Correction — Examen (Sujet 3) · Statistiques et Probabilités

Statistiques descriptives · Variables aléatoires à densité · Loi normale

Date de publication

18 février 2026

Modifié

25 mars 2026

Résumé

Corrigé détaillé de l’examen (sujet 3).

Barème indicatif : Exercice 1 — 30 pts · Exercice 2 — 35 pts · Exercice 3 — 35 pts

Exercice 1 — Statistiques descriptives (30 points)

Partie A — Série discrète (18 points)

1. (3 pts) Tableau complété.

Les fréquences valent \(f_i = n_i / 40\) ; les effectifs cumulés croissants \(N_i^+ = \sum_{j \leq i} n_j\) et les fréquences cumulées \(F_i^+ = N_i^+ / 40\).

\(x_i\) 0 1 2 3 4 Total
\(n_i\) 5 8 12 10 5 40
\(f_i\) 0,125 0,200 0,300 0,250 0,125 1
\(N_i^+\) 5 13 25 35 40
\(F_i^+\) 0,125 0,325 0,625 0,875 1,000

2. (5 pts) Mode, médiane, quartiles, écart interquartile.

Mode. La valeur de \(x_i\) dont l’effectif est le plus élevé est \(x = 2\) (avec \(n_2 = 12\)). Le mode est \(\boxed{Mo = 2.}\)

On travaille avec la série ordonnée de \(n = 40\) valeurs.

Médiane. Les 20ᵉ et 21ᵉ valeurs déterminent la médiane. Or \(N_1^+ = 13 < 20\) et \(N_2^+ = 25 \geq 21\), donc ces deux valeurs sont égales à 2 : \[\boxed{Me = 2.}\]

Premier quartile \(Q_1\). La position \(n/4 = 10\) conduit à prendre la 10ᵉ valeur. \(N_0^+ = 5 < 10 \leq N_1^+ = 13\), d’où \(\boxed{Q_1 = 1.}\)

Troisième quartile \(Q_3\). La position \(3n/4 = 30\) conduit à prendre la 30ᵉ valeur. \(N_2^+ = 25 < 30 \leq N_3^+ = 35\), d’où \(\boxed{Q_3 = 3.}\)

Écart interquartile : \[\boxed{\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 = 3 - 1 = 2.}\]

3. (6 pts) Moyenne, moyenne des carrés, variance, écart-type.

Moyenne : \[\bar{x} = \frac{1}{40}\sum n_i x_i = \frac{0 \times 5 + 1 \times 8 + 2 \times 12 + 3 \times 10 + 4 \times 5}{40} = \frac{82}{40} = \boxed{2{,}05.}\]

Moyenne des carrés : \[\overline{x^2} = \frac{1}{40}\sum n_i x_i^2 = \frac{0 + 8 + 48 + 90 + 80}{40} = \frac{226}{40} = \boxed{5{,}65.}\]

Variance (König-Huygens) : \[\mathrm{Var}(x) = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 5{,}65 - 2{,}05^2 = 5{,}65 - 4{,}2025 = \boxed{1{,}4475.}\]

Écart-type : \[\sigma(x) = \sqrt{1{,}4475} \approx \boxed{1{,}203.}\]

4. (4 pts) Transformation \(Y = 2X + 3\).

Pour \(Y = aX + b\) avec \(a = 2\), \(b = 3\) :

\[\bar{y} = a\,\bar{x} + b = 2 \times 2{,}05 + 3 = \boxed{7{,}10.}\]

\[\mathrm{Var}(Y) = a^2\,\mathrm{Var}(X) = 4 \times 1{,}4475 = \boxed{5{,}79.}\]

\[\sigma(Y) = |a|\,\sigma(X) = 2 \times 1{,}203 \approx \boxed{2{,}406.}\]

Partie B — Série continue en classes (12 points)

5. (6 pts) Fréquences, amplitudes, densités de fréquence.

