Feuille d’exercices — Lois à densité

Partie I — Intégrales généralisées

Exercice 1

Calculer chacune des intégrales suivantes. Préciser pour chacune la méthode utilisée (intégration par parties, changement de variable, etc.).

  1. \(\displaystyle I = \int_0^1 x\ln(x)\,dx\)

  2. \(\displaystyle J = \int_0^{+\infty} x^3 e^{-2x^2}\,dx\)

  3. \(\displaystyle K = \int_1^{+\infty} \frac{2}{3x^2+x}\,dx\) (on pourra utiliser le changement de variable \(u = \tfrac{1}{x}\))

a. On pose \(u = \ln(x)\) et \(dv = x\,dx\), d’où \(du = \frac{dx}{x}\) et \(v = \frac{x^2}{2}\).

\[I = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = 0 - \int_0^1\frac{x}{2}\,dx = -\left[\frac{x^2}{4}\right]_0^1 = -\frac{1}{4}.\]

(On vérifie que \(\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0\) par croissance comparée.)

b. On pose \(u = x^2\), d’où \(du = 2x\,dx\). Alors \(x^3\,dx = \frac{u}{2}\,du\).

\[J = \int_0^{+\infty} \frac{u}{2}e^{-2u}\,du.\]

Par intégration par parties (\(p = u\), \(dq = e^{-2u}du\)) :

\[J = \frac{1}{2}\left(\left[-\frac{u}{2}e^{-2u}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}\frac{1}{2}e^{-2u}\,du\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{8}.\]

c. Changement de variable \(u = \frac{1}{x}\) : \(x = \frac{1}{u}\), \(dx = -\frac{1}{u^2}du\). Quand \(x = 1\), \(u = 1\) ; quand \(x\to+\infty\), \(u\to 0^+\). On a \(3x^2+x = \frac{3+u}{u^2}\), donc :

\[K = \int_0^1 \frac{2u}{3+u}\,du = 2\int_0^1\left(1 - \frac{3}{3+u}\right)du = 2\Big[u - 3\ln(3+u)\Big]_0^1 = 2 + 6\ln\!\tfrac{3}{4}.\]

Partie II — Densités de probabilité et fonctions de répartition

Exercice 2

Vérifier que chacune de ces fonctions est une fonction de répartition d’une v.a.r. \(X\), déterminer si \(X\) est discrète ou absolument continue, et donner sa loi.

a) \[F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ \tfrac{1}{4} & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \tfrac{3}{4} & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}\]

b) \[F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{x-1}{4} & \text{si } 1 \leq x \leq 5 \\ 1 & \text{si } x > 5 \end{cases}\]

a. \(F\) est croissante, continue à droite, avec \(\lim_{-\infty} F = 0\) et \(\lim_{+\infty} F = 1\) : c’est bien une fonction de répartition. Elle n’est pas continue (sauts en \(x=0\), \(x=1\) et \(x=2\)), donc \(X\) est discrète. La hauteur des sauts donne les probabilités :

\[P(X=0) = \frac{1}{4},\quad P(X=1) = \frac{1}{2},\quad P(X=2) = \frac{1}{4}.\]

b. \(F\) est croissante, continue sur \(\mathbb{R}\), nulle à \(-\infty\) et égale à 1 à \(+\infty\) : c’est une fonction de répartition. Elle est continue et dérivable sur \(]1;5[\), donc \(X\) est absolument continue. On dérive :

\[f(x) = F'(x) = \frac{1}{4}\,\mathbf{1}_{[1;5]}(x).\]

On reconnaît \(X \sim \mathcal{U}([1;5])\).

Exercice 3

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < -1 \text{ ou } x > 1 \\ x+1 & \text{si } -1 \leq x < 0 \\ -x+1 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \end{cases}\]

  1. Montrer que \(f\) est une densité de probabilité et déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).
  2. Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
  3. Déterminer \(P(|X| > 0{,}5)\).

1. \(f \geq 0\) par construction. On vérifie \(\int_\mathbb{R} f = 1\) :

\[\int_{-1}^0 (x+1)\,dx + \int_0^1 (-x+1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.\]

Fonction de répartition :

  • \(x < -1\) : \(F(x) = 0\).
  • \(-1 \leq x < 0\) : \(F(x) = \dfrac{(x+1)^2}{2}\).
  • \(0 \leq x \leq 1\) : \(F(x) = 1 - \dfrac{(x-1)^2}{2}\).
  • \(x > 1\) : \(F(x) = 1\).

