Dérivée d’une fonction bivariée et Élasticité partielle

En économie, en marketing ou en finance, de nombreuses fonctions dépendent de plusieurs variables. Une fonction bivariée associe à chaque couple \((x,y)\) une valeur réelle notée \(f(x,y)\).

Objectifs

  1. Dériver une fonction bivariée :
    • cas simple (sans interaction) ;
    • cas avec interaction.
  2. Calculer les dérivées secondes.
  3. Calculer et interpréter les élasticités partielles.

Partie 1 - Cas simple (sans interaction)

Exemple 1

Les ventes \(V\) d’un produit dépendent du prix \(x\) et des dépenses publicitaires \(y\) :

\[ V=f(x,y)=-ax+by, \quad a>0, \; b>0 \tag{1}\]

Alors :

\[ f_x(x,y)=-a, \qquad f_y(x,y)=b \]

Exemple 2

Le profit total \(\pi\) d’une entreprise dépend des quantités produites \(x\) (bien 1) et \(y\) (bien 2) :

\[ \pi=f(x,y)=50x-10x^2+40y-5y^2 \]

Les dérivées partielles sont :

\[ f_x(x,y)=50-20x, \qquad f_y(x,y)=40-10y \]

Important

Dans le cas sans interaction, \(f(x,y)=f_1(x)+f_2(y)\) et chaque dérivée partielle dépend uniquement de sa variable.

Partie 2 - Cas avec interaction

Considérons une fonction de production de type Cobb-Douglas :

\[ P=f(x,y)=a\,x^{0.5}y^{0.5}, \quad a>0 \]

Ici, il y a interaction entre \(x\) et \(y\) : l’effet marginal de \(x\) dépend de la valeur de \(y\) (et inversement).

\[ f_x(x,y)=0.5a\,x^{-0.5}y^{0.5}, \qquad f_y(x,y)=0.5a\,x^{0.5}y^{-0.5} \]

Partie 3 - Dérivées secondes

Pour une fonction \(f(x,y)\) :

\[ H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \]

Les dérivées secondes servent à l’optimisation bivariée (classification des points critiques via la hessienne).

Partie 4 - Élasticités partielles

L’élasticité partielle de \(f\) par rapport à \(x\) est :

\[ E_x(x,y)=f_x(x,y)\cdot\frac{x}{f(x,y)} \]

Par rapport à \(y\) :

\[ E_y(x,y)=f_y(x,y)\cdot\frac{y}{f(x,y)} \]

Exemple de demande

On considère :

\[ D(p,R)=200-2p+0.5R \]

Alors :

\[ D_p=-2, \qquad D_R=0.5 \]

et

\[ E_p(p,R)=\frac{-2p}{200-2p+0.5R}, \qquad E_R(p,R)=\frac{0.5R}{200-2p+0.5R} \]

Valeurs typiques (issues du support) :

Élasticité-prix \(E_p\) \(R=100\) \(R=500\) \(R=1000\)
\(p=20\) -0.19 -0.10 -0.06
\(p=50\) -0.67 -0.29 -0.17
\(p=80\) -1.78 -0.55 -0.30
Élasticité-revenu \(E_R\) \(p=20\) \(p=50\) \(p=80\)
\(R=100\) 0.24 0.33 0.56
\(R=500\) 0.61 0.71 0.86
\(R=1000\) 0.76 0.83 0.93

Interprétation économique :

  • \(E_p<0\) : quand le prix augmente, la demande baisse ;
  • en valeur absolue, \(|E_p|\) augmente souvent avec le prix (à revenu fixe) ;
  • \(E_R>0\) : la demande augmente avec le revenu ;
  • à prix fixe, \(E_R\) augmente avec le revenu dans cet exemple.

Exercices

  1. Calculer \(f_x\) et \(f_y\) pour \(f(x,y)=x^2-y^3+2x\).
  2. Calculer les dérivées partielles au point \((1,2)\) pour \(g(x,y)=4x^2y-3y^2\).
  3. Calculer les dérivées premières et secondes de \(h(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)\).
  4. Pour \(Q(K,L)=L^{0.6}K^{0.4}\), calculer l’élasticité de \(Q\) par rapport à \(L\) puis à \(K\).