Examen (Sujet 3) — Statistiques et Probabilités
Statistiques descriptives · Variables aléatoires à densité · Loi normale
Durée : 1 h 30. Les documents de cours sont interdits. Une table de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) est fournie. Les calculatrices sont autorisées. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats numériques seront arrondis à \(10^{-3}\) près.
Barème indicatif : Exercice 1 — 30 pts · Exercice 2 — 35 pts · Exercice 3 — 35 pts
Exercice 1 — Statistiques descriptives (30 points)
Partie A — Série discrète (18 points)
Un service administratif relève le nombre d’erreurs de saisie par dossier sur 40 dossiers. Les résultats sont :
| Erreurs \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 5 | 8 | 12 | 10 | 5 | 40 |
| Fréquence \(f_i\) | 1 | |||||
| E.C.C. \(N_i^+\) | ||||||
| F.C.C. \(F_i^+\) |
1. (3 pts) Compléter le tableau ci-dessus (fréquences, effectifs cumulés croissants et fréquences cumulées croissantes).
2. (5 pts) Donner le mode, la médiane \(Me\), le premier quartile \(Q_1\), le troisième quartile \(Q_3\), et l’écart interquartile \(\mathrm{IQR}\).
3. (6 pts) Calculer la moyenne \(\bar{x}\), la moyenne des carrés \(\overline{x^2}\), puis la variance \(\mathrm{Var}(x)\) par la formule de König-Huygens et l’écart-type \(\sigma(x)\).
4. (4 pts) On définit la variable \(Y = 2X + 3\). Sans effectuer de nouveaux calculs, donner \(\bar{y}\), \(\mathrm{Var}(Y)\) et \(\sigma(Y)\).
Partie B — Série continue en classes (12 points)
Le temps de réponse (en secondes) d’un site web est mesuré sur 50 requêtes :
| Temps (s) | \([0\,;\,1[\) | \([1\,;\,3[\) | \([3\,;\,6[\) | \([6\,;\,10[\) |
|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 10 | 20 | 15 | 5 |
5. (6 pts) Calculer les fréquences \(f_i\), les amplitudes \(A_i\) et les densités de fréquence \(d_i = f_i / A_i\). Expliquer en une phrase pourquoi on utilise les densités et non les fréquences comme hauteurs d’un histogramme lorsque les classes ont des amplitudes inégales.
6. (6 pts) Déterminer la médiane par interpolation linéaire, puis calculer la moyenne \(\bar{x}\) et la variance \(\mathrm{Var}(x)\) à l’aide des centres de