Statistiques descriptives a une variable

Published

March 5, 2026

Modified

March 5, 2026

Abstract

Ce chapitre presente les bases de la statistique descriptive univariee, avec l’objectif de decrire rigoureusement une population a partir d’un seul caractere. On introduit d’abord le vocabulaire (population, individu, variable, modalite), puis les outils de synthese pour les series discretes (effectifs, frequences, cumuls, mode). Le chapitre traite ensuite le cas des series continues regroupees en classes, en expliquant l’usage correct de l’histogramme (densites) et de la fonction de repartition. Les indicateurs de position et de dispersion sont ensuite developpes : mediane, quartiles, intervalle interquartile, moyenne, variance, ecart-type, avec les formules pratiques (dont Konig-Huygens) et les transformations affines. Le chapitre se termine par une synthese methodologique complete pour mener une etude statistique de bout en bout.

Dans tout ce chapitre, on etudie une serie statistique a une variable observee sur une population finie.

I - Vocabulaire de base

Definitions
  • La population \(P\) est l’ensemble des individus etudies.
  • Les individus (ou unites statistiques) sont les elements de \(P\).
  • Le caractere (ou variable) est une application \[x : P \to E,\] ou \(E\) est l’ensemble des modalites.
  • Le couple \((P,x)\) est une serie statistique (ou distribution statistique).
Types de variables
  • Qualitative : les modalites ne sont pas numeriques.
    • nominale : sans ordre naturel,
    • ordinale : avec ordre naturel.
  • Quantitative : les modalites sont numeriques.
    • discrete : ensemble de valeurs fini ou denombrable,
    • continue : ensemble de valeurs de type intervalle.

Dans ce chapitre, on se concentre sur les variables quantitatives (discretes puis continues en classes).

Exemple 1 - Identifier la nature d’un caractere

Pour chaque situation, preciser la population, le caractere et le type du caractere.

  1. Metier des adultes d’un groupe de skieurs.
  2. Age des participants a un concours.
  3. Taille des etudiants d’un amphitheatre.
  1. Metier : variable qualitative nominale.
  2. Age : variable quantitative discrete (si age en annees entieres) ou continue (si mesure exacte).
  3. Taille : variable quantitative continue.

II - Distribution discrete finie

Soit une variable quantitative discrete \(x\) prenant les valeurs distinctes \[x_1 < x_2 < \cdots < x_r.\] On note \(n\) l’effectif total, \(n_i\) l’effectif de \(x_i\), et \[f_i = \frac{n_i}{n}\] sa frequence.

Definitions - Cumuls et mode
  • Effectif cumule croissant (E.C.C.) : \[N_i^+ = \sum_{k=1}^i n_k.\]
  • Frequence cumulee croissante (F.C.C.) : \[F_i^+ = \sum_{k=1}^i f_k = \frac{N_i^+}{n}.\]
  • Mode : toute modalite d’effectif maximal.

Le diagramme de reference pour une serie discrete est le diagramme en batons.

Exemple 2 - Tableau statistique complet

Une etude porte sur le nombre d’enfants par foyer. Les resultats observes sont :

Valeur \(x_i\) 0 1 2 3 4 Total
Effectif \(n_i\) 18 34 40 20 8 120
  1. Calculer les frequences \(f_i\).
  2. Calculer les E.C.C. et F.C.C.
  3. Determiner la frequence de foyers ayant au plus 2 enfants.
  4. Donner le (ou les) mode(s).
  • \(f_i = n_i/120\).
  • E.C.C. : \(18, 52, 92, 112, 120\).
  • F.C.C. : \(0{,}15, 0{,}433, 0{,}767, 0{,}933, 1\).
  • Frequence de foyers avec au plus 2 enfants : \(F_2^+ = 92/120 \approx 0{,}767\).
  • Mode : valeur 2 (effectif maximal 40).