Temps (s) \([0\,;\,1[\) \([1\,;\,3[\) \([3\,;\,6[\) \([6\,;\,10[\)
\(n_i\) 10 20 15 5
\(f_i\) 0,200 0,400 0,300 0,100
\(A_i\) 1 2 3 4
\(d_i\) 0,200 0,200 0,100 0,025

Justification : dans un histogramme, c’est l’aire de chaque rectangle (\(h_i \times A_i\)) qui doit représenter la fréquence. Pour que l’aire soit égale à \(f_i\), il faut prendre \(h_i = f_i / A_i = d_i\).

6. (6 pts) Médiane, moyenne et variance.

Fréquences cumulées croissantes :

Borne sup. 1 3 6 10
\(F_i^+\) 0,200 0,600 0,900 1,000

Médiane. \(F(1) = 0{,}200 < 0{,}50\) et \(F(3) = 0{,}600 \geq 0{,}50\). La médiane se trouve dans \([1\,;\,3[\).

\[Me = 1 + \frac{0{,}50 - 0{,}200}{0{,}600 - 0{,}200} \times 2 = 1 + \frac{0{,}30}{0{,}40} \times 2 = 1 + 1{,}5 = \boxed{2{,}5.}\]

Les centres de classe sont \(c_1 = 0{,}5\), \(c_2 = 2\), \(c_3 = 4{,}5\), \(c_4 = 8\).

Moyenne : \[\bar{x} = \frac{0{,}5 \times 10 + 2 \times 20 + 4{,}5 \times 15 + 8 \times 5}{50} = \frac{5 + 40 + 67{,}5 + 40}{50} = \frac{152{,}5}{50} = \boxed{3{,}05.}\]

Moyenne des carrés : \[\overline{x^2} = \frac{0{,}25 \times 10 + 4 \times 20 + 20{,}25 \times 15 + 64 \times 5}{50} = \frac{2{,}5 + 80 + 303{,}75 + 320}{50} = \frac{706{,}25}{50} = 14{,}125.\]

Variance : \[\mathrm{Var}(x) = 14{,}125 - 3{,}05^2 = 14{,}125 - 9{,}3025 = \boxed{4{,}823.}\]

Exercice 2 — Variable aléatoire à densité (35 points)

\[f(x) = \begin{cases} 6\,x\,(1 - x) & \text{si } x \in [0\,;\,1], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]

1. (5 pts) Vérification \(f \geq 0\) et détermination de \(k\).

Sur \([0\,;\,1]\) on a \(x \geq 0\) et \(1 - x \geq 0\), donc \(x(1-x) \geq 0\). Comme \(k > 0\), on conclut \(f(x) = k\,x\,(1-x) \geq 0\).

Pour que \(f\) soit une densité, il faut \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1\), soit : \[k \int_0^1 x(1-x)\,dx = 1.\] On utilise le résultat admis \(\displaystyle\int_0^1 x(1-x)\,dx = \frac{1}{6}\) : \[k \cdot \frac{1}{6} = 1 \implies \boxed{k = 6.}\]

2. (8 pts) Fonction de répartition \(F_X\).

  • Si \(x < 0\) : \(F_X(x) = 0\).
  • Si \(0 \leq x \leq 1\) :

\[F_X(x) = \int_0^x 6\,t\,(1-t)\,dt = 6\int_0^x (t - t^2)\,dt = 6\left[\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}\right]_0^x = 3x^2 - 2x^3.\]

  • Si \(x > 1\) : \(F_X(x) = 1\).

\[\boxed{F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\ 3x^2 - 2x^3 & \text{si } 0 \leq x \leq 1, \\ 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}}\]

3. (4 pts) Vérification \(F_X(1) = 1\) et \(P\!\left(X > \frac{3}{4}\right)\).

\[F_X(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1. \quad\checkmark\]

\[F_X\!\left(\frac{3}{4}\right) = 3 \times \frac{9}{16} - 2 \times \frac{27}{64} = \frac{27}{16} - \frac{54}{64} = \frac{108}{64} - \frac{54}{64} = \frac{54}{64} = \frac{27}{32}.\]

\[\boxed{P\!\left(X > \frac{3}{4}\right) = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32} \approx 0{,}156.}\]

4. (5 pts) Symétrie et \(\mathbb{E}(X)\).

