Couples de variables a densite

Date de publication

18 février 2026

Modifié

24 mars 2026

Résumé

Ce chapitre etend la theorie des lois a densite au cas de deux variables aleatoires reelles. On introduit d’abord les integrales doubles sur \(\mathbb{R}^2\) (cadre de Tonelli/Fubini), puis la loi conjointe d’un couple \((X,Y)\) absolument continu. On construit ensuite les lois marginales, on caracterise l’independance par factorisation de la densite, puis on generalise les notions d’esperance et de covariance. Le chapitre se termine par une application centrale: la loi de la somme de deux variables independantes via la convolution des densites.

📍 Retour à la carte du cours > Dans tout ce chapitre, nous nous placons dans un espace probabilise quelconque \((\Omega, \mathcal{F}, P)\).

Integrales sur \(\mathbb{R}^2\)

Un prealable utile est la theorie des integrales multiples (integration sur des domaines du plan).

Theoreme de Tonelli (admis)

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), continue par morceaux, positive.

Alors: \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\right)dy, \] en autorisant la valeur \(+\infty\).

Remarque

Pour une fonction qui peut changer de signe, on utilise le theoreme de Fubini sous des hypotheses d’integrabilite adaptees.

Definition - Integrabilite sur \(\mathbb{R}^2\)

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) c.p.m. et positive. On dit que \(f\) est integrable sur \(\mathbb{R}^2\) si l’une (donc les deux) des quantites suivantes est finie:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dy\right)dx, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\right)dy. \]

Exemple 1 - Calculs d’integrales doubles
  1. Soit \(D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\}\). Calculer:
    • \(\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy\),
    • \(\displaystyle \iint_D xy(x+y)\,dx\,dy\).
  2. Soit \[ f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+y)} & \text{si } 0\le x\le y,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \] Calculer \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy\).
  • \(\displaystyle \iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy = \frac{1}{6}\).
  • \(\displaystyle \iint_D xy(x+y)\,dx\,dy = \frac{1}{30}\).
  • \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1\).

Ainsi, dans le second cas, \(f\) est bien normalisee pour jouer le role d’une densite conjointe.

Loi conjointe d’un couple de variables aleatoires continues

Definition - Couple de variables aleatoires continues

Un couple de variables aleatoires continues est une application \[ (X,Y):\Omega\to\mathbb{R}^2, \qquad \omega\mapsto (X(\omega),Y(\omega)). \]

Densite de probabilite sur \(\mathbb{R}^2\)

Definition - Densite sur \(\mathbb{R}^2\)

Une fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) est une densite de probabilite sur \(\mathbb{R}^2\) si:

  • \(f(x,y)\ge 0\) pour tout \((x,y)\),
  • \(f\) est integrable sur \(\mathbb{R}^2\),
  • \(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1\).
Definition - Couple absolument continu

Le couple \((X,Y)\) est dit absolument continu s’il existe une densite conjointe \(f\) telle que, pour tous intervalles \(I,J\subset\mathbb{R}\), \[ P(X\in I,\ Y\in J) = \iint_{I\times J} f(x,y)\,dx\,dy. \]

Exemple 2 - Densite exponentielle sur le quadrant

Soit \[ f(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)} & \text{si } x\ge 0,\ y\ge 0,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \] Montrer que \(f\) est une densite sur \(\mathbb{R}^2\).

La positivite est immediate. Ensuite: \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = \left(\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx\right) \left(\int_0^{+\infty} e^{-y}\,dy\right)=1\cdot 1=1. \] Donc \(f\) est bien une densite.

Fonction de repartition conjointe

Definition

La fonction de repartition du couple \((X,Y)\) de densite \(f\) est \[ F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v)\,dv\,du. \]

Proposition (admise)

Aux points ou \(f\) est continue, \[ f(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x,y). \]

La densite conjointe et la repartition conjointe caracterisent la loi du couple.