III - Distribution continue en classes

Quand les donnees sont nombreuses et presque toutes distinctes, on regroupe les observations en classes \[[a_i, a_{i+1}[, \quad i=1,\dots,r.\]

Definitions - Classes

Pour la classe \([a_i,a_{i+1}[\) :

  • amplitude : \[A_i = a_{i+1}-a_i,\]
  • centre : \[c_i = \frac{a_i+a_{i+1}}{2},\]
  • effectif : \(n_i\), frequence : \(f_i = n_i/n\),
  • densite de frequence : \[d_i = \frac{f_i}{A_i}.\]

1. Histogramme

Dans un histogramme correct, la surface de chaque rectangle est proportionnelle a la frequence de classe. Donc la hauteur doit etre proportionnelle a la densite \(d_i\) (et non a \(f_i\) si les amplitudes sont differentes).

Point cle

Si les amplitudes sont differentes, comparer seulement les hauteurs des barres peut induire en erreur. La grandeur pertinente est la surface (hauteur x largeur).

Exemple 3 - Densites et hauteurs corrigees

On considere la distribution suivante :

Classe \([30,40[\) \([40,45[\) \([45,50[\) \([50,65[\) Total
Effectif \(n_i\) 11 7 5 2 25
  1. Calculer les frequences \(f_i\).
  2. Calculer les amplitudes \(A_i\).
  3. Calculer les densites \(d_i = f_i/A_i\).
  • \(f_i = (0{,}44, 0{,}28, 0{,}20, 0{,}08)\).
  • \(A_i = (10, 5, 5, 15)\).
  • \(d_i = (0{,}044, 0{,}056, 0{,}040, 0{,}0053)\).

La deuxieme classe est plus dense que la premiere, bien qu’elle ait un effectif inferieur.

2. Fonction de repartition empirique en classes

Sous l’hypothese d’equirepartition dans chaque classe, la fonction de repartition \(F\) est :

  • croissante,
  • continue,
  • affine par morceaux,
  • telle que \(F(a_i)\) vaut la frequence cumulee au bord \(a_i\).

Pour \(x\in[a_i,a_{i+1}[\), on obtient \(F(x)\) par interpolation lineaire : \[ F(x)=F(a_i)+\frac{F(a_{i+1})-F(a_i)}{a_{i+1}-a_i}(x-a_i). \]

Exemple 4 - Lecture de repartition

Avec la distribution de l’exemple 3, calculer \(F(42)\).

  • \(42\in[40,45[\).
  • \(F(40)=0{,}44\) et \(F(45)=0{,}72\).
  • Donc \[ F(42)=0{,}44+\frac{0{,}72-0{,}44}{5}(2)=0{,}552. \]

IV - Mediane, quartiles et dispersion

Definitions
  • La mediane est une valeur qui partage la population en deux moities (50 % / 50 %).
  • Les quartiles \(Q_1, Q_2, Q_3\) partagent en quatre parts de 25 %.
  • On a \(Q_2 =\) mediane.
  • L’ecart interquartile vaut \[IQR = Q_3-Q_1,\] et mesure la dispersion centrale.

Pour les series continues en classes, on determine les quantiles par lecture de la fonction de repartition (interpolation lineaire).

Exemple 5 - Quantiles d’une serie discrete

Soit la serie :

Valeur \(x_i\) 5 10 15 20 Total
Effectif \(n_i\) 11 7 5 3 26

Determiner la mediane, \(Q_1\), \(Q_3\) et l’ecart interquartile.

Rangs cumules : - valeur 5 : rangs 1 a 11, - valeur 10 : rangs 12 a 18, - valeur 15 : rangs 19 a 23, - valeur 20 : rangs 24 a 26.

Donc : - mediane (entre rangs 13 et 14) = 10, - \(Q_1\) (autour du rang 7) = 5, - \(Q_3\) (autour du rang 20) = 15, - \(IQR = 15-5=10\).

