Convergence de variables aléatoires

Résumé

Ce chapitre étudie les différentes notions de convergence pour des suites de variables aléatoires. On présente d’abord les inégalités de concentration (Markov, Bienaymé-Tchebychev) qui permettent de contrôler les déviations d’une variable par rapport à son espérance. On introduit ensuite la convergence en probabilité et la convergence en moyenne quadratique, et on établit la loi faible des grands nombres. On présente la convergence presque sûre, la loi forte des grands nombres et la méthode de Monte-Carlo. Le chapitre se poursuit par la convergence en loi et le théorème limite central, puis se termine par les résultats de continuité et le théorème de Slutsky.

📍 Retour à la carte du cours > Dans tout ce chapitre, les variables aléatoires réelles considérées sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{F}, P)\).

Inégalités de concentration

Inégalité de Markov

Proposition — Inégalité de Markov

Soit \(X\) une v.a.r. intégrable positive. Alors : \[\forall a > 0,\quad P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}.\]

Démonstration

On écrit \(X \geq a\,\mathbf{1}_{\{X \geq a\}}\) (car \(X \geq 0\)), puis on prend l’espérance : \[E(X) \geq a\,P(X \geq a),\] d’où le résultat.

Cette inégalité ne suppose aucune connaissance de la loi de \(X\) au-delà de son espérance. Elle devient sans intérêt dès que \(a < E(X)\), car le majorant dépasse alors 1.

Exemple 1 — Salaire moyen en France

En 2022, le salaire brut mensuel moyen en France était de 2 988 €. Majorer la probabilité qu’un salarié français choisi au hasard gagne plus de 8 964 €.

Solution — Exemple 1

Soit \(X\) le salaire brut mensuel. On a \(E(X) = 2988\) et \(X \geq 0\). Par l’inégalité de Markov : \[P(X \geq 8964) \leq \frac{2988}{8964} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333.\]

Moins d’un tiers des salariés gagnent plus de 8 964 € bruts par mois.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Proposition — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit \(X\) une v.a.r. de carré intégrable. Alors : \[\forall \varepsilon > 0,\quad P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\varepsilon^2}.\]

Démonstration

La variable \(Y = (X - E(X))^2\) est positive et \(E(Y) = \mathrm{Var}(X)\). On applique l’inégalité de Markov à \(Y\) avec le seuil \(a = \varepsilon^2\) : \[P\!\left((X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2\right) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\varepsilon^2}.\] Or \(\{(X - E(X))^2 \geq \varepsilon^2\} = \{|X - E(X)| \geq \varepsilon\}\).

Remarques

• Cette inégalité est souvent médiocre numériquement : pour \(X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)\), elle donne \(P(|X - m| \geq 2\sigma) \leq \tfrac{1}{4}\), alors que la valeur exacte est environ \(0{,}05\).
• Son intérêt est avant tout théorique : elle permet de démontrer la loi faible des grands nombres et de calibrer les tailles d’échantillon.

Exemple 2 — Paniers par match

Lors d’une saison, une équipe a marqué en moyenne 40 paniers par match avec une variance de 5. Majorer la probabilité que lors de son prochain match, l’équipe marque moins de 30 ou plus de 50 paniers.

Solution — Exemple 2

Soit \(X\) le nombre de paniers. On a \(E(X) = 40\) et \(\mathrm{Var}(X) = 5\). \[P(X < 30 \text{ ou } X > 50) = P(|X - 40| \geq 10) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{10^2} = \frac{5}{100} = 0{,}05.\]

Exercice 1 — Précision d’un sondage

Dans une ville de 20 000 habitants, 75 % des personnes interrogées sont favorables à la rénovation du théâtre municipal.

Pour \(1\le k\le n\), on note \(X_k=1\) si la \(k\)-ième personne est favorable, \(X_k=0\) sinon.

1. Donner la loi de \(X_k\), son espérance \(m\) et sa variance \(\sigma^2\).
2. On note \(M_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n X_k\). Déterminer une taille d’échantillon \(n\) pour obtenir :
   • une précision 0,05 avec risque 0,1, soit \(P(|M_n-m|\ge 0{,}05)\le 0{,}1\),
   • une précision 0,01 avec risque 0,05.
   Commenter le réalisme de la seconde situation.