Lois marginales

Proposition

Si \((X,Y)\) admet une densite conjointe \(f\), alors \(X\) et \(Y\) sont des variables a densite de densites marginales: \[ f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dx. \]

Ces formules se lisent comme une “projection” de la densite conjointe sur chaque axe: on integre selon l’autre variable pour ne garder qu’une seule coordonnee.

Exemple 3 - Loi uniforme sur le disque unite

Soit \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le 1\}\) et \[ f(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_D(x,y). \]

  1. Verifier que \(f\) est une densite.
  2. Determiner les densites marginales \(f_X\) et \(f_Y\).
  3. Verifier que \(\int_{\mathbb{R}} f_X(x)\,dx=\int_{\mathbb{R}} f_Y(y)\,dy=1\).

Pour \(|x|\le 1\): \[ f_X(x)=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi}\,dy =\frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}, \] et \(f_X(x)=0\) sinon.

Par symetrie, \[ f_Y(y)=\frac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}\ \text{pour }|y|\le 1, \quad f_Y(y)=0\ \text{sinon.} \]

Exercice — Cible de tir a l’arc

Marc fait du tir a l’arc sur une cible circulaire de rayon \(4\). Le point d’impact \(M\) de la fleche, de coordonnees aleatoires \((X;Y)\), suit une loi uniformement distribuee sur la cible. On note \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2\le 16\}\).

  1. Determiner la densite du couple \((X;Y)\).
  2. La zone centrale, permettant de marquer un maximum de points, est un cercle de rayon \(1\) et de meme centre que la cible. Calculer la probabilite que Marc atteigne la zone centrale.
  3. Determiner les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles independantes ?

1. La loi est uniforme sur \(D\), d’aire \(\pi\cdot 4^2=16\pi\). La densite est donc: \[ f(x,y)=\frac{1}{16\pi}\,\mathbf{1}_D(x,y). \]

2. La zone centrale \(C=\{x^2+y^2\le 1\}\) a l’aire \(\pi\cdot 1^2=\pi\). Par la loi uniforme: \[ P(X^2+Y^2\le 1)=\frac{\pi}{16\pi}=\frac{1}{16}. \]

3. Pour \(|x|\le 4\), on integre \(f\) par rapport a \(y\) sur \([-\sqrt{16-x^2},\,\sqrt{16-x^2}]\): \[ f_X(x)=\int_{-\sqrt{16-x^2}}^{\sqrt{16-x^2}}\frac{1}{16\pi}\,dy =\frac{2\sqrt{16-x^2}}{16\pi}=\frac{\sqrt{16-x^2}}{8\pi}, \] et \(f_X(x)=0\) pour \(|x|>4\). Par symetrie, \(f_Y(y)=\dfrac{\sqrt{16-y^2}}{8\pi}\) pour \(|y|\le 4\).

Les variables \(X\) et \(Y\) ne sont pas independantes : le support de \(f\) est le disque \(D\), qui n’est pas un rectangle, donc on ne peut pas ecrire \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\) sur tout \(\mathbb{R}^2\).

Independance de deux variables continues

Definition

Les variables continues \(X\) et \(Y\) sont independantes si, pour tous intervalles \(I,J\), \[ P(X\in I,\ Y\in J)=P(X\in I)P(Y\in J). \]

Proposition - Caracterisations equivalentes

Soit \((X,Y)\) de densite conjointe \(f\), de repartition conjointe \(F\), et de marginales \((f_X,f_Y)\), \((F_X,F_Y)\). Les proprietes suivantes sont equivalentes:

  1. \(X\) et \(Y\) sont independantes.
  2. \(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\) pour tout \((x,y)\).
  3. \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\) pour tout \((x,y)\).
Exemple 4 - Test d’independance

On reprend la densite de l’exemple 2: \[ f(x,y)=e^{-(x+y)}\mathbf{1}_{x\ge 0, y\ge 0}. \]

  1. Calculer \(f_X\) et \(f_Y\).
  2. Conclure sur l’independance de \(X\) et \(Y\).
  • \(f_X(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{x\ge 0}\),
  • \(f_Y(y)=e^{-y}\mathbf{1}_{y\ge 0}\),
  • donc \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\).