Vérification de la symétrie : \[f\!\left(\tfrac{1}{2}+t\right) = 6\!\left(\tfrac{1}{2}+t\right)\!\left(1-\tfrac{1}{2}-t\right) = 6\!\left(\tfrac{1}{2}+t\right)\!\left(\tfrac{1}{2}-t\right) = 6\!\left(\tfrac{1}{4} - t^2\right).\] \[f\!\left(\tfrac{1}{2}-t\right) = 6\!\left(\tfrac{1}{2}-t\right)\!\left(1-\tfrac{1}{2}+t\right) = 6\!\left(\tfrac{1}{2}-t\right)\!\left(\tfrac{1}{2}+t\right) = 6\!\left(\tfrac{1}{4} - t^2\right).\]

On a bien \(f\!\left(\tfrac{1}{2}+t\right) = f\!\left(\tfrac{1}{2}-t\right)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\). \(\checkmark\)

Espérance : la densité \(f\) est symétrique par rapport à \(x = \frac{1}{2}\), donc le centre de symétrie est l’espérance : \[\boxed{\mathbb{E}(X) = \frac{1}{2}.}\]

5. (8 pts) \(\mathbb{E}(X^2)\) et \(\mathrm{Var}(X)\).

Par le théorème de transfert : \[\mathbb{E}(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 6\,x\,(1-x)\,dx = 6\int_0^1 (x^3 - x^4)\,dx.\]

\[= 6\left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = 6\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) = 6 \cdot \frac{1}{20} = \boxed{\frac{3}{10} = 0{,}3.}\]

Variance par König-Huygens : \[\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^2 = \frac{3}{10} - \left(\frac{1}{2}\right)^{\!2} = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6 - 5}{20} = \boxed{\frac{1}{20} = 0{,}05.}\]

6. (5 pts) Loi exponentielle.

\(T \sim \mathcal{E}(\lambda)\) implique \(P(T > t) = e^{-\lambda t}\) pour \(t \geq 0\). On a : \[P(T > 3) = e^{-3\lambda} = e^{-6} \implies 3\lambda = 6 \implies \boxed{\lambda = 2.}\]

\[\boxed{\mathbb{E}(T) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2} \text{ heure} = 30 \text{ min}.}\]

\[P(T > 1) = e^{-2 \times 1} = \boxed{e^{-2} \approx 0{,}135.}\]

Exercice 3 — Loi normale (35 points)

Partie A — Loi normale centrée réduite (10 points)

\(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de \(Z\).

1. (6 pts) Calculs de probabilités.

  • \(P(Z \leq 1{,}96) = \Phi(1{,}96) = \boxed{0{,}9750.}\)

  • \(P(Z > -0{,}67) = 1 - \Phi(-0{,}67) = \Phi(0{,}67) = \boxed{0{,}7486.}\)

  • \(P(-1{,}50 \leq Z \leq 2{,}33) = \Phi(2{,}33) - \Phi(-1{,}50)\)

    \[= \Phi(2{,}33) - \bigl[1 - \Phi(1{,}50)\bigr] = 0{,}9901 - 1 + 0{,}9332 = \boxed{0{,}9233.}\]

2. (4 pts) Lecture inverse de la table.