2. Par symétrie de \(f\) autour de 0 : \(\mathbb{E}(X) = 0\).

\[\mathbb{E}(X^2) = 2\int_0^1 x^2(-x+1)\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{6}.\]

Donc \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{1}{6}\).

3. \(P(|X| > 0{,}5) = 1 - (F(0{,}5) - F(-0{,}5)) = 1 - \left(\frac{7}{8} - \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{4}.\)

Exercice 4

Soit \(f(x) = k(1-x^4)\,\mathbf{1}_{[-1;\,1]}(x)\).

  1. Déterminer \(k\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité d’une v.a.r. \(X\).
  2. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
  3. Calculer \(P(-0{,}5 < X < 2)\) et \(P(|X| < 0{,}1)\).
  4. Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).

1. \(\int_{-1}^1 k(1-x^4)\,dx = k\cdot\frac{8}{5} = 1 \implies k = \dfrac{5}{8}.\)

2. Pour \(-1 \leq x \leq 1\) :

\[F(x) = \frac{5x - x^5 + 4}{8}.\]

\[F(x) = \begin{cases} 0 & x < -1 \\ \dfrac{5x - x^5 + 4}{8} & -1 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases}\]

3. \(P(-0{,}5 < X < 2) = F(1) - F(-0{,}5) = 1 - \frac{5(-0{,}5)-(-0{,}5)^5+4}{8} \approx 0{,}810.\)

\(P(|X| < 0{,}1) = F(0{,}1) - F(-0{,}1) \approx \frac{1}{8} = 0{,}125.\)

4. Par symétrie : \(\mathbb{E}(X) = 0\). \(\mathbb{E}(X^2) = \dfrac{5}{4}\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{7}\right]_0^1 = \dfrac{5}{21}\). Donc \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{5}{21}.\)

Partie III — Lois classiques

Exercice 5 — Loi uniforme

Soit \(X \sim \mathcal{U}([2\,;\,8])\).

  1. Calculer \(P(X \geq 3)\) et \(P(X < 4)\).
  2. Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\) en retrouvant les formules par le calcul.
  3. Soient \(Y = \dfrac{X-5}{3}\) et \(Z = X^2\). Déterminer les lois de \(Y\) et \(Z\).

1. La densité est \(f(x) = \frac{1}{6}\,\mathbf{1}_{[2;8]}(x)\).

\(P(X \geq 3) = \frac{8-3}{6} = \dfrac{5}{6}\). \(\quad P(X < 4) = \frac{4-2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

2. \(\mathbb{E}(X) = \int_2^8 \frac{x}{6}\,dx = 5 = \frac{2+8}{2}\) ✓.

\(\mathbb{E}(X^2) = \frac{1}{6}\cdot\frac{8^3-2^3}{3} = 28\). Donc \(\mathrm{Var}(X) = 28 - 25 = 3 = \frac{36}{12}\) ✓.

3. \(Y = \frac{X-5}{3}\) : quand \(X \in [2;8]\), \(Y \in [-1;1]\). Donc \(Y \sim \mathcal{U}([-1;1])\).

\(Z = X^2\), \(Z \in [4;64]\) : \(F_Z(z) = \frac{\sqrt{z}-2}{6}\) pour \(z \in [4;64]\), donc \(f_Z(z) = \dfrac{1}{12\sqrt{z}}\,\mathbf{1}_{[4;64]}(z)\).

Exercice 6 — Transformation de la loi uniforme

Soit \(\lambda > 0\) et \(X \sim \mathcal{U}([0;1])\). Déterminer la loi de \(Y = \dfrac{-\ln(X)}{\lambda}\).

\(X\) prend ses valeurs dans \(]0;1]\), donc \(Y \geq 0\). Pour \(y \geq 0\) :

\[F_Y(y) = P\!\left(-\frac{\ln X}{\lambda} \leq y\right) = P(X \geq e^{-\lambda y}) = 1 - e^{-\lambda y}.\]

On reconnaît \(\boxed{Y \sim \mathcal{E}(\lambda)}\).

Exercice 7 — Modélisation par une loi exponentielle

Un marchand de jouets modélise par une loi exponentielle le temps \(T\) (en semaines) qu’un jouet reste en boutique.