Indication

• \(X_k\sim\mathcal{B}(p)\) avec \(p=0{,}75\).
• Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[P(|M_n-m|\ge \varepsilon)\le \frac{\mathrm{Var}(M_n)}{\varepsilon^2} =\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}.\]
• Pour la précision 0,05 avec risque 0,1 : \(n \geq \dfrac{p(1-p)}{\varepsilon^2 \cdot \alpha} = \dfrac{0{,}75 \times 0{,}25}{(0{,}05)^2 \times 0{,}1} = 750\).
• Pour la précision 0,01 avec risque 0,05 : \(n \geq \dfrac{0{,}75 \times 0{,}25}{(0{,}01)^2 \times 0{,}05} = 37\,500\). Ce chiffre dépasse largement la taille de la ville (20 000 hab.), ce qui rend le sondage irréalisable.

Convergence en probabilité et loi faible des grands nombres

Définitions de convergence

Définition — Convergence en probabilité

On dit qu’une suite de v.a.r. \((X_n)\) converge en probabilité vers une v.a.r. \(X\), et on note \(X_n \xrightarrow[n\to+\infty]{P} X\), si et seulement si : \[\forall \varepsilon > 0,\quad \lim_{n\to+\infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.\]

Exemple 3 — Convergence en probabilité et lois uniformes

Soit \((U_n)\) une suite de v.a.r. indépendantes de même loi \(\mathcal{U}([0,1])\). On pose, pour tout entier \(n \geq 1\), \(X_n = \min(U_1, \ldots, U_n)\).

Montrer que \(X_n \xrightarrow{P} 0\).

Solution — Exemple 3

Pour tout \(\varepsilon \in (0,1)\), par indépendance des \(U_i\) : \[P(|X_n - 0| > \varepsilon) = P(X_n > \varepsilon) = P(U_1 > \varepsilon, \ldots, U_n > \varepsilon) = \prod_{i=1}^n P(U_i > \varepsilon) = (1 - \varepsilon)^n.\]

Comme \(0 < 1 - \varepsilon < 1\), on a \((1 - \varepsilon)^n \to 0\), donc \(X_n \xrightarrow{P} 0\).

Définition — Convergence en moyenne quadratique

On dit que \((X_n)\) converge en moyenne quadratique vers \(X\), et on note \(X_n \xrightarrow[n\to+\infty]{L^2} X\), si et seulement si : \[\lim_{n\to+\infty} E\!\left[(X_n - X)^2\right] = 0.\]

Proposition

\[X_n \xrightarrow{L^2} X \implies X_n \xrightarrow{P} X.\]

Démonstration

Par Bienaymé-Tchebychev appliqué à \(X_n - X\) : \[P(|X_n - X| > \varepsilon) \leq \frac{E\!\left[(X_n - X)^2\right]}{\varepsilon^2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.\]

Exercice 2 — Contre-exemple : convergence en probabilité sans convergence \(L^2\)

On considère une suite \((X_n)\) définie par \[P(X_n=n)=\frac{1}{n}, \qquad P(X_n=0)=1-\frac{1}{n}.\]

1. Pour \(\varepsilon>0\), calculer \(P(|X_n|>\varepsilon)\). En déduire que \(X_n\to 0\) en probabilité.
2. Calculer \(E(X_n)\) et \(\mathrm{Var}(X_n)\) et montrer que la convergence en moyenne quadratique vers 0 n’a pas lieu.

Indication

• Pour tout \(\varepsilon>0\), dès que \(n>\varepsilon\) : \[P(|X_n|>\varepsilon)=P(X_n=n)=\frac{1}{n} \to 0.\]
• Pour la convergence \(L^2\) vers 0, il faut \(E(X_n^2)\to 0\). Or \(E(X_n^2)=n^2 \cdot \dfrac{1}{n} = n \to +\infty\).
• Donc \(X_n \xrightarrow{P} 0\) mais \(X_n \not\xrightarrow{L^2} 0\) : la convergence en probabilité n’implique pas la convergence en moyenne quadratique.

