Examen (Sujet 2) — Statistiques et Probabilités

Statistiques descriptives · Variables aléatoires à densité · Loi normale

Date de publication

18 février 2026

Modifié

25 mars 2026

Résumé

Durée : 1 h 30. Les documents de cours sont interdits. Une table de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) est fournie. Les calculatrices sont autorisées. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats numériques seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Barème indicatif : Exercice 1 — 30 pts · Exercice 2 — 35 pts · Exercice 3 — 35 pts

Exercice 1 — Statistiques descriptives (30 points)

Partie A — Série discrète (16 points)

Une entreprise de livraison relève, chaque jour pendant 50 jours, le nombre de réclamations reçues. Les résultats sont :

Réclamations \(x_i\) 0 1 2 3 4 5 Total
Effectif \(n_i\) 6 13 15 9 5 2 50
Fréquence \(f_i\) 1
E.C.C. \(N_i^+\)
F.C.C. \(F_i^+\)

1. (3 pts) Compléter le tableau ci-dessus (fréquences, effectifs cumulés croissants et fréquences cumulées croissantes).

2. (1 pt) Donner le mode de cette série.

3. (4 pts) Déterminer la médiane \(Me\), le premier quartile \(Q_1\), le troisième quartile \(Q_3\), et l’écart interquartile \(\mathrm{IQR}\).

4. (5 pts) Calculer la moyenne \(\bar{x}\), la moyenne des carrés \(\overline{x^2}\), puis la variance \(\mathrm{Var}(x)\) par la formule de König-Huygens et l’écart-type \(\sigma(x)\).

5. (3 pts) On définit la variable \(Y = 5X + 2\). Sans effectuer de nouveaux calculs, donner \(\bar{y}\), \(\mathrm{Var}(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

Partie B — Série continue en classes (14 points)

Un laboratoire mesure la concentration (en mg/L) d’un polluant dans 40 échantillons d’eau :

Concentration (mg/L) \([0\,;\,3[\) \([3\,;\,8[\) \([8\,;\,15[\) \([15\,;\,30[\)
Effectif \(n_i\) 5 13 14 8

6. (4 pts) Calculer les fréquences \(f_i\), les amplitudes \(A_i\) et les densités de fréquence \(d_i = f_i / A_i\).

7. (2 pts) Expliquer pourquoi, dans un histogramme avec des classes d’amplitudes inégales, les hauteurs des rectangles doivent être proportionnelles aux densités \(d_i\) et non aux fréquences \(f_i\).

8. (4 pts) Déterminer la médiane par interpolation linéaire. On précisera d’abord dans quelle classe elle se trouve.

9. (4 pts) Calculer la moyenne \(\bar{x}\) et la variance \(\mathrm{Var}(x)\) à l’aide des centres de classe.

Exercice 2 — Variable aléatoire à densité (35 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x) = \begin{cases} k\,x\,(3 - x) & \text{si } x \in [0\,;\,3], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]

1. (1 pt) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0\,;\,3]\).

2. (4 pts) On admet que \(\displaystyle\int_0^3 x(3-x)\,dx = \dfrac{9}{2}\). Déterminer \(k > 0\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).

3. (4 pts) Soit \(X\) une v.a.r. de densité \(f\).

  • Justifier que \(P(X = 1) = 0\).
  • Calculer \(P(0 \leq X \leq 1)\).

4. (8 pts) Déterminer la fonction de répartition \(F_X\) de \(X\) sur \(\mathbb{R}\). On distinguera les cas \(x < 0\), \(0 \leq x \leq 3\), et \(x > 3\).

5. (2 pts) Vérifier que \(F_X(3) = 1\).

6. (3 pts) Calculer \(P(X > 2)\) en utilisant \(F_X\).

7. (4 pts) On admet que \(f\) est symétrique par rapport à \(x = \frac{3}{2}\), au sens où \(f\!\left(\frac{3}{2}+t\right) = f\!\left(\frac{3}{2}-t\right)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).

  • Vérifier cette propriété de symétrie.
  • En déduire \(\mathbb{E}(X)\) sans calcul d’intégrale.

8. (6 pts) Calculer \(\mathbb{E}(X^2)\) par le théorème de transfert, puis déduire \(\mathrm{Var}(X)\) par la formule de König-Huygens.

9. (3 pts) Soit \(T \sim \mathcal{E}(\lambda)\) le temps (en heures) entre deux pannes consécutives d’un serveur. On observe que \[P(T > 4) = e^{-2}.\] Déterminer \(\lambda\), puis calculer \(\mathbb{E}(T)\).

Exercice 3 — Loi normale (35 points)

Partie A — Loi normale centrée réduite (12 points)

Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). On rappelle : \(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\) et \(P(-a \leq Z \leq a) = 2\Phi(a) - 1\).

1. (4 pts) Calculer les probabilités suivantes :

  • \(P(Z \leq 2{,}33)\),
  • \(P(Z > -1{,}28)\),
  • \(P(-1{,}96 \leq Z \leq 2{,}58)\).

2. (2 pts) Calculer \(P(|Z| > 1{,}96)\).

3. (3 pts) Déterminer les réels suivants par lecture inverse de la table :

  • \(z_0\) tel que \(P(Z \leq z_0) = 0{,}9332\),
  • \(d > 0\) tel que \(P(|Z| \leq d) = 0{,}95\).

4. (3 pts) Expliquer pourquoi \(\mathbb{E}(Z) = 0\) à partir de la forme de la densité de \(\mathcal{N}(0,1)\) (sans calcul d’intégrale). Donner également \(\mathrm{Var}(Z)\).

Partie B — Loi normale générale (15 points)

La production quotidienne (en kg) d’une machine suit une loi \(\mathcal{N}(200,\, 100)\).

5. (1 pt) Donner \(\mathbb{E}(X)\) et \(\sigma_X\).

6. (5 pts) Calculer :

  • \(P(X \leq 215)\),
  • \(P(185 \leq X \leq 210)\).

7. (3 pts) Déterminer le seuil \(s\) tel que \(P(X > s) = 0{,}025\).

8. (6 pts) On prélève \(n = 4\) mesures indépendantes \(X_1, X_2, X_3, X_4\) de même loi \(\mathcal{N}(200,\, 100)\). On note \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\) la production totale.

  • Donner la loi de \(S\) (paramètres inclus).
  • Calculer \(P(S \leq 830)\).

Partie C — Identification des paramètres (8 points)

La masse (en grammes) d’un produit alimentaire suit une loi \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\). On sait que :

  • 93,32 % des produits pèsent moins de 530 grammes,
  • 15,87 % des produits pèsent moins de 470 grammes.

9. (8 pts) En traduisant chacune de ces conditions en termes de \(\Phi\), former un système de deux équations en \(m\) et \(\sigma\), puis déterminer \(m\) et \(\sigma\).