Loi normale et applications

Abstract

Ce chapitre présente la loi normale, modèle central en probabilités et en statistique. On introduit d’abord la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\), sa densité en cloche et sa fonction de répartition \(\Phi\), puis les règles de calcul associées (symétrie, lecture directe et inverse des probabilités). On généralise ensuite à la loi \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) et à la standardisation, outil clé pour ramener tout calcul à la table de \(\Phi\). Le chapitre inclut les propriétés fondamentales (espérance, variance, somme de normales indépendantes) et se prolonge par deux applications classiques : la loi log-normale et la loi du khi-deux.

Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans un espace probabilisé quelconque \((\Omega, \mathcal{F}, P)\).

I - Loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\)

Définition

Une variable aléatoire réelle \(X\) suit la loi normale centrée réduite, notée \(\mathcal{N}(0,1)\), si sa densité est \[f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), \quad x \in \mathbb{R}.\]

Cette densité est positive, intégrée à 1 sur \(\mathbb{R}\), et paire. La courbe de \(f_X\) est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. En particulier : \[P(X \leq 0) = P(X \geq 0) = \frac{1}{2}.\]

Définition - Fonction de répartition

Si \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\), on note \[\Phi(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)dt.\]

La primitive de \(e^{-t^2/2}\) n’étant pas élémentaire, les valeurs de \(\Phi\) se lisent en pratique dans une table, via calculatrice ou logiciel.

Propriétés utiles

Pour tout réel \(x\) :

• \(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\),
• \(\Phi(0) = 0{,}5\),
• pour \(x > 0\), \(P(-x \leq X \leq x) = 2\Phi(x) - 1\).

Exemple 1 - Lecture de table pour \(\mathcal{N}(0,1)\)

Soit \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\).

1. Calculer :

• \(P(X \leq 1{,}3)\),
• \(P(X > 0{,}22)\),
• \(P(X < -1{,}57)\),
• \(P(-1{,}5 \leq X \leq 2{,}2)\),
• \(P(-1{,}96 \leq X \leq 1{,}96)\),
• \(P(-2{,}58 \leq X \leq 2{,}58)\).

2. Déterminer les réels \(a,b,c,d\) tels que :

• \(P(X \leq a)=0{,}1251\),
• \(P(X > b)=0{,}2327\),
• \(P(0 < X < c)=0{,}4984\),
• \(P(-d \leq X \leq d)=0{,}95\).

Solution - Exemple 1

Avec la table de \(\Phi\) :

• \(P(X \leq 1{,}3)=\Phi(1{,}3)\approx 0{,}9032\).
• \(P(X > 0{,}22)=1-\Phi(0{,}22)\approx 1-0{,}5871=0{,}4129\).
• \(P(X < -1{,}57)=\Phi(-1{,}57)=1-\Phi(1{,}57)\approx 0{,}0582\).
• \(P(-1{,}5 \leq X \leq 2{,}2)=\Phi(2{,}2)-\Phi(-1{,}5)\approx 0{,}9193\).
• \(P(-1{,}96 \leq X \leq 1{,}96)=2\Phi(1{,}96)-1\approx 0{,}95\).
• \(P(-2{,}58 \leq X \leq 2{,}58)=2\Phi(2{,}58)-1\approx 0{,}9901\).

Lecture inverse :

• \(a \approx -1{,}15\) car \(\Phi(-1{,}15)=0{,}1251\).
• \(b \approx 0{,}73\) car \(1-\Phi(b)=0{,}2327 \iff \Phi(b)=0{,}7673\).
• \(c \approx 2{,}95\) car \(\Phi(c)-0{,}5=0{,}4984 \iff \Phi(c)=0{,}9984\).
• \(d \approx 1{,}96\) car \(2\Phi(d)-1=0{,}95\).

Proposition

Si \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\), alors \[E(X)=0 \quad \text{et} \quad \mathrm{Var}(X)=1.\]

II - Loi normale générale \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)

Définition

Soient \(m \in \mathbb{R}\) et \(\sigma > 0\). On dit que \(X\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\) si sa densité est \[f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x\in\mathbb{R}.\]

Ici, \(m\) est le paramètre de position (centre), et \(\sigma\) contrôle la dispersion autour de \(m\).

Proposition - Standardisation

Si \(X \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2)\), alors la variable \[Z=\frac{X-m}{\sigma}\] suit \(\mathcal{N}(0,1)\).

