Optimisation d’une fonction bivariée

Introduction

Ce module introduit les outils matriciels nécessaires à l’optimisation des fonctions bivariées.

Objectifs du module :

• Comprendre les notions de matrices
• Introduire la matrice hessienne et le déterminant
• Étudier l’optimisation des fonctions bivariées

Partie 1 - Matrices

Définition

Une matrice \(A\) est un tableau rectangulaire de nombres.

• Taille \(n \times p\) : \(n\) lignes et \(p\) colonnes
• Le coefficient situe à la ligne \(i\) et la colonne \(j\) est note \(a_{i,j}\)

Exemples

\[ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]

\(A\) est une matrice de taille \(3 \times 2\).

\[ B=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\end{pmatrix} \]

Matrice ligne (vecteur ligne).

\[ C= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \]

Matrice colonne (vecteur colonne).

Matrices particulières

• Matrice carree : même nombre de lignes et de colonnes
• Matrice diagonale : coefficients hors diagonale nuls
• Matrice identite : matrice diagonale avec des 1 sur la diagonale

Exemple de matrice identite :

\[ I_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Matrice hessienne

Pour une fonction \(f(x,y)\), la matrice hessienne est définie par :

\[ H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \]

Exemple

Soit \(f(x,y)=2x^2+3y^2\).

\[ H_f(x,y)= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \]

Déterminant

Pour une matrice \(2 \times 2\) :

\[ A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

Le déterminant est :

\[ \det(A)=ad-bc \]

Partie 2 - Optimisation

Recherche des extrema locaux

Étape 1 - Points critiques

Les points critiques sont les solutions du système :

\[ \begin{cases} f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0 \end{cases} \]

Étape 2 - Hessienne

On calcule le déterminant de la matrice hessienne \(H_f(x,y)\).

Étape 3 - Nature du point critique

Soit \((a,b)\) un point critique :

• \(\det(H_f(a,b))>0\) et \(f_{xx}(a,b)>0\) : minimum local
• \(\det(H_f(a,b))>0\) et \(f_{xx}(a,b)<0\) : maximum local
• \(\det(H_f(a,b))<0\) : point selle
• \(\det(H_f(a,b))=0\) : indétermination

Exemple

Soit \(f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2\).

• Point critique : \((1,2)\)
• \(H_f=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\)
• \(\det(H_f)=4>0\) et \(f_{xx}(1,2)=2>0\)

Donc \(f\) admet un minimum local en \((1,2)\).

Exercices

1. \(f(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2\)
2. \(g(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)\)
3. Déterminer la hessienne et son déterminant pour \(h(x,y)=x^2+4xy-\frac{3}{2}y^2\).
4. Pour chacune des matrices suivantes, préciser le type et calculer le déterminant lorsque c’est possible :
   • \(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)
   • \(\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)
   • \(\begin{pmatrix}0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\)