Les variables \(X\) et \(Y\) sont independantes.

Exercice 2

Soit \(\lambda>0\) et \[f(x,y)=\lambda^2e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{\{0<y<x\}}.\]

  1. Verifier que \(f\) est une densite sur \(\mathbb{R}^2\).
  2. Determiner les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
  3. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles independantes ?
  4. Calculer \(P(X<Y)\), \(P(Y<X)\) et \(P\!\left(Y<\frac{X}{2}\right)\).
  • Integrer d’abord en \(y\) entre 0 et \(x\).
  • Pour la loi de \(Y\), fixer \(y\) puis integrer en \(x\) de \(y\) a \(+\infty\).
  • Sur le support, \(y<x\) toujours, donc certaines probabilites sont immediates.
Exercice 3

Soient \(\lambda,\mu>0\) et \(X_1, X_2\) independantes, avec \[X_1\sim\mathcal{E}(\lambda),\qquad X_2\sim\mathcal{E}(\mu).\]

  1. Calculer \(P(X_1=X_2)\) et \(P(X_1<X_2)\).
  2. Determiner la loi de \[Y=\min(X_1,X_2),\qquad Z=\max(X_1,X_2).\]
  • Utiliser la continuite pour \(P(X_1=X_2)\).
  • Pour \(Y\) : \(P(Y>t)=P(X_1>t, X_2>t)\).
  • Pour \(Z\) : \(P(Z\le t)=P(X_1\le t, X_2\le t)\).
Exercice — Densite \(ke^{-y}\)

Soit \(k\in\mathbb{R}\) et \(f\) la fonction definie sur \(\mathbb{R}^2\) par \[ f(x,y)=k\,e^{-y}\,\mathbf{1}_{\{0<x<y\}}(x,y). \]

  1. Pour quelle valeur de \(k\) la fonction \(f\) est-elle une densite ?
  2. Soit \((X,Y)\) un couple de v.a.r. a densite \(f\).
    1. Determiner les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
    2. \(X\) et \(Y\) sont-elles independantes ?

1. La fonction est positive si \(k\ge 0\). On calcule: \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy =k\int_0^{+\infty}\!\int_x^{+\infty} e^{-y}\,dy\,dx =k\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx=k. \] Donc \(f\) est une densite si et seulement si \(\boxed{k=1}\).

2a. Loi marginale de \(X\) (\(x>0\)): \[ f_X(x)=\int_x^{+\infty} e^{-y}\,dy=e^{-x}. \] Ainsi \(f_X(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{x>0}\), soit \(X\sim\mathcal{E}(1)\).

Loi marginale de \(Y\) (\(y>0\)): \[ f_Y(y)=\int_0^{y} e^{-y}\,dx=y\,e^{-y}. \] Ainsi \(f_Y(y)=y\,e^{-y}\mathbf{1}_{y>0}\), soit \(Y\sim\Gamma(2,1)\).

2b. On compare \(f(x,y)=e^{-y}\mathbf{1}_{0<x<y}\) et \(f_X(x)f_Y(y)=e^{-x}\cdot y\,e^{-y}\). Ces deux expressions ne coincident pas (par exemple en \(x=1, y=2\) : \(e^{-2}\ne e^{-1}\cdot 2e^{-2}\)). Donc \(X\) et \(Y\) ne sont pas independantes.

Exercice — Romeo et Juliette

Romeo et Juliette se donnent rendez-vous devant une salle de theatre entre 20h et 21h. Le temps ecoule depuis 20h avant les arrivees de Romeo et de Juliette sont deux variables aleatoires \(R\) et \(J\) independantes de loi uniforme sur \([0;1]\) (en heures).