Réciproquement, si \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), alors \(X=m+\sigma Z\) suit \(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\).

Cette proposition est l’outil central de calcul : toute probabilité sur une loi normale se ramène à une lecture de \(\Phi\).

Exemple 2 - Calculs sur une loi normale générale

1. Soit \(X \sim \mathcal{N}(30,9)\). Calculer :

• \(P(X>36)\),
• \(P(25 \leq X \leq 35)\).

2. Soit \(X \sim \mathcal{N}(90,400)\). Déterminer :

• \(k\) tel que \(P(X<k)=0{,}9798\),
• \(k'\) tel que \(P(X>k')=0{,}6026\),
• un intervalle \(I\) centré en 90 tel que \(P(X\in I)=0{,}85\).

Solution - Exemple 2

1. \(X \sim \mathcal{N}(30,9)\) donc \(\sigma=3\) et \(Z=(X-30)/3 \sim \mathcal{N}(0,1)\).

• \(P(X>36)=P\!\left(Z>\frac{36-30}{3}\right)=P(Z>2)=1-\Phi(2)\approx 0{,}0228\).
• \(P(25 \leq X \leq 35)=P\!\left(-\frac{5}{3} \leq Z \leq \frac{5}{3}\right) \approx 2\Phi(1{,}67)-1 \approx 0{,}9044\).

2. \(X \sim \mathcal{N}(90,400)\) donc \(\sigma=20\).

• \(P(X<k)=0{,}9798 \Rightarrow \dfrac{k-90}{20}=2{,}05\), donc \(k=131\).
• \(P(X>k')=0{,}6026 \Rightarrow P(X\leq k')=0{,}3974\), donc \(\dfrac{k'-90}{20}\approx -0{,}26\) et \(k'\approx 84{,}8\).
• On cherche \(I=[90-a,90+a]\) avec \(P(|X-90|\leq a)=0{,}85\). En standardisant : \(P(|Z|\leq a/20)=0{,}85\), donc \(2\Phi(a/20)-1=0{,}85\), d’où \(\Phi(a/20)=0{,}925\) et \(a/20\approx 1{,}44\). Ainsi \(a\approx 28{,}8\), et \(I\approx[61{,}2\,;\,118{,}8]\).

Proposition

Si \(X \sim \mathcal{N}(m,\sigma^2)\), alors \[E(X)=m \quad \text{et} \quad \mathrm{Var}(X)=\sigma^2.\]

Proposition (admise) - Somme de normales indépendantes

Si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes et \(X_i\sim\mathcal{N}(m_i,\sigma_i^2)\), alors \[Y=\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N}\left(\sum_{i=1}^n m_i,\sum_{i=1}^n \sigma_i^2\right).\]

Exemple 3

Lors d’un test, 70 % des individus ont un score inférieur à 60. On suppose une loi normale d’écart-type 20. Déterminer l’espérance \(m\).

Solution - Exemple 3

Si \(X\sim\mathcal{N}(m,20^2)\) et \(P(X\leq 60)=0{,}70\), alors \[\frac{60-m}{20}=z_{0{,}70}\approx 0{,}5244.\] Donc \[m \approx 60-20\times 0{,}5244 \approx 49{,}5.\]

Exemple 4

Soient \(X\) et \(Y\) indépendantes de loi \(\mathcal{N}(0,2)\). Calculer \(P(X+Y\leq 1)\).

Solution - Exemple 4

Par stabilité de la loi normale, \[X+Y \sim \mathcal{N}(0,4).\] Donc \[P(X+Y\leq 1)=P\left(\frac{X+Y}{2}\leq \frac12\right)=\Phi(0{,}5)\approx 0{,}6915.\]

III - Application : loi log-normale

Définition

On dit que \(X\) suit une loi log-normale de paramètres \(m\in\mathbb{R}\) et \(\sigma>0\) si \[\ln(X)\sim\mathcal{N}(m,\sigma^2).\] En particulier, \(X>0\) presque sûrement.

Proposition

Si \(X\) est log-normale de paramètres \((m,\sigma)\), alors pour \(x>0\) : \[f_X(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln x-m}{\sigma}\right)^2\right).\]

De plus, \[E(X)=e^{m+\sigma^2/2}, \qquad \mathrm{Var}(X)=e^{2m+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).\]

Exemple 5

Soit \(X\) log-normale de paramètres \(m=1\) et \(\sigma=1\). Calculer \(P(X>1)\).

