Examen intermédiaire
Une entreprise de streaming musical envisage de lancer une offre premium au prix mensuel \(p\) (en euros, €).
Les analyses marketing prévoient que la demande mensuelle (en milliers d’abonnés) suit la fonction :
\[ Q(p) = 600 - 20p \]
Et le coût total mensuel (en milliers d’euros) est donné par :
\[ C(p) = 1000 + 5Q(p) \]
Le chiffre d’affaires est :
\[ R(p) = p \times Q(p) \]
Finalement, le profit est :
\[ \pi(p) = R(p) - C(p) \]
Énoncé
Une entreprise de streaming musical lance une offre premium au prix mensuel \(p\) (en EUR).
La demande mensuelle (en milliers d’abonnés) est :
\[ Q(p)=600-20p \]
Le coût total mensuel (en milliers d’EUR) est :
\[ C(p)=1000+5Q(p) \]
Le chiffre d’affaires est :
\[ R(p)=pQ(p) \]
Le profit est :
\[ \pi(p)=R(p)-C(p) \]
Correction - Partie 1 (chiffre d’affaires)
1) Expression de \(R(p)\)
\[ R(p)=p(600-20p)=600p-20p^2 \]
2) Dérivée de \(R\)
\[ R'(p)=600-40p \]
3) Prix optimal pour maximiser \(R\)
\[ R'(p)=0 \Longleftrightarrow 600-40p=0 \Longleftrightarrow p_0=15 \]
\[ R''(p)=-40<0 \]
Donc \(p_0=15\) donne un maximum de chiffre d’affaires.
4) Valeurs de \(R(10)\), \(R(15)\), \(R(20)\)
\[ R(10)=4000,\quad R(15)=4500,\quad R(20)=4000 \]
Le CA augmente jusqu’a \(p=15\) puis diminue.
5) Élasticité de \(R\) en \(p=10\)
\[ E_R(p)=R'(p)\frac{p}{R(p)} \]
Pour \(p=10\) :
\[ E_R(10)=\left(600-40\cdot 10\right)\frac{10}{4000}=0.5 \]
Donc le CA est inélastique à ce point.
Correction - Partie 2 (profit)
1) Expression de \(\pi(p)\)
\[ \pi(p)=(600p-20p^2)-\left(1000+5(600-20p)\right) \]
\[ \pi(p)=-20p^2+700p-4000 \]
2) Resolution de \(\pi'(p)=0\)
\[ \pi'(p)=-40p+700 \]
\[ \pi'(p)=0 \Longleftrightarrow p_0=17.5 \]
3) Nature du point critique
\[ \pi''(p)=-40<0 \]
Donc \(p_0=17.5\) est un maximum.
4) Profit maximal
\[ \pi(17.5)=2125 \]
5) Si le prix depasse le prix optimal
Le profit diminue : la fonction est une parabole concave (coefficient de \(p^2\) négatif) et son sommet est atteint en \(p_0=17.5\).