Séance de révisions
Cette séance reprend les notions centrales des modules 1 à 5 sur un cas intégrateur en deux parties.
Énoncé
Une entreprise prépare le lancement d’une offre payante. On note \(p\), le prix (en euros) et \(A\), le budget publicitaire (en euros).
On admet les modélisations suivantes :
- la demande hebdomadaire en unités par semaines est définie par :
\[ Q(p,A)=100-2p+2\sqrt{A}, \quad A\ge 0,\; p\ge 0,\; Q(p,A)\ge 0 \]
- Le coût total de production (en euros) est modélisé par :
\[ C(p,A) = 30Q(p,A) + A \]
- Le profit (en euros) est modélisé par :
\[ \pi(p,A)=pQ(p,A)-C(p,A) \]
Partie 1 - Optimisation du profit avec demande bivariée
1. Calculer les dérivées partielles premières de la demande hebdomadaire.
On dérive \(Q(p,A)=100-2p+2\sqrt{A}\) par rapport à chaque variable en traitant l’autre comme une constante.
Par rapport à \(p\) : les termes \(100\) et \(2\sqrt{A}\) sont des constantes vis-à-vis de \(p\), seul \(-2p\) contribue :
\[ Q_p = \frac{\partial}{\partial p}(100-2p+2\sqrt{A}) = -2 \]
Par rapport à \(A\) : les termes \(100\) et \(-2p\) sont constants, et \(\frac{\partial}{\partial A}(2\sqrt{A}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{A}} = \frac{1}{\sqrt{A}}\) :
\[ Q_A = \frac{\partial}{\partial A}(100-2p+2\sqrt{A}) = \frac{1}{\sqrt{A}} \quad (A>0) \]
2. Calculer les élasticités partielles de la demande
L’élasticité partielle d’une fonction \(f(x,y)\) par rapport à \(x\) est \(E_x = f_x \cdot \frac{x}{f}\). On applique cette formule à \(Q\) avec les dérivées calculées à la question précédente.
Élasticité-prix : on substitue \(Q_p = -2\) et \(Q = 100-2p+2\sqrt{A}\) :
\[ E_p=Q_p\cdot\frac{p}{Q} = -2 \cdot \frac{p}{100-2p+2\sqrt{A}} =\frac{-2p}{100-2p+2\sqrt{A}}<0 \]
Le signe négatif traduit la loi de la demande : une hausse de prix réduit la demande.
Élasticité-publicité : on substitue \(Q_A = \frac{1}{\sqrt{A}}\) et on simplifie \(\frac{A}{\sqrt{A}} = \sqrt{A}\) :
\[ E_A=Q_A\cdot\frac{A}{Q} = \frac{1}{\sqrt{A}} \cdot \frac{A}{100-2p+2\sqrt{A}} =\frac{\sqrt{A}}{100-2p+2\sqrt{A}}>0 \]
Le signe positif confirme qu’investir en publicité stimule la demande.
Interprétation : une hausse de prix réduit la demande, une hausse de publicité l’augmente.
3. Calculer les dérivées partielles premières du profit
On simplifie d’abord \(\pi\) pour faciliter la dérivation. En substituant \(C = 30Q + A\) :
\[ \pi = pQ - C = pQ - 30Q - A = (p-30)Q - A \]
Dérivée par rapport à \(p\) : on applique la règle du produit à \((p-30)Q(p,A)\). Ici \(A\) est constant donc \(\frac{\partial A}{\partial p} = 0\) :
\[ \pi_p = \frac{\partial}{\partial p}\bigl[(p-30)Q\bigr] - 0 = \underbrace{1}_{(p-30)'} \cdot Q + (p-30) \cdot \underbrace{Q_p}_{-2} = Q - 2(p-30) \]
On substitue \(Q = 100 - 2p + 2\sqrt{A}\) et on développe :
\[ \pi_p = (100-2p+2\sqrt{A}) - 2(p-30) = 100-2p+2\sqrt{A}-2p+60 = 160+2\sqrt{A}-4p \]
Dérivée par rapport à \(A\) : \(p\) est constant donc \((p-30)\) est une constante, et \(\frac{\partial A}{\partial A} = 1\) :
\[ \pi_A = (p-30)\cdot Q_A - 1 = (p-30)\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}-1 =\frac{p-30}{\sqrt{A}}-1 \]
4. Calculer les dérivées partielles secondes du profit
On dérive à nouveau les expressions obtenues à la question 3.
\(\pi_{pp}\) : on dérive \(\pi_p = 160 + 2\sqrt{A} - 4p\) par rapport à \(p\) (\(A\) est constant) :
\[ \pi_{pp} = \frac{\partial}{\partial p}(160+2\sqrt{A}-4p) = -4 \]
\(\pi_{pA}\) : on dérive \(\pi_p = 160 + 2\sqrt{A} - 4p\) par rapport à \(A\) (\(p\) est constant) :
\[ \pi_{pA} = \frac{\partial}{\partial A}(160+2\sqrt{A}-4p) = \frac{1}{\sqrt{A}} \]
(On vérifie que \(\pi_{Ap} = \frac{\partial}{\partial p}\!\left(\frac{p-30}{\sqrt{A}}-1\right) = \frac{1}{\sqrt{A}}\) : les dérivées croisées sont bien égales, théorème de Schwarz.)