  1. Sachant qu’un jouet a 50 % de chances d’être vendu dans les quatre premières semaines, déterminer le paramètre \(\lambda\).
  2. Calculer la probabilité qu’un jouet reste entre cinq et six semaines en boutique.
  3. En moyenne, combien de temps un jouet reste-t-il en boutique ? Calculer l’écart-type.

1. \(P(T \leq 4) = 1 - e^{-4\lambda} = 0{,}5 \implies \lambda = \dfrac{\ln 2}{4} \approx 0{,}173\) semaine\(^{-1}\).

2. \(P(5 \leq T \leq 6) = e^{-5\lambda} - e^{-6\lambda} = 2^{-5/4} - 2^{-6/4} \approx 12{,}3\%\).

3. \(\mathbb{E}(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{4}{\ln 2} \approx 5{,}77\) semaines. Écart-type : \(\sigma(T) = \dfrac{1}{\lambda} \approx 5{,}77\) semaines (égal à la moyenne : propriété remarquable de la loi exponentielle).

Exercice 8 — Calculs avec la loi exponentielle

Soit \(X \sim \mathcal{E}(2)\).

  1. Calculer \(P(X \geq 1)\), \(P(X < 2)\) et \(P(-2 \leq X < 7)\).
  2. On pose \(Y = 2X\). Déterminer la loi de \(Y\).

1. \(F_X(x) = 1 - e^{-2x}\) pour \(x \geq 0\), \(F_X(x) = 0\) sinon.

  • \(P(X \geq 1) = e^{-2} \approx 0{,}135\).
  • \(P(X < 2) = 1 - e^{-4} \approx 0{,}982\).
  • \(P(-2 \leq X < 7) = F_X(7) - F_X(-2) = 1 - e^{-14} \approx 1\).

2. \(F_Y(y) = P(2X \leq y) = 1 - e^{-y}\) pour \(y \geq 0\). Donc \(Y \sim \mathcal{E}(1)\).

Partie IV — Espérance, variance et propriété sans mémoire

Exercice 9 — Propriété sans mémoire de la loi exponentielle

Soit \(\lambda > 0\) et \(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\).

  1. Exprimer en fonction de \(\lambda\) : (a) \(P(1 \leq X < 3)\), (b) \(P(X \geq t)\) pour \(t \in \mathbb{R}\).
  2. Montrer que pour tout \(t > 0\) et \(s > 0\) : \[P_{X \geq s}(X \geq t+s) = P(X \geq t).\] On dit que la loi exponentielle est sans mémoire.
  3. Soit \(Y = aX + b\) avec \(a > 0\) et \(b \in \mathbb{R}\). Déterminer la loi de \(Y\).

1a. \(P(1 \leq X < 3) = e^{-\lambda} - e^{-3\lambda}\).

1b. \(P(X \geq t) = e^{-\lambda t}\) pour \(t > 0\) ; \(P(X \geq t) = 1\) pour \(t \leq 0\).

2. \(P_{X \geq s}(X \geq t+s) = \dfrac{P(X \geq t+s)}{P(X \geq s)} = \dfrac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X \geq t).\)

Sachant que l’événement ne s’est pas encore produit à l’instant \(s\), le temps restant suit encore la même loi \(\mathcal{E}(\lambda)\).

3. Pour \(y > b\) : \(F_Y(y) = P(X \leq \frac{y-b}{a}) = 1 - e^{-\lambda(y-b)/a}\). Si \(b=0\), \(Y \sim \mathcal{E}(\lambda/a)\) ; sinon, \(Y\) suit une loi exponentielle décalée de paramètre \(\lambda/a\) et de seuil \(b\).

Exercice 10 — Variable aléatoire à queue lourde

Soit \(f(x) = \dfrac{\alpha^2}{2}e^{\alpha x}\,\mathbf{1}_{\mathbb{R}_-}(x)\).

  1. Déterminer \(\alpha > 0\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité d’une v.a.r. \(X\).
  2. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
  3. Calculer \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
  4. Soit \(Z = X^2\). Déterminer la fonction de répartition et la densité de \(Z\).

1. \(\int_{-\infty}^0 \frac{\alpha^2}{2}e^{\alpha x}\,dx = \frac{\alpha^2}{2}\cdot\frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha}{2} = 1 \implies \alpha = 2.\)

2. \(F_X(x) = e^{2x}\) pour \(x \leq 0\) ; \(F_X(x) = 1\) pour \(x > 0\).