  1. Determiner la loi du couple \((R;J)\).
  2. Donner \(E(RJ)\) sans la calculer directement.
  3. Montrer que \(P(|J-R|<\tfrac{1}{4})=1-2P(J-R>\tfrac{1}{4})\).
  4. Chacun decide d’attendre au plus 15 minutes que l’autre arrive avant d’entrer dans la salle. Quelle est la probabilite qu’ils entrent ensemble ?

1. \(R\) et \(J\) sont independantes et uniformes sur \([0,1]\), donc le couple \((R,J)\) est uniforme sur le carre \([0,1]^2\), de densite \(f(r,j)=1\) sur \([0,1]^2\).

2. Par independance : \(E(RJ)=E(R)\,E(J)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\).

3. Par symetrie du carre \([0,1]^2\), l’evenement \(\{J-R>\tfrac{1}{4}\}\) a la meme probabilite que \(\{R-J>\tfrac{1}{4}\}\). Ces deux evenements sont disjoints et leur reunion est le complementaire de \(\{|J-R|\le\tfrac{1}{4}\}\). Donc: \[ P(|J-R|\le\tfrac{1}{4})=1-P(J-R>\tfrac{1}{4})-P(R-J>\tfrac{1}{4})=1-2P(J-R>\tfrac{1}{4}). \]

4. Les deux entrent ensemble si et seulement si \(|J-R|\le\tfrac{1}{4}\). La zone \(\{J-R>\tfrac{1}{4}\}\) dans \([0,1]^2\) est un triangle rectangle de cote \(\tfrac{3}{4}\), d’aire \(\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{3}{4}\right)^2=\tfrac{9}{32}\). Donc: \[ P(|J-R|\le\tfrac{1}{4})=1-2\cdot\frac{9}{32}=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}. \]

Densite conditionnelle

Definition - Densite conditionnelle

Soit \((X,Y)\) un couple de v.a.r. de densite conjointe \(f\), et soit \(f_X\) la densite marginale de \(X\). Pour tout \(x\) tel que \(f_X(x) > 0\), on definit la densite conditionnelle de \(Y\) sachant \(X = x\) par: \[ f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}. \]

De meme, pour tout \(y\) tel que \(f_Y(y) > 0\): \[ f_{X|Y}(x \mid y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}. \]

Definition - Esperance conditionnelle

L’esperance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X = x\) est: \[ E(Y \mid X = x) = \int_{\mathbb{R}} y \, f_{Y|X}(y \mid x) \, dy. \]

Exemple - Densite conditionnelle

Reprenons l’exercice avec \(f(x,y)=e^{-y}\,\mathbf{1}_{\{0<x<y\}}\). On a vu que \(f_X(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{x>0}\) et \(f_Y(y)=y\,e^{-y}\mathbf{1}_{y>0}\).

La densite conditionnelle de \(Y\) sachant \(X = x\) (\(x > 0\)) est: \[ f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{e^{-y}\mathbf{1}_{0<x<y}}{e^{-x}} = e^{-(y-x)}\mathbf{1}_{y > x}. \]

On reconnait une loi exponentielle \(\mathcal{E}(1)\) translatée de \(x\), soit \(Y \mid X=x \sim x + \mathcal{E}(1)\).

Esperance, covariance, correlation

Definitions

L’esperance d’un couple de v.a.r. continues et integrables est le couple des esperances: \[ E(X, Y) = \bigl(E(X),\, E(Y)\bigr), \] avec \[ E(X)=\int_{\mathbb{R}} x f_X(x)\,dx, \qquad E(Y)=\int_{\mathbb{R}} y f_Y(y)\,dy. \]

Si \(X\) et \(Y\) sont de carre integrable, la covariance est \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E\!\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right] =E(XY)-E(X)E(Y), \] avec \[ E(XY)=\iint_{\mathbb{R}^2} xy f(x,y)\,dx\,dy. \]

Remarques
  • On peut aussi ecrire:
    • \(\displaystyle E(X)=\iint_{\mathbb{R}^2} x f(x,y)\,dx\,dy\),
    • \(\displaystyle E(Y)=\iint_{\mathbb{R}^2} y f(x,y)\,dx\,dy\).
  • \(\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)\).
Proposition

Si \(X\) et \(Y\) sont independantes, alors \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=0. \] La reciproque est fausse en general.