V - Moyenne, variance, ecart-type

Soit une serie quantitative discrete :

Valeur \(x_1\) \(x_2\) … \(x_r\)
Effectif \(n_1\) \(n_2\) … \(n_r\)
Frequence \(f_1\) \(f_2\) … \(f_r\)

avec \(\sum n_i=n\) et \(\sum f_i=1\).

Definitions - Indicateurs numeriques
  • Moyenne : \[\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^r n_i x_i = \sum_{i=1}^r f_i x_i.\]
  • Variance : \[\mathrm{Var}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^r n_i(x_i-\bar x)^2.\]
  • Ecart-type : \[\sigma(x)=\sqrt{\mathrm{Var}(x)}.\]
Formule de Konig-Huygens

\[ \mathrm{Var}(x)=\overline{x^2}-(\bar x)^2 \quad\text{avec}\quad \overline{x^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^r n_i x_i^2. \]

Pour une serie en classes, on applique les memes formules en remplacant \(x_i\) par les centres \(c_i\).

Interpretation
  • La moyenne est un indicateur de position.
  • La variance et l’ecart-type sont des indicateurs de dispersion.
  • La moyenne est sensible aux valeurs extremes, contrairement a la mediane.
Exemple 6 - Calcul numerique complet

Soit la serie en classes :

Classe \([0,2[\) \([2,4[\) \([4,6[\)
Effectif \(n_i\) 9 6 5

Calculer la moyenne, la variance et l’ecart-type en utilisant les centres de classes.

Centres : \(c_1=1\), \(c_2=3\), \(c_3=5\) ; effectif total \(n=20\).

Moyenne : \[ \bar x=\frac{9\cdot1+6\cdot3+5\cdot5}{20}=\frac{52}{20}=2{,}6. \]

Moyenne des carres : \[ \overline{x^2}=\frac{9\cdot1^2+6\cdot3^2+5\cdot5^2}{20}=\frac{188}{20}=9{,}4. \]

Variance : \[ \mathrm{Var}(x)=9{,}4-2{,}6^2=2{,}64. \]

Ecart-type : \[ \sigma(x)=\sqrt{2{,}64}\approx 1{,}625. \]

VI - Transformations affines

Propriete (admise)

Pour \(y=ax+b\) avec \(a\ne 0\):

  • moyenne : \[\bar y = a\bar x + b,\]
  • variance : \[\mathrm{Var}(y)=a^2\mathrm{Var}(x),\]
  • ecart-type : \[\sigma(y)=|a|\sigma(x).\]

La translation (ajout de \(b\)) deplace le centre mais ne change pas la dispersion ; le facteur \(a\) dilate/contracte l’echelle.

Exemple 7 - Changement d’unite

Une serie de salaires a pour moyenne 37 000 et ecart-type 700 (euros). On definit \[ Y=\frac{X-35\,000}{1\,000}. \] Determiner \(E(Y)\), \(\mathrm{Var}(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

Ici \(a=1/1000\) et \(b=-35\).

\[ E(Y)=\frac{37\,000-35\,000}{1\,000}=2, \] \[ \sigma(Y)=\frac{700}{1\,000}=0{,}7, \qquad \mathrm{Var}(Y)=0{,}49. \]

VII - Methode de synthese (a retenir)

Procedure recommandee pour une etude univariee
  1. Identifier la population, la variable et son type.
  2. Construire le tableau statistique (effectifs, frequences, cumuls).
  3. Choisir une representation adaptee :
    • batons pour discret,
    • histogramme en densites pour classes.
  4. Calculer les indicateurs de position : mode, mediane, quartiles, moyenne.
  5. Calculer les indicateurs de dispersion : IQR, variance, ecart-type.
  6. Interpreter les resultats dans le contexte (asymetrie, valeurs extremes, stabilite).

Cette demarche permet de passer des donnees brutes a une lecture quantitative robuste, utile avant toute phase d’inference statistique.