Proposition (admise) — Caractérisation de la convergence \(L^2\)

\[X_n \xrightarrow{L^2} m \iff \begin{cases} E(X_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} m,\\ \mathrm{Var}(X_n) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0. \end{cases}\]

En particulier, dans ce cas, \(X_n \xrightarrow{P} m\).

Loi faible des grands nombres

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. de carré intégrable, d’espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\). La moyenne empirique est : \[\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\]

Proposition — Loi faible des grands nombres

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. de carré intégrable, d’espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\). Alors : \[\forall \varepsilon > 0,\quad P\!\left(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.\]

En particulier, \(\overline{X}_n \xrightarrow[n\to+\infty]{P} m\).

Démonstration

On vérifie la convergence \(L^2\) : \[E(\overline{X}_n) = m, \qquad \mathrm{Var}(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.\]

Donc \(\overline{X}_n \xrightarrow{L^2} m\), ce qui implique \(\overline{X}_n \xrightarrow{P} m\). L’inégalité découle alors directement de Bienaymé-Tchebychev : \[P\!\left(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{\mathrm{Var}(\overline{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.\]

Exemple 4 — Population de daltoniens

Une population d’individus contient 3 % de daltoniens. On prélève un échantillon de \(n\) individus avec remise.

Déterminer \(n\) pour que la probabilité que l’échantillon contienne entre 2,5 % et 3,5 % de daltoniens soit supérieure à 95 %.

Solution — Exemple 4

Soit \(X_i = 1\) si la personne \(i\) est daltonienne, 0 sinon. Les \(X_i\) sont i.i.d. de loi \(\mathcal{B}(p)\) avec \(p = 0{,}03\), et \(\mathrm{Var}(X_i) = p(1-p) = 0{,}03 \times 0{,}97\).

On cherche \(n\) tel que \(P(|\overline{X}_n - 0{,}03| < 0{,}005) \geq 0{,}95\), soit : \[P\!\left(|\overline{X}_n - 0{,}03| \geq 0{,}005\right) \leq 0{,}05.\]

Par Bienaymé-Tchebychev : \[\frac{p(1-p)}{n \times (0{,}005)^2} \leq 0{,}05 \implies n \geq \frac{0{,}03 \times 0{,}97}{0{,}05 \times 0{,}000025} = 23\,280.\]

Proposition (admise) — Convergence de la variance empirique

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. d’espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\). Alors : \[S_n'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X}_n\right)^2 \xrightarrow[n\to+\infty]{P} \sigma^2,\] \[S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X}_n\right)^2 \xrightarrow[n\to+\infty]{P} \sigma^2.\]

Exercice 3 — Dé équilibré et trois types de convergence

On lance indéfiniment un dé équilibré à 6 faces. Pour \(n\ge 1\), on note \(X_n\) la moyenne des \(n\) premiers lancers.

1. Calculer \(E(X_1)\), \(\mathrm{Var}(X_1)\), puis \(E(X_n)\) et \(\mathrm{Var}(X_n)\).
2. Avec Bienaymé-Tchebychev, déterminer \(n\) tel que \[P(3{,}4\le X_n\le 3{,}6)\ge 0{,}8.\]
3. Montrer que \((X_n)\) converge vers un réel \(m\) à préciser :
   • en probabilité,
   • en moyenne quadratique,
   • en loi.

Indication

• Les lancers sont i.i.d. de loi uniforme sur \(\{1,\ldots,6\}\), donc \(m = E(X_1) = 3{,}5\) et \(\mathrm{Var}(X_1) = \dfrac{35}{12}\).
• \(\mathrm{Var}(X_n) = \mathrm{Var}(X_1)/n \to 0\).
• Pour (2) : \(P(|X_n - 3{,}5| < 0{,}1) \geq 1 - \dfrac{\mathrm{Var}(X_n)}{(0{,}1)^2} \geq 0{,}8\) donne \(n \geq \dfrac{35/12}{0{,}01 \times 0{,}2} \approx 1458\).
• Pour (3) : convergence en probabilité par la LFGN ; convergence \(L^2\) car \(\mathrm{Var}(X_n)\to 0\) et \(E(X_n)\to m\) ; convergence en loi découle de la convergence en probabilité.