\(\pi_{AA}\) : on dérive \(\pi_A = \frac{p-30}{\sqrt{A}} - 1 = (p-30)A^{-1/2} - 1\) par rapport à \(A\) (\(p\) est constant) :
\[ \pi_{AA} = (p-30)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)A^{-3/2} =-\frac{p-30}{2A^{3/2}} \]
5. Recherche des extrema du profit
Étape 1 : recherche des points critiques
Un point critique vérifie \(\pi_p = 0\) et \(\pi_A = 0\) simultanément :
\[ \begin{cases} 160+2\sqrt{A}-4p=0\\ \frac{p-30}{\sqrt{A}}-1=0 \end{cases} \]
Résolution : de la seconde équation on tire \(p - 30 = \sqrt{A}\), soit \(p = 30 + \sqrt{A}\).
On substitue dans la première équation :
\[ 160 + 2\sqrt{A} - 4(30+\sqrt{A}) = 0 \;\Rightarrow\; 160 + 2\sqrt{A} - 120 - 4\sqrt{A} = 0 \;\Rightarrow\; 40 - 2\sqrt{A} = 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{A} = 20 \;\Rightarrow\; A_0 = 400 \]
On en déduit \(p_0 = 30 + 20 = 50\).
La solution critique est :
\[ (p_0,A_0)=(50,400) \]
Étape 2 : calcul du déterminant de la matrice hessienne
La matrice hessienne rassemble les dérivées partielles secondes. On évalue chaque entrée en \((p_0, A_0)=(50, 400)\) :
- \(\pi_{pp}(50,400) = -4\)
- \(\pi_{pA}(50,400) = \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20}\)
- \(\pi_{AA}(50,400) = -\frac{50-30}{2 \cdot 400^{3/2}} = -\frac{20}{2 \times 8000} = -\frac{1}{800}\)
Hessienne au point critique :
\[ H_\pi(50,400)= \begin{pmatrix} -4 & \frac{1}{20}\\ \frac{1}{20} & -\frac{1}{800} \end{pmatrix} \]
Le déterminant se calcule comme \(ad - bc\) pour une matrice \(2\times 2\) :
\[ \det(H_\pi)=(-4)\times\left(-\frac{1}{800}\right)-\frac{1}{20}\times\frac{1}{20} =\frac{4}{800}-\frac{1}{400} =\frac{1}{200}-\frac{1}{400} =\frac{1}{400}>0 \]
On a aussi \(\pi_{pp}(50,400)=-4<0\).
Étape 3 : nature des points critiques
Le critère de la hessienne pour une fonction de deux variables indique :
- si \(\det(H) > 0\) et \(\pi_{pp} < 0\) → maximum local
- si \(\det(H) > 0\) et \(\pi_{pp} > 0\) → minimum local
- si \(\det(H) < 0\) → point-selle (ni max ni min)
Ici \(\det(H_\pi) = \frac{1}{400} > 0\) et \(\pi_{pp}(50,400) = -4 < 0\), donc \(\pi\) admet un maximum local en \((50,400)\).
Partie 2 - Programmation linéaire
Énoncé
Soient :
- \(x\) : les unités vendues par semaine
- \(y\) : le nombre de publicités par semaine
Nous avons les contraintes suivantes :
- le nombre d’unités vendues par semaine ne peut excéder \(600\) unités
- le budget publicitaire est plafonné à \(60\)€
- une unité de publicité peut augmenter jusqu’à 10 fois les ventes, soit \(x ≤ 10y\).
Sachant que l’on réalise 15€ de bénéfice par unité vendue et que le coût d’une publicité coûte 1€, déterminer le bénéfice maximal réalisé ?
Modélisation
- Variables
- \(x\) : unités vendues par semaine
- \(y\) : nombre de publicités par semaine
- Contraintes
\[ \begin{cases} x\le 600 \\ y\le 60 \\ x\le 10y \\ x\ge 0,\; y\ge 0 \end{cases} \]
- Objectif : maximiser le bénéfice
\[ \max Z(x,y)=15x-y \]
Résolution
Représentation des contraintes
Identification des sommets
En programmation linéaire, l’optimum est toujours atteint en un sommet (vertex) du domaine admissible. Les sommets se trouvent aux intersections des frontières des contraintes.
Le domaine est délimité par trois contraintes actives : \(x = 600\), \(y = 60\) et \(x = 10y\). On cherche les intersections pertinentes :
- \(S_1\) : intersection de \(x = 0\) et \(y = 0\) → \((0,\,0)\)
- \(S_2\) : intersection de \(x = 0\) et \(y = 60\) → \((0,\,60)\)
- \(S_3\) : intersection de \(x = 600\) et \(y = 60\) → \((600,\,60)\)
(vérification : \(600 \le 10 \times 60 = 600\) ✓)
\[ S_1=(0,0),\quad S_2=(0,60),\quad S_3=(600,60) \]
Évaluation de la fonction objectif aux sommets
On calcule \(Z(x,y) = 15x - y\) en chaque sommet :
- \(Z(S_1) = 15 \times 0 - 0 = 0\)
- \(Z(S_2) = 15 \times 0 - 60 = -60\)
- \(Z(S_3) = 15 \times 600 - 60 = 9000 - 60 = 8940\)
\[ Z(0,0)=0,\quad Z(0,60)=-60,\quad Z(600,60)=8940 \]
Choix optimal
La valeur maximale est \(8940\), atteinte en \(S_3\). Le sommet \(S_2\) donne même un bénéfice négatif (le coût des publicités dépasse le gain nul en ventes), et \(S_1\) correspond à l’inaction totale.
\[ (x^*,y^*)=(600,60),\qquad Z_{\max}=8940 \]
Interprétation : vendre 600 unités et financer 60 publicités maximise le bénéfice sous les contraintes du problème.