Definition - Coefficient de correlation

Si \(\sigma(X)>0\) et \(\sigma(Y)>0\), \[ \rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}. \] Ce coefficient mesure la force (lineaire) de la liaison entre \(X\) et \(Y\).

Proposition - Proprietes du coefficient de correlation

Pour tout couple \((X, Y)\) de v.a.r. de carre integrable avec \(\sigma(X) > 0\) et \(\sigma(Y) > 0\):

  1. \(\rho(X,Y) \in [-1,\, 1]\).
  2. \(|\rho(X,Y)| = 1\) si et seulement s’il existe \(a \ne 0\) et \(b \in \mathbb{R}\) tels que \(Y = aX + b\) p.s.

Esquisse de preuve.

1. Par l’inegalite de Cauchy-Schwarz appliquee aux v.a. centrees: \[ |\operatorname{Cov}(X,Y)| = \bigl|E\!\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right]\bigr| \le \sqrt{E\!\left[(X-E(X))^2\right]\,E\!\left[(Y-E(Y))^2\right]} = \sigma(X)\,\sigma(Y), \] d’ou \(|\rho(X,Y)| \le 1\).

2. L’egalite dans Cauchy-Schwarz a lieu si et seulement si \(Y - E(Y) = a(X - E(X))\) p.s. pour un certain \(a \ne 0\), soit \(Y = aX + b\) avec \(b = E(Y) - aE(X)\).

Remarque - Interpretation de \(\rho\)
  • \(\rho(X,Y) = 0\) : absence de liaison lineaire (variables non correlees).
  • \(\rho(X,Y) > 0\) : liaison lineaire positive (\(X\) et \(Y\) varient dans le meme sens).
  • \(\rho(X,Y) < 0\) : liaison lineaire negative (\(X\) et \(Y\) varient en sens oppose).
  • \(|\rho(X,Y)| = 1\) : liaison lineaire parfaite (relation affine exacte).
Exercice 1

Soit la fonction \[f(x,y)=2\,\mathbf{1}_{\{0\le y\le x\le 1\}}.\]

  1. Montrer que \(f\) est une densite sur \(\mathbb{R}^2\).
  2. Soit \((X,Y)\) un couple de variables aleatoires de densite \(f\). Calculer \(P(X<Y)\) et \(P(Y<X)\).
  3. Calculer \(E(XY)\) puis \(\operatorname{Cov}(X,Y)\).
  • Le support est le triangle \(0\le y\le x\le 1\).
  • \(P(X<Y)\) correspond a une zone vide sur ce support.
  • Pour la covariance : \(\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\).

Loi de la somme de deux variables independantes

Soient \(X\) et \(Y\) independantes, de densites \(f_X\) et \(f_Y\), et posons \(Z=X+Y\).

Proposition - Formule de convolution

La variable \(Z\) admet la densite \[ f_Z(z)=\int_{\mathbb{R}} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx. \]

On dit que \(f_Z\) est le produit de convolution de \(f_X\) et \(f_Y\).

Exemple 5 - Somme de deux lois uniformes

Soient \(X\) et \(Y\) independantes, de loi uniforme sur \([0,1]\).

  1. Determiner la densite de \(Z=X+Y\).
  2. Verifier qu’il s’agit d’une densite (positive et integree a 1).

Ici \(f_X=f_Y=\mathbf{1}_{[0,1]}\). Donc \[ f_Z(z)=\int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{[0,1]}(x)\mathbf{1}_{[0,1]}(z-x)\,dx, \] ce qui donne la densite triangulaire: \[ f_Z(z)= \begin{cases} z & \text{si } 0\le z\le 1,\\ 2-z & \text{si } 1<z\le 2,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \] Elle est positive et son aire totale vaut 1.