Convergence presque sûre et loi forte des grands nombres

Convergence presque sûre

Définition — Convergence presque sûre

On dit qu’une suite de v.a.r. \((X_n)\) converge presque sûrement (p.s.) vers une v.a.r. \(X\), et on note \(X_n \xrightarrow[n\to+\infty]{p.s.} X\), si et seulement si : \[P\!\left(\left\{\omega \in \Omega \mid X_n(\omega) \xrightarrow[n\to+\infty]{} X(\omega)\right\}\right) = 1.\]

Remarques

• \(X_n \xrightarrow{p.s.} X\) signifie que pour presque tout \(\omega \in \Omega\), la suite numérique \(X_n(\omega)\) converge vers \(X(\omega)\). La convergence a lieu sauf éventuellement sur un ensemble d’événements de probabilité nulle.
• La convergence presque sûre ne dit rien sur la vitesse de convergence.

Proposition (admise)

\[X_n \xrightarrow{p.s.} X \implies X_n \xrightarrow{P} X.\]

La réciproque est fausse en général.

Loi forte des grands nombres

Théorème (admis) — Loi forte des grands nombres

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. intégrables, d’espérance commune \(m\). Alors : \[\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow[n\to+\infty]{p.s.} m.\]

Remarque — Comparaison avec la loi faible

• La loi faible des grands nombres (section II) affirme \(\overline{X}_n \xrightarrow{P} m\) sous l’hypothèse que les \(X_i\) sont de carré intégrable (existence de la variance).
• La loi forte donne un résultat plus puissant (convergence p.s.) sous une hypothèse plus faible (simple intégrabilité, pas besoin de variance finie).
• La loi forte implique la loi faible, mais la réciproque est fausse.

Méthode de Monte-Carlo

Proposition — Méthode de Monte-Carlo

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. de densité \(p\) sur \(\mathbb{R}\), et \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux telle que \(h(X_1)\) soit intégrable. Alors : \[I_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n h(X_i) \xrightarrow[n\to+\infty]{p.s.} E(h(X_1)) = \int_{\mathbb{R}} h(x)\,p(x)\,dx.\]

Si de plus \(h(X_1)\) est de carré intégrable, en posant \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(h(X_1))\), la vitesse de convergence est de l’ordre de \(\sigma / \sqrt{n}\).

Remarque

La méthode de Monte-Carlo permet d’estimer numériquement une intégrale \(\int_{\mathbb{R}} h(x)\,p(x)\,dx\) en simulant un grand nombre de réalisations de \(X\) et en calculant la moyenne empirique de \(h(X_i)\).

Exemple 7 — Estimation d’une intégrale par Monte-Carlo

On souhaite estimer \(I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx\).

On pose \(h(x) = e^{-x^2}\) et on génère \(n\) réalisations \(U_1, \ldots, U_n\) i.i.d. de loi \(\mathcal{U}([0,1])\). Alors : \[I_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n e^{-U_i^2} \xrightarrow[n\to+\infty]{p.s.} E(e^{-U_1^2}) = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx = I.\]

Pour \(n = 10\,000\), on obtient typiquement \(I_n \approx 0{,}747\), proche de la valeur exacte \(I \approx 0{,}7468\).

Convergence en loi et théorème limite central

Définition — Convergence en loi

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. de fonctions de répartition \(F_{X_n}\), et \(X\) une v.a.r. de fonction de répartition \(F_X\). On dit que \((X_n)\) converge en loi vers \(X\), et on note \(X_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} X\), si et seulement si, en tout point de continuité de \(F_X\) : \[\lim_{n\to+\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x).\]

Remarque

Pour une suite de v.a.r. discrètes : \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X \iff \forall k \in \mathbb{N},\; P(X_n = k) \to P(X = k)\).

