \sim \mathcal{E}(\lambda)\) le temps (en heures) entre deux pannes consécutives d’un équipement. On observe que \[P(T > 2) = e^{-3}.\] Déterminer \(\lambda\), puis calculer \(\mathbb{E}(T)\).

Exercice 3 — Loi normale (35 points)

Partie A — Loi normale centrée réduite (12 points)

Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). On rappelle : \(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\) et \(P(-a \leq Z \leq a) = 2\Phi(a) - 1\).

1. (4 pts) Calculer les probabilités suivantes :

  • \(P(Z \leq 1{,}65)\),
  • \(P(Z > -0{,}84)\),
  • \(P(-2{,}58 \leq Z \leq 1{,}96)\).

2. (2 pts) Calculer \(P(Z^2 \leq 1)\).

3. (3 pts) Déterminer les réels suivants par lecture inverse de la table :

  • \(z_0\) tel que \(P(Z \leq z_0) = 0{,}9772\),
  • \(d > 0\) tel que \(P(|Z| \leq d) = 0{,}90\).

4. (3 pts) Expliquer pourquoi \(\mathbb{E}(Z) = 0\) à partir de la forme de la densité de \(\mathcal{N}(0,1)\) (sans calcul d’intégrale). Donner également \(\mathrm{Var}(Z)\).

Partie B — Loi normale générale (15 points)

Un processus de fabrication produit des pièces dont la masse (en grammes) suit une loi \(\mathcal{N}(120, 25)\).

5. (1 pt) Donner \(\mathbb{E}(X)\) et \(\sigma_X\).

6. (5 pts) Calculer :

  • \(P(X \leq 127{,}5)\),
  • \(P(115 \leq X \leq 130)\).

7. (3 pts) Déterminer le seuil \(s\) tel que \(P(X > s) = 0{,}10\).

8. (6 pts) On prélève \(n = 4\) pièces indépendantes \(X_1, X_2, X_3, X_4\) de même loi \(\mathcal{N}(120, 25)\). On note \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\) leur masse totale.

  • Donner la loi de \(S\) (paramètres inclus).
  • Calculer \(P(S \leq 490)\).

Partie C — Identification des paramètres (8 points)

La durée de vie (en heures) d’une batterie suit une loi \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\). On sait que :

  • 30,85 % des batteries ont une durée de vie inférieure à 165 heures,
  • 84,13 % des batteries ont une durée de vie inférieure à 180 heures.

9. (8 pts) En traduisant chacune de ces conditions en termes de \(\Phi\), former un système de deux équations en \(m\) et \(\sigma\), puis déterminer \(m\) et \(\sigma\).