Exercice 4

Soient \(X\) et \(Y\) independantes, de meme loi. On pose \(Z=X+Y\).

Determiner la densite de \(Z\) dans les deux cas suivants :

  1. \(X,Y\sim\mathcal{U}([0,1])\).
  2. \(X,Y\sim\mathcal{N}(0,1)\).
  • Utiliser la formule de convolution : \[f_Z(z)=\int_{\mathbb{R}} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.\]
  • Cas uniforme : bien decrire l’intersection des intervalles.
  • Cas normal : on peut reconnaitre directement la stabilite de la loi normale.
Exercice 5

Soient \(\sigma_1>0\), \(\sigma_2>0\) et deux variables independantes \[X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2),\qquad Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2).\] On pose \(Z=X+Y\).

  1. Montrer que, pour tous \((x,t)\in\mathbb{R}^2\), \[\frac{x^2}{\sigma_1^2}+\frac{(t-x)^2}{\sigma_2^2} =\frac{\sigma^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\left(x-\frac{\sigma_1^2}{\sigma^2}t\right)^2 +\frac{t^2}{\sigma^2},\] ou \(\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2\).
  2. En deduire la loi de \(Z\).
  3. Generaliser au cas \[X\sim\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2),\qquad Y\sim\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2).\]

1. On developpe le membre de droite. Posons \(\sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2\). Alors: \[ \frac{\sigma^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\left(x - \frac{\sigma_1^2}{\sigma^2}t\right)^2 + \frac{t^2}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\left(x^2 - \frac{2\sigma_1^2}{\sigma^2}xt + \frac{\sigma_1^4}{\sigma^4}t^2\right) + \frac{t^2}{\sigma^2}. \]

En developpant: \[ = \frac{x^2}{\sigma_1^2} \cdot \frac{\sigma^2}{\sigma_2^2} \cdot \frac{1}{\frac{\sigma^2}{\sigma_1^2}} - \frac{2xt}{\sigma_2^2} + \frac{\sigma_1^2 t^2}{\sigma_2^2 \sigma^2} + \frac{t^2}{\sigma^2}. \]

Apres simplification, on retrouve \(\dfrac{x^2}{\sigma_1^2} + \dfrac{(t-x)^2}{\sigma_2^2}\), ce qui se verifie aussi directement en developpant \(\dfrac{(t-x)^2}{\sigma_2^2} = \dfrac{t^2 - 2tx + x^2}{\sigma_2^2}\) et en regroupant les termes en \(x^2\), \(xt\) et \(t^2\).

2. Par la formule de convolution, la densite de \(Z = X + Y\) est: \[ f_Z(t) = \int_{\mathbb{R}} f_X(x)\,f_Y(t-x)\,dx = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\,e^{-\frac{x^2}{2\sigma_1^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\,e^{-\frac{(t-x)^2}{2\sigma_2^2}}\,dx. \]

Soit: \[ f_Z(t) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\int_{\mathbb{R}} \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{\sigma_1^2}+\frac{(t-x)^2}{\sigma_2^2}\right]\right)dx. \]

En utilisant l’identite de la question 1: \[ f_Z(t) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\,e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} \int_{\mathbb{R}} \exp\!\left(-\frac{\sigma^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\left(x-\frac{\sigma_1^2}{\sigma^2}t\right)^2\right)dx. \]

L’integrale est celle d’une gaussienne en \(x\). Par le changement de variable \(u = \dfrac{\sigma}{\sigma_1\sigma_2}\!\left(x - \dfrac{\sigma_1^2}{\sigma^2}t\right)\), on reconnait \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-u^2/2}\,du = \sqrt{2\pi}\), d’ou: \[ \int_{\mathbb{R}} \exp\!\left(-\frac{\sigma^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\left(x-\frac{\sigma_1^2}{\sigma^2}t\right)^2\right)dx = \frac{\sigma_1\sigma_2}{\sigma}\sqrt{2\pi}. \]

