Élasticité d’une fonction univariée

Définition

L’élasticité de \(f\) par rapport à \(x\) est définie par :

\[ E(x)=f'(x)\times\frac{x}{f(x)} \]

Pour une fonction de demande \(D(p)\), on utilise souvent :

\[ \varepsilon(p)=\frac{D'(p)\,p}{D(p)} \]

Propriétés

L’élasticité :

• est une fonction du point d’évaluation (en général non constante) ;
• s’interprète comme une variation relative de la fonction pour 1% de variation de la variable ;
• est sans unité.

Interprétation économique

• \(|E(x)|>1\) : variable élastique
• \(|E(x)|=1\) : élasticité unitaire
• \(|E(x)|<1\) : variable inélastique
• \(E(x)=0\) : parfaitement inélastique
• \(|E(x)| \to \infty\) : parfaitement élastique

Dans le cas de la demande-prix, l’élasticité est en général négative : une hausse du prix entraîne une baisse de la demande.

Exemple introductif (demande)

La demande \(D(p)\) dépend du prix \(p\).

• A \(p=20\) EUR : +1% sur \(p\) implique environ -0,25% sur \(D\)
• A \(p=80\) EUR : +1% sur \(p\) implique environ -4% sur \(D\)

La demande est donc plus sensible au prix lorsque le prix est élevé.

Exemple comparé : deux demandes affines

On considère :

\[ D_1(p)=200-2p, \qquad D_2(p)=200-p \]

Alors :

\[ E_1(p)=\frac{-2p}{200-2p}, \qquad E_2(p)=\frac{-p}{200-p} \]

Les deux demandes décroissent avec le prix, mais \(D_1\) est plus sensible au prix que \(D_2\) (en valeur absolue, \(|E_1(p)|>|E_2(p)|\) pour un même \(p\)).

Exercice

Soit :

\[ D(p)=100p^{-2} \]

1. Calculer \(D'(p)\).
2. Calculer l’élasticité de la demande par rapport au prix.
3. Conclure sur la sensibilité de la demande pour \(p=5\), \(p=20\) et \(p=80\).

Ressource

https://www.investopedia.com/terms/e/elastic.asp