Proposition (admise) — Lien entre convergence en probabilité et en loi

\[X_n \xrightarrow{P} X \implies X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X.\]

La réciproque est fausse en général.

Exemple 5

En reprenant l’exemple 3, justifier que \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} 0\).

Solution — Exemple 5

On a montré dans l’exemple 3 que \(X_n \xrightarrow{P} 0\). Puisque la convergence en probabilité implique la convergence en loi, on conclut \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} 0\).

Exercice 4 — Suites de lois exponentielles

On considère une suite \((\lambda_n)\) de réels strictement positifs avec \(\lambda_n\to\lambda\in(0,+\infty]\), et une suite \((X_n)\) telle que \(X_n\sim\mathcal{E}(\lambda_n)\).

1. Étudier la convergence en loi de \((X_n)\).
2. Si \(\lambda=+\infty\), étudier la convergence de \(X_n\) vers 0 :
   • en probabilité,
   • en moyenne quadratique.

Indication

• La fonction de répartition de \(X_n\) est \(F_n(x)=1-e^{-\lambda_n x}\) pour \(x\ge 0\).
• Si \(\lambda_n\to\lambda\in(0,+\infty)\) : \(F_n(x)\to 1-e^{-\lambda x}\), donc \(X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{E}(\lambda)\).
• Si \(\lambda_n\to+\infty\) : \(F_n(x)\to 1\) pour tout \(x>0\), donc \(X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}0\) (masse de Dirac en 0).
• Convergence en probabilité vers 0 (\(\lambda=+\infty\)) : \(P(X_n>\varepsilon)=e^{-\lambda_n\varepsilon}\to 0\).
• Convergence \(L^2\) vers 0 : \(E(X_n^2)=2/\lambda_n^2\to 0\), donc \(X_n\xrightarrow{L^2}0\).

Proposition (admise) — Théorème limite central

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. de carré intégrable, d’espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2 > 0\). Alors : \[Z_n = \frac{\overline{X}_n - m}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).\]

Autrement dit, \(F_{Z_n}(t) \to \Phi(t)\) pour tout \(t\), où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0,1)\).

Lorsque \(n \to +\infty\), \(\overline{X}_n\) se comporte en loi comme \(\mathcal{N}\!\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\), et ce quelle que soit la loi des \(X_i\) : c’est le caractère universel du théorème limite central.

Proposition — Approximation normale de la loi binomiale

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r. i.i.d. de loi \(\mathcal{B}(p)\). Alors \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{B}(n,p)\) et : \[\frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1),\] soit \(S_n \overset{\mathcal{L}}{\approx} \mathcal{N}\!\left(np,\; np(1-p)\right)\).

Conditions pratiques : \(n \geq 30\), \(np \geq 5\) et \(n(1-p) \geq 5\).

Remarque — Approximation de Poisson

Si \(p\) est petit (ou \(p \to 0\) quand \(n \to +\infty\)), il est préférable d’approximer \(\mathcal{B}(n,p)\) par une loi de Poisson \(\mathcal{P}(np)\).

Conditions pratiques : \(n \geq 30\), \(p \leq 0{,}1\) et \(np < 15\).

Exemple 6 — Daltoniens dans un grand échantillon

On suppose que la population est composée de 3 % de daltoniens et on interroge 1 000 personnes (avec remise).

Quelle est la probabilité qu’il y ait plus de 25 daltoniens dans l’échantillon ?

Solution — Exemple 6

Soit \(X\) le nombre de daltoniens. On a \(X \sim \mathcal{B}(1000, 0{,}03)\).

Vérification : \(n = 1000 \geq 30\), \(np = 30 \geq 5\), \(n(1-p) = 970 \geq 5\). ✓

On approche \(X \approx \mathcal{N}(30,\; 30 \times 0{,}97) = \mathcal{N}(30,\; 29{,}1)\).

\[P(X > 25) = P\!\left(\frac{X - 30}{\sqrt{29{,}1}} > \frac{25 - 30}{\sqrt{29{,}1}}\right) = P(Z > -0{,}93) = \Phi(0{,}93) \approx 0{,}824.\]

Il y a donc environ 82 % de chances qu’il y ait plus de 25 daltoniens dans l’échantillon.