Finalement: \[ f_Z(t) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\cdot\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sigma}\sqrt{2\pi}\cdot e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}. \]

On reconnait la densite de \(\mathcal{N}(0, \sigma^2)\) avec \(\sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2\), donc: \[ \boxed{Z \sim \mathcal{N}(0,\, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).} \]

3. Si \(X \sim \mathcal{N}(m_1, \sigma_1^2)\) et \(Y \sim \mathcal{N}(m_2, \sigma_2^2)\) independantes, on ecrit \(X = m_1 + X'\) et \(Y = m_2 + Y'\) avec \(X' \sim \mathcal{N}(0,\sigma_1^2)\) et \(Y' \sim \mathcal{N}(0,\sigma_2^2)\) independantes. Alors: \[ Z = X + Y = (m_1 + m_2) + (X' + Y'), \] et par la question 2, \(X' + Y' \sim \mathcal{N}(0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\). Par translation: \[ \boxed{Z \sim \mathcal{N}(m_1 + m_2,\, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).} \]

C’est la stabilite de la loi normale : la somme de deux normales independantes est normale.

Changement de variables bidimensionnel

Théorème — Changement de variables pour un couple de v.a.r.

Soit \((X,Y)\) un couple de v.a.r. continues de densité conjointe \(f_{(X,Y)}\), à valeurs dans un ouvert \(\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^2\).

Soit \(G : \mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un \(\mathcal{C}^1\)-difféomorphisme (bijection de classe \(\mathcal{C}^1\) dont l’inverse \(H = G^{-1}\) est également de classe \(\mathcal{C}^1\)), et posons \((U, V) = G(X, Y)\).

Alors le couple \((U, V)\) admet la densité : \[ f_{(U,V)}(u,v) = f_{(X,Y)}\!\bigl(H(u,v)\bigr) \cdot \bigl|J_H(u,v)\bigr| \cdot \mathbf{1}_{\mathcal{O}'}(u,v), \] où \(J_H(u,v)\) est le jacobien (déterminant de la matrice jacobienne) de \(H\) : \[ J_H(u,v) = \det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial h_1}{\partial u} & \dfrac{\partial h_1}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial h_2}{\partial u} & \dfrac{\partial h_2}{\partial v} \end{pmatrix}, \qquad \text{avec } H(u,v) = \bigl(h_1(u,v),\, h_2(u,v)\bigr). \]

Remarque

La formule de convolution (section VI) est un cas particulier de ce théorème, obtenu en posant \(U = X + Y\) et \(V = Y\) (changement de variables de jacobien \(|J_H| = 1\)).

Exemple — Passage en coordonnées polaires

Soit \((X, Y)\) un couple de loi uniforme sur le disque unité : \(f_{(X,Y)}(x,y) = \dfrac{1}{\pi}\,\mathbf{1}_{x^2+y^2 \le 1}\).

On effectue le changement de variables \((R, \Theta) = G^{-1}(X, Y)\) avec \(X = R\cos\Theta\), \(Y = R\sin\Theta\).

Le jacobien est \(J = r\) et la densité de \((R, \Theta)\) est : \[ f_{(R,\Theta)}(r, \theta) = \frac{r}{\pi}\,\mathbf{1}_{[0,1]}(r)\,\mathbf{1}_{[0,2\pi]}(\theta). \]

Exercice de synthèse

Exercice 6 - Loi conjointe, marginales et covariance

Soit le triangle \[ T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ x+y\le 1\} \] et la fonction \[ f(x,y)=2\mathbf{1}_T(x,y). \]

  1. Verifier que \(f\) est une densite conjointe.
  2. Determiner \(f_X\) et \(f_Y\).
  3. Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\), puis \(E(XY)\).
  4. En deduire \(\operatorname{Cov}(X,Y)\).
  5. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles independantes?