3. Par IPP : \(\mathbb{E}(X) = -\dfrac{1}{2}\). \(\mathbb{E}(X^2) = \dfrac{1}{2}\). \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\).

4. \(Z = X^2 \geq 0\). Puisque \(X \leq 0\), \(X^2 \leq z \Leftrightarrow X \in [-\sqrt{z};0]\).

\[F_Z(z) = F_X(0) - F_X(-\sqrt{z}) = 1 - e^{-2\sqrt{z}}\quad(z \geq 0).\]

\[f_Z(z) = \frac{e^{-2\sqrt{z}}}{\sqrt{z}}\,\mathbf{1}_{[0;+\infty[}(z).\]

Partie V — Lois remarquables (approfondissement)

Exercice 11 — Loi de Rayleigh

Soit \(f(x) = kx\,e^{-x^2/4}\,\mathbf{1}_{[0;+\infty[}(x)\), avec \(k \in \mathbb{R}\).

  1. Déterminer \(k\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité.
  2. Donner la fonction de répartition de \(X\).
  3. Calculer \(P(1 \leq X \leq 2)\).
  4. Soit \(Y = X^2\). Déterminer la loi de \(Y\) (donner sa densité). Que remarque-t-on ? En déduire \(\mathbb{E}(Y)\) sans calcul.

1. Changement de variable \(u = x^2/4\) : \(\int_0^{+\infty} kx\,e^{-x^2/4}\,dx = 2k = 1 \implies k = \dfrac{1}{2}\).

2. \(F_X(x) = 1 - e^{-x^2/4}\) pour \(x \geq 0\).

3. \(P(1 \leq X \leq 2) = e^{-1/4} - e^{-1} \approx 0{,}411\).

4. \(F_Y(y) = P(X \leq \sqrt{y}) = 1 - e^{-y/4}\) : la densité est \(f_Y(y) = \frac{1}{4}e^{-y/4}\,\mathbf{1}_{[0;+\infty[}(y)\).

On reconnaît \(Y \sim \mathcal{E}(1/4)\), donc \(\mathbb{E}(Y) = 4\).

Exercice 12 — Loi de Pareto

Soient \(r > 0\) et \(k > 0\). On définit \(f(x) = \dfrac{kr^k}{x^{k+1}}\,\mathbf{1}_{[r;+\infty[}(x)\).

  1. Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
  2. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).
  3. Pour quelles valeurs de \(k\), \(X\) est-elle intégrable ? Exprimer \(\mathbb{E}(X)\).
  4. Pour quelles valeurs de \(k\), \(X\) est-elle de carré intégrable ? Exprimer \(\mathrm{Var}(X)\).
  5. Déterminer le revenu médian (i.e. \(m\) tel que \(P(X \leq m) = 0{,}5\)) en fonction de \(r\) et \(k\).

1. \(f \geq 0\) et \(\int_r^{+\infty}\frac{kr^k}{x^{k+1}}\,dx = 1\) ✓.

2. \(F_X(x) = 1 - \left(\dfrac{r}{x}\right)^k\) pour \(x \geq r\).

3. \(X\) intégrable ssi \(k > 1\) : \(\mathbb{E}(X) = \dfrac{kr}{k-1}\).

4. \(X\) de carré intégrable ssi \(k > 2\) : \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{kr^2}{(k-1)^2(k-2)}\).

5. \(1-(r/m)^k = 1/2 \implies m = r\cdot 2^{1/k}\).

Exercice 13 — Loi de Cauchy

Soit \(f(x) = \dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{1}{1+x^2}\) et \(X\) une v.a.r. de densité \(f\).

  1. Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
  2. Montrer que \(X\) n’admet pas d’espérance.
  3. Soit \(Y = \dfrac{1}{X}\). Montrer que \(Y\) suit également une loi de Cauchy.

1. \(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{\pi(1+x^2)} = \frac{1}{\pi}[\arctan x]_{-\infty}^{+\infty} = 1\) ✓.

2. \(\int_{-\infty}^{+\infty}|x|\cdot\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{\pi}[\ln(1+x^2)]_0^{+\infty} = +\infty\).

L’intégrale diverge : \(X\) n’est pas intégrable.

3. On calcule la densité de \(Y = 1/X\) via la méthode de la fonction de répartition, puis en dérivant. On obtient \(f_Y(y) = \dfrac{1}{\pi(1+y^2)}\) : \(Y\) suit la même loi de Cauchy.