Exercice 5 — Contrôle de pannes d’ordinateurs

On contrôle un lot de 1000 ordinateurs. On suppose qu’un ordinateur a 1 % de probabilité de tomber en panne dans le mois.

On pose, pour \(i=1,\dots,1000\), \(X_i=\mathbf{1}_{\{\text{panne du }i\text{-ième ordinateur}\}}\), et \(S_n=\sum_{i=1}^n X_i\), \(\overline{X}_n=S_n/n\).

1. Que représentent \(S_n\) et \(\overline{X}_n\) ? Donner la loi de \(S_n\).
2. Calculer la moyenne et la variance de \(X_1\).
3. À l’aide du TCL, approcher la probabilité \(P(0{,}005\le \overline{X}_{1000}\le 0{,}015)\).

Indication

• \(S_n\sim\mathcal{B}(1000,0{,}01)\) ; \(\overline{X}_n\) est la proportion de pannes.
• \(E(X_1)=0{,}01\) et \(\mathrm{Var}(X_1)=0{,}01\times 0{,}99=0{,}0099\).
• Standardiser : \(Z=\dfrac{\overline{X}_n - 0{,}01}{\sqrt{0{,}0099/1000}}\) et utiliser \(P(-1{,}6\le Z\le 1{,}6)\approx 89{,}0\%\).

Exercice 6 — Restaurant scolaire

Une école compte 2000 élèves. En moyenne, 60 % fréquentent le restaurant scolaire.

Combien de repas faut-il prévoir pour que la probabilité d’en manquer soit inférieure à 0,28 % ?

Indication

• Modéliser le nombre de présents par \(S\sim\mathcal{B}(2000,0{,}6)\).
• \(E(S)=1200\) et \(\mathrm{Var}(S)=2000\times 0{,}6\times 0{,}4=480\).
• On cherche \(n\) tel que \(P(S>n)\le 0{,}0028\), soit \(P\!\left(Z>\dfrac{n-1200}{\sqrt{480}}\right)\le 0{,}0028\).
• Le quantile \(z_{0{,}0028}\approx 2{,}77\), donc \(n\ge 1200+2{,}77\sqrt{480}\approx 1261\).

Exercice 7 — Répartition de passagers entre deux avions

Après la panne d’un avion, 400 passagers sont répartis au hasard entre deux avions identiques de \(n\) places chacun (\(n\ge 200\)).

On note \(X\) et \(Y\) les nombres de passagers affectés à chaque avion.

1. Donner la loi de \(X\) et de \(Y\). Par quelle loi continue peut-on les approcher ?
2. Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité qu’un voyageur n’ait pas de place soit inférieure à \(10^{-3}\).

Indication

• \(X\sim\mathcal{B}(400,0{,}5)\) et \(Y=400-X\), donc \(E(X)=200\) et \(\mathrm{Var}(X)=100\).
• On approche \(X\approx\mathcal{N}(200,100)\).
• « Un voyageur sans place » signifie \(X>n\) ou \(Y>n\), soit \(X>n\) ou \(X<400-n\).
• Par symétrie : \(P(X>n\text{ ou }X<400-n)=2P(X>n)\le 10^{-3}\), donc \(P(X>n)\le 5\times 10^{-4}\).
• On cherche \(z\) tel que \(P(Z>z)=5\times 10^{-4}\), i.e. \(z\approx 3{,}29\), puis \(n\ge 200+3{,}29\times 10\approx 233\).