  1. Aire de \(T=\frac{1}{2}\), donc \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy=2\times\frac{1}{2}=1. \]

  2. Pour \(0\le x\le 1\), \[ f_X(x)=\int_0^{1-x}2\,dy=2(1-x), \] et sinon \(0\). De meme, \[ f_Y(y)=2(1-y)\ \text{pour }0\le y\le 1, \] et sinon \(0\).

  3. \[ E(X)=\int_0^1 x\,2(1-x)\,dx=\frac{1}{3}, \quad E(Y)=\frac{1}{3}. \] Puis \[ E(XY)=\int_0^1\int_0^{1-x}2xy\,dy\,dx=\frac{1}{12}. \]

  4. \[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{12}-\frac{1}{9}=-\frac{1}{36}. \]

  5. Non: les variables ne sont pas independantes (le support triangulaire interdit deja la factorisation sur un rectangle, et la covariance est negative).

Exercice — Aiguilles de Buffon

On lance une aiguille de longueur \(a\) sur un parquet constitue de lames paralleles de meme largeur \(l\), et on veut determiner la probabilite que l’aiguille tombe a cheval sur une rainure du parquet.

On note \(O\) le centre de l’aiguille, \(Y\) la distance entre \(O\) et la rainure la plus proche, et \(\theta\) l’angle entre l’aiguille et la parallele aux rainures passant par \(O\).

On admet que \(Y\) et \(\theta\) sont independantes, que \(Y\sim\mathcal{U}\!\left([0;\tfrac{l}{2}]\right)\) et que \(\theta\sim\mathcal{U}\!\left([0;\tfrac{\pi}{2}]\right)\).

  1. Donner la loi du couple \((Y;\theta)\).
  2. On note \(A\) l’evenement “l’aiguille tombe a cheval sur une rainure”. Exprimer \(A\) a l’aide de \(Y\) et \(\theta\).
  3. Calculer \(P(A)\) dans le cas \(a\le l\), puis dans le cas \(a>l\).

1. Par independance, la densite conjointe est le produit des densites marginales : \[ f(y,\theta)=\frac{2}{l}\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{4}{l\pi} \quad\text{sur }\left[0,\frac{l}{2}\right]\times\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \]

2. L’aiguille touche une rainure si et seulement si la demi-longueur projetee \(\frac{a}{2}\sin\theta\) depasse la distance \(Y\) a la rainure : \[ A=\left\{Y\le\frac{a}{2}\sin\theta\right\}. \]

3. Cas \(a\le l\). Pour tout \(\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\), on a \(\tfrac{a}{2}\sin\theta\le\tfrac{a}{2}\le\tfrac{l}{2}\), donc la contrainte \(Y\le\tfrac{a}{2}\sin\theta\) ne sature pas la borne superieure de \(Y\). On integre: \[ P(A)=\int_0^{\pi/2}\int_0^{(a/2)\sin\theta}\frac{4}{l\pi}\,dy\,d\theta =\frac{4}{l\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{a}{2}\sin\theta\,d\theta =\frac{2a}{l\pi}\Bigl[-\cos\theta\Bigr]_0^{\pi/2} =\frac{2a}{l\pi}. \]

Cas \(a>l\). Pour les angles \(\theta\) petits, \(\tfrac{a}{2}\sin\theta\) peut depasser \(\tfrac{l}{2}\). On pose \(\theta_0=\arcsin\!\bigl(\tfrac{l}{a}\bigr)\). On decoupe l’integrale : \[ P(A)=\frac{4}{l\pi}\left[ \int_0^{\theta_0}\frac{a}{2}\sin\theta\,d\theta +\int_{\theta_0}^{\pi/2}\frac{l}{2}\,d\theta \right] =\frac{2a}{l\pi}\left(1-\cos\theta_0\right)+\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\theta_0\right). \] Avec \(\cos\theta_0=\sqrt{1-\tfrac{l^2}{a^2}}\), on obtient : \[ P(A)=\frac{2a}{l\pi}\left(1-\sqrt{1-\frac{l^2}{a^2}}\right)+1-\frac{2\theta_0}{\pi}. \]