Optimisation d’une fonction univariée

Ressource complémentaire

  • https://web.stanford.edu/group/sisl/k12/optimization/MO-unit1-pdfs/1.1optimization.pdf

Introduction

Ce module approfondit l’étude des fonctions d’une variable réelle en introduisant la dérivée seconde et son rôle central dans l’optimisation (recherche de maxima et minima).

Objectifs

  • Calculer et interpréter la dérivée seconde
  • Déterminer les points critiques d’une fonction
  • Identifier la nature des extrema (minimum / maximum)

Partie 1 - Dérivée seconde d’une fonction univariée

Définition

La dérivée seconde d’une fonction \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de la dérivée première :

\[ f''(x)=(f'(x))' \]

Exemples

Exemple 1

Soit \(f(x)=x^2\).

\[ f'(x)=2x \quad \text{et} \quad f''(x)=2 \]

Exemple 2

Soit \(f(x)=\frac{1}{x}\).

\[ f'(x)=-\frac{1}{x^2}, \quad f''(x)=\frac{2}{x^3} \]

Exemple 3

Soit \(f(x)=e^{2x^2+3x}\).

\[ f'(x)=(4x+3)e^{2x^2+3x} \]

\[ f''(x)=\left(4+(4x+3)^2\right)e^{2x^2+3x} \]

Partie 2 - Optimisation d’une fonction univariée

Points critiques

Un point critique \(x_0\) vérifie :

\[ f'(x_0)=0 \]

Le point \((x_0,f(x_0))\) est alors un candidat à l’optimum.

Exemples

  • \(f(x)=x^2 \Rightarrow x_0=0\)
  • \(f(x)=\frac{1}{x}\) : aucun point critique
  • \(f(x)=e^{2x^2+3x} \Rightarrow x_0=-\frac{3}{4}\)

Nature des points critiques

On étudie le signe de la dérivée seconde :

  • Si \(f''(x_0)>0\) : minimum local
  • Si \(f''(x_0)<0\) : maximum local

Exemple

Soit \(f(x)=x^2\).

\[ f''(0)=2>0 \Rightarrow f \text{ admet un minimum local en } x=0 \]

Exercices

  1. Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\) :
    • déterminer les points critiques ;
    • conclure sur leur nature.
  2. Soit \(f(x)=xe^{-x^2}\) :
    • déterminer les points critiques ;
    • conclure sur les extrema locaux.
  3. Soit \(C(x)=\frac{x^2}{2}+20x+200\) :
    • calculer le coût moyen \(CM(x)=\frac{C(x)}{x}\) ;
    • déterminer le niveau de production qui minimise \(CM(x)\).
  4. Calculer \(f'\) et \(f''\) (avec domaine) pour :
    • \(f(x)=x^4+5x^3-2x^2\)
    • \(g(x)=5\ln(x)+5x-2\)
    • \(h(x)=5e^x+7x^2-2\)
  5. Calculer \(f'\) et \(f''\) (avec domaine) pour :
    • \(f(x)=x^5+3x^2\)
    • \(g(x)=-\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^2}-x\)
    • \(h(x)=\frac{x+5}{x^2+x}\)

Conclusion

L’optimisation des fonctions univariées repose sur l’étude des dérivées première et seconde, outils essentiels pour l’analyse économique et la prise de décision rationnelle.