Solution - Exemple 5

Comme \(\ln(X)\sim\mathcal{N}(1,1)\), \[P(X>1)=P(\ln(X)>0)=P(Z>-1)=\Phi(1)\approx 0{,}8413.\]

IV - Application : loi du khi-deux

Définition - 1 degré de liberté

Si \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\), alors \(Y=Z^2\) suit la loi du khi-deux à 1 degré de liberté, notée \(\chi^2_1\).

Propriétés de \(\chi^2_1\)

La densité de \(Y\sim\chi^2_1\) est, pour \(x>0\), \[f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-1/2}e^{-x/2},\] et \[E(Y)=1, \qquad \mathrm{Var}(Y)=2.\]

Définition - \(n\) degrés de liberté

Si \(Z_1,\dots,Z_n\) sont indépendantes et suivent toutes \(\mathcal{N}(0,1)\), alors \[X=\sum_{i=1}^n Z_i^2\] suit la loi \(\chi^2_n\).

Proposition

Si \(X\sim\chi^2_n\), alors \[E(X)=n \qquad \text{et} \qquad \mathrm{Var}(X)=2n.\]

Exemple 6 - Lecture de table \(\chi^2\)

Soit \(X\sim\chi^2_7\). À l’aide de la table :

1. Calculer :

• \(P(X<4{,}255)\),
• \(P(X\geq 9{,}037)\),
• \(P(2{,}167\leq X\leq 12{,}02)\).

2. Déterminer \(x\) tel que \(P(X<x)=0{,}1\).

Solution - Exemple 6

Pour \(n=7\), la table donne approximativement :

• \(F(4{,}255)=0{,}25\),
• \(F(9{,}037)=0{,}75\),
• \(F(2{,}167)=0{,}10\),
• \(F(12{,}02)=0{,}90\).

Donc :

• \(P(X<4{,}255)=0{,}25\),
• \(P(X\geq 9{,}037)=1-0{,}75=0{,}25\),
• \(P(2{,}167\leq X\leq 12{,}02)=0{,}90-0{,}10=0{,}80\),
• le quantile d’ordre 0,1 vaut \(x=2{,}167\).

V - Exercice de synthèse

Exercice 7 - D’une mesure physique à une probabilité de dépassement

La résistance à la rupture (en MPa) d’un matériau est modélisée par une variable aléatoire \(R\) de loi normale \(\mathcal{N}(250,15^2)\). On considère la charge appliquée par une machine, modélisée par \(C\sim\mathcal{N}(220,10^2)\), indépendante de \(R\).

1. Calculer \(P(R<230)\).
2. Déterminer le seuil \(s\) tel que \(P(R\geq s)=0{,}10\).
3. On définit la marge de sécurité \(M=R-C\).

• Déterminer la loi de \(M\).
• Calculer \(P(M>0)\) et interpréter le résultat.

Solution - Exercice 7

1. Probabilité de résistance insuffisante \[P(R<230)=P\left(\frac{R-250}{15}<\frac{230-250}{15}\right)=P(Z<-1{,}33) \approx 0{,}0918.\]

2. Quantile à 90 % \[P(R\geq s)=0{,}10 \iff P(R\leq s)=0{,}90.\] Avec \(z_{0{,}90}\approx 1{,}28\), \[s=250+15\times 1{,}28\approx 269{,}2\ \text{MPa}.\]

3. Marge de sécurité

Comme \(R\) et \(C\) sont indépendantes et normales, \[M=R-C \sim \mathcal{N}(250-220,15^2+10^2)=\mathcal{N}(30,325).\] Donc \(\sigma_M=\sqrt{325}\approx 18{,}03\).

Alors \[P(M>0)=P\left(\frac{M-30}{18{,}03}>\frac{0-30}{18{,}03}\right) = P(Z>-1{,}66)=\Phi(1{,}66)\approx 0{,}9515.\]

Interprétation : dans ce modèle, la résistance dépasse la charge dans environ 95 % des cas.

À retenir

• La standardisation \(Z=(X-m)/\sigma\) est la clé de presque tous les calculs sur les lois normales.
• La loi normale est stable par somme de variables indépendantes.
• Les lois log-normale et khi-deux se construisent directement à partir de la loi normale.
• Les quantiles (lecture inverse) sont indispensables pour fixer des seuils de risque.