Module 5 - Introduction à la recherche opérationnelle

Introduction à la recherche opérationnelle

La recherche opérationnelle regroupe des méthodes mathématiques permettant d’aider à la prise de décision dans des situations complexes.

Objectifs

  • Modéliser des problèmes réels
  • Résoudre des modèles avec des techniques adaptées
  • Interpréter les résultats dans le contexte de décision

Les trois étapes clés

  1. Modéliser le problème réel
  2. Résoudre le modèle mathématique
  3. Interpréter la solution

Partie 1 - Modélisation et résolution graphique

Questions fondamentales

  • Quelles sont les variables de décision ?
  • Quelles sont les contraintes ?
  • Quel est l’objectif à optimiser ?

Exemple sans contraintes

Une entreprise fabrique deux produits \(A\) et \(B\) :

  • bénéfice unitaire : 40 EUR pour \(A\), 30 EUR pour \(B\) ;
  • variables : \(x\) (unités de \(A\)), \(y\) (unités de \(B\)) ;
  • objectif : \(\max Z(x,y)=40x+30y\).

Sans contraintes, il n’existe pas de solution optimale finie.

Exemple avec contraintes

Contraintes de production :

\[ \begin{cases} 2x+y \leq 100 \\ x+y \leq 80 \\ x \geq 0,\; y \geq 0 \end{cases} \]

Objectif :

\[ \max Z(x,y)=40x+30y \]

Méthode graphique

  1. Tracer les droites des contraintes.
  2. Déterminer la zone admissible.
  3. Identifier les sommets.
  4. Évaluer \(Z\) sur les sommets.
  5. Choisir le meilleur sommet.

Sommets :

\[ (0,0),\; (0,80),\; (20,60),\; (50,0) \]

Évaluation :

\[ \begin{aligned} Z(0,0)&=0 \\ Z(0,80)&=2400 \\ Z(20,60)&=2600 \\ Z(50,0)&=2000 \end{aligned} \]

Le maximum est atteint en \((20,60)\).

Interprétation : produire 20 unités de \(A\) et 60 unités de \(B\) donne un bénéfice maximal de 2600 EUR.

Exercices d’entraînement

Exercice 1 - Budget publicitaire

Objectif :

\[ \max Z(x,y)=700x+320y \]

Contraintes :

\[ \begin{cases} 1000x+500y \leq 10000 \\ x \leq 8 \\ x \geq 0,\; y \geq 0 \end{cases} \]

Exercice 2 - Politique municipale

Objectif :

\[ \max Z(x,y)=40x+18y \]

Contraintes :

\[ \begin{cases} 1000x+500y \leq 8000 \\ x \leq 4 \\ y \geq 6 \\ x \geq 0,\; y \geq 0 \end{cases} \]

Partie 2 - Exercices d’application (complements du support)

Exercice 3 - Allocation projets (start-up)

Variables :

  • \(I\) : nombre de projets d’innovation
  • \(C\) : nombre de projets commerciaux

Objectif :

\[ \max Z(I,C)=120I+90C \]

Contraintes :

\[ \begin{cases} 100I+60C \leq 600 \\ 5I+3C \leq 30 \\ I \leq 5 \\ I \geq 0,\; C \geq 0 \end{cases} \]

Exercice 4 - Planification commerciale avec synergie

Variables :

  • \(x\) : visites clients existants
  • \(y\) : visites prospects

Objectif (avec synergie) :

\[ \max Z(x,y)=9x+12y+0.5xy \]

Contraintes :

\[ \begin{cases} 1.5x+2y \leq 63 \\ 30x+50y \leq 1260 \\ x \geq 0.4(x+y) \\ x \leq 30,\; y \leq 25 \\ x \geq 0,\; y \geq 0 \end{cases} \]

Exercice 5 - Transport de deux produits

Variables :

  • \(x\) : tonnes de produit \(A\)
  • \(y\) : tonnes de produit \(B\)

Objectif :

\[ \min C(x,y)=40x+60y \]

Contraintes :

\[ \begin{cases} 2x+4y=80 \\ x+y \leq 30 \\ x \geq 0,\; y \geq 0 \end{cases} \]

Conclusion

La recherche opérationnelle transforme des problèmes réels en modèles quantitatifs exploitables pour prendre des décisions rationnelles et argumentees.