  • \(P(Z \leq z_0) = 0{,}8413\). Par lecture directe, \(\Phi(1{,}00) = 0{,}8413\), donc \(\boxed{z_0 = 1{,}00.}\)

  • \(P(|Z| \leq d) = 0{,}98\) avec \(d > 0\). On a \(2\Phi(d) - 1 = 0{,}98\), soit \(\Phi(d) = 0{,}99\). Or \(\Phi(2{,}33) = 0{,}9901 \approx 0{,}99\), d’où : \[\boxed{d \approx 2{,}33.}\]

Partie B — Loi normale générale (17 points)

\(X \sim \mathcal{N}(250,\, 100)\), c’est-à-dire \(\mu = 250\) et \(\sigma^2 = 100\).

3. (1 pt) Paramètres.

\[\boxed{\mathbb{E}(X) = 250, \qquad \sigma_X = 10.}\]

4. (8 pts) Calculs de probabilités et seuil.

On standardise avec \(Z = \dfrac{X - 250}{10}\).

  • \(P(X \leq 265) = P\!\left(Z \leq \dfrac{265 - 250}{10}\right) = \Phi(1{,}50) = \boxed{0{,}9332.}\)

  • \(P(235 \leq X \leq 260) = P\!\left(\dfrac{235 - 250}{10} \leq Z \leq \dfrac{260 - 250}{10}\right) = P(-1{,}50 \leq Z \leq 1{,}00)\)

    \[= \Phi(1{,}00) - \Phi(-1{,}50) = \Phi(1{,}00) - \bigl[1 - \Phi(1{,}50)\bigr] = 0{,}8413 - 0{,}0668 = \boxed{0{,}7745.}\]

Seuil \(s\) : \[P(X > s) = 0{,}025 \iff P(X \leq s) = 0{,}975 \iff \Phi\!\left(\frac{s - 250}{10}\right) = 0{,}975.\]

Or \(\Phi(1{,}96) = 0{,}9750\), d’où : \[\frac{s - 250}{10} = 1{,}96 \implies s = 250 + 10 \times 1{,}96 = \boxed{269{,}6.}\]

5. (8 pts) Somme \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\).

Loi de \(S\) : les \(X_i\) sont indépendantes et de même loi \(\mathcal{N}(250, 100)\). Par stabilité de la loi normale par somme : \[\boxed{S \sim \mathcal{N}(4 \times 250,\; 4 \times 100) = \mathcal{N}(1000,\, 400).}\]

Donc \(\mathbb{E}(S) = 1000\) et \(\sigma_S = 20\).

Calcul de \(P(S > 1030)\) : \[P(S > 1030) = P\!\left(Z > \frac{1030 - 1000}{20}\right) = 1 - \Phi(1{,}50) = 1 - 0{,}9332 = \boxed{0{,}0668.}\]

Partie C — Identification des paramètres (8 points)

6. (8 pts) Détermination de \(m\) et \(\sigma\).

\(X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)\). On standardise \(Z = \dfrac{X - m}{\sigma}\).

Les conditions donnent :

\[P(X < 540) = 0{,}8413 \iff \Phi\!\left(\frac{540 - m}{\sigma}\right) = 0{,}8413.\]

\[P(X < 560) = 0{,}9772 \iff \Phi\!\left(\frac{560 - m}{\sigma}\right) = 0{,}9772.\]

Par lecture inverse de la table de \(\Phi\) :

  • \(\Phi(z) = 0{,}8413 \implies z = 1{,}00\).
  • \(\Phi(z) = 0{,}9772 \implies z = 2{,}00\).

On obtient le système : \[\begin{cases} \dfrac{540 - m}{\sigma} = 1{,}00 \\ \dfrac{560 - m}{\sigma} = 2{,}00 \end{cases} \iff \begin{cases} 540 - m = \sigma & (1) \\ 560 - m = 2\,\sigma & (2) \end{cases}\]

En soustrayant \((1)\) de \((2)\) : \[560 - 540 = 2\,\sigma - \sigma = \sigma \implies \boxed{\sigma = 20.}\]

En reportant dans \((1)\) : \[m = 540 - \sigma = 540 - 20 = \boxed{520.}\]

La durée de vie suit donc la loi \(\mathcal{N}(520,\, 400)\).