Résultats de continuité

Théorème de continuité

Proposition — Continuité et convergence

Soit \((X_n)\) une suite de v.a.r., \(X\) une v.a.r. et \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction continue. Alors :

• \(X_n \xrightarrow{p.s.} X \implies f(X_n) \xrightarrow{p.s.} f(X)\)
• \(X_n \xrightarrow{P} X \implies f(X_n) \xrightarrow{P} f(X)\)
• \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X \implies f(X_n) \xrightarrow{\mathcal{L}} f(X)\)

Opérations algébriques et convergence

Proposition — Opérations sur les convergences

Soit \((X_n)\) et \((Y_n)\) deux suites de v.a.r. et \(X\), \(Y\) deux v.a.r. Si \(X_n \xrightarrow{p.s.} X\) et \(Y_n \xrightarrow{p.s.} Y\), alors pour tous réels \(a\) et \(b\) :

• \(a\,X_n + b\,Y_n \xrightarrow{p.s.} a\,X + b\,Y\)
• \(X_n\,Y_n \xrightarrow{p.s.} X\,Y\)
• Si \(P(Y = 0) = 0\), alors \(X_n / Y_n \xrightarrow{p.s.} X / Y\)

Théorème de Slutsky

Théorème (admis) — Théorème de Slutsky

Soit \((X_n)\) et \((Y_n)\) deux suites de v.a.r. telles que \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} a \in \mathbb{R}\) (constante) et \(Y_n \xrightarrow{\mathcal{L}} Y\). Alors :

• \(X_n + Y_n \xrightarrow{\mathcal{L}} a + Y\)
• \(X_n \cdot Y_n \xrightarrow{\mathcal{L}} a \cdot Y\)

Proposition — Convergence vers une constante

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \((X_n)\) une suite de v.a.r. Alors : \[X_n \xrightarrow{P} a \iff X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} a.\]

Remarque — Hiérarchie des convergences

Les différentes convergences sont liées par le schéma d’implications suivant :

\[\boxed{L^2} \implies \boxed{P} \implies \boxed{\mathcal{L}}\] \[\boxed{p.s.} \implies \boxed{P} \implies \boxed{\mathcal{L}}\]

• Aucune implication n’existe entre \(L^2\) et p.s. (ni dans un sens, ni dans l’autre).
• La convergence en loi est la plus faible de toutes.
• La convergence vers une constante est un cas particulier où convergence en probabilité et convergence en loi sont équivalentes.

Exercice 8 — Convergence de \(V_n\) vers \(\sigma^2\)

Soit \((X_n)\) une suite i.i.d. de v.a.r. de carré intégrable, de moyenne \(m\) et de variance \(\sigma^2 > 0\).

On pose \(V_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i - m)^2\).

1. Montrer que \(V_n\) converge presque sûrement, en probabilité et en loi vers \(\sigma^2\).

   Indication : poser \(Y_i = (X_i - m)^2\) et appliquer les lois des grands nombres à la suite \((Y_i)\).

2. Montrer que si \(\mu_4 = E\!\left((X_1 - m)^4\right)\) est défini, alors \(V_n\) converge aussi en moyenne quadratique.

Solution — Exercice 8

1. On pose \(Y_i = (X_i - m)^2\). Les \(Y_i\) sont i.i.d. et intégrables avec : \[E(Y_i) = E\!\left((X_i - m)^2\right) = \sigma^2.\]

On a \(V_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n Y_i = \overline{Y}_n\).

• Convergence p.s. : par la loi forte des grands nombres, \(\overline{Y}_n \xrightarrow{p.s.} E(Y_1) = \sigma^2\).
• Convergence en probabilité : la convergence p.s. implique la convergence en probabilité, donc \(V_n \xrightarrow{P} \sigma^2\).
• Convergence en loi : la convergence en probabilité implique la convergence en loi, donc \(V_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \sigma^2\).

2. On utilise la caractérisation de la convergence \(L^2\) : il faut que \(E(V_n) \to \sigma^2\) et \(\mathrm{Var}(V_n) \to 0\).

On a déjà \(E(V_n) = E(Y_1) = \sigma^2\) (constant).

Pour la variance : \[\mathrm{Var}(V_n) = \mathrm{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right) = \frac{\mathrm{Var}(Y_1)}{n}.\]

Or \(\mathrm{Var}(Y_1) = E(Y_1^2) - (E(Y_1))^2 = E\!\left((X_1 - m)^4\right) - \sigma^4 = \mu_4 - \sigma^4\), qui est fini par hypothèse.

Donc \(\mathrm{Var}(V_n) = \dfrac{\mu_4 - \sigma^4}{n} \to 0\), et \(V_n \xrightarrow{L^2} \sigma^2\).

Exercice 9 — Convergence de la variance empirique \(S_n'^2\)

Soit \((X_n)\) une suite i.i.d. de v.a.r. de carré intégrable, de moyenne \(m\) et de variance \(\sigma^2 > 0\). On considère : \[V_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - m)^2, \qquad S_n'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X}_n\right)^2, \qquad S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X}_n\right)^2.\]

1. Montrer, en développant \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \left[(X_i - m) - (\overline{X}_n - m)\right]^2\), que : \[S_n'^2 = V_n - \left(\overline{X}_n - m\right)^2.\]
2. En utilisant un théorème de continuité, montrer que \(\left(\overline{X}_n - m\right)^2\) converge p.s., en probabilité et en loi vers 0.
3. En déduire que \(S_n'^2\) et \(S_n^2\) convergent p.s., en probabilité et en loi vers \(\sigma^2\).

Solution — Exercice 9

1. On développe : \[\sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X}_n\right)^2 = \sum_{i=1}^n \left[(X_i - m) - (\overline{X}_n - m)\right]^2\] \[= \sum_{i=1}^n (X_i - m)^2 - 2(\overline{X}_n - m)\sum_{i=1}^n (X_i - m) + n(\overline{X}_n - m)^2.\]

Or \(\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i - m) = n(\overline{X}_n - m)\), donc : \[= \sum_{i=1}^n (X_i - m)^2 - 2n(\overline{X}_n - m)^2 + n(\overline{X}_n - m)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - m)^2 - n(\overline{X}_n - m)^2.\]

En divisant par \(n\) : \[S_n'^2 = V_n - \left(\overline{X}_n - m\right)^2.\]

2. Par la loi forte des grands nombres, \(\overline{X}_n \xrightarrow{p.s.} m\), donc \(\overline{X}_n - m \xrightarrow{p.s.} 0\).

La fonction \(f : x \mapsto x^2\) est continue, donc par le théorème de continuité : \[\left(\overline{X}_n - m\right)^2 \xrightarrow{p.s.} 0.\]

La convergence p.s. implique la convergence en probabilité, qui implique la convergence en loi. Donc \((\overline{X}_n - m)^2\) converge vers 0 dans les trois modes.

3. D’après l’exercice 8, \(V_n \xrightarrow{p.s.} \sigma^2\). D’après la question 2, \((\overline{X}_n - m)^2 \xrightarrow{p.s.} 0\).

Donc, par différence : \[S_n'^2 = V_n - (\overline{X}_n - m)^2 \xrightarrow{p.s.} \sigma^2 - 0 = \sigma^2.\]

La convergence p.s. implique les convergences en probabilité et en loi.

Enfin, \(S_n^2 = \dfrac{n}{n-1}\,S_n'^2\) et \(\dfrac{n}{n-1} \to 1\), donc \(S_n^2 \xrightarrow{p.s.} \sigma^2\) (et de même en probabilité et en loi).

À retenir

• L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev contrôle les déviations et sert à calibrer les tailles d’échantillon.
• La loi faible des grands nombres garantit que \(\overline{X}_n \xrightarrow{P} m\).
• La loi forte des grands nombres renforce ce résultat : \(\overline{X}_n \xrightarrow{p.s.} m\).
• La méthode de Monte-Carlo exploite la loi forte pour estimer des intégrales par simulation.
• Le théorème limite central justifie l’approximation normale pour de grands échantillons, quelle que soit la loi parente.
• Le théorème de Slutsky permet de combiner convergence en loi et convergence vers une constante.
• Les implications entre convergences sont : \(L^2 \Rightarrow P \Rightarrow \mathcal{L}\) et \(p.s. \Rightarrow P \Rightarrow \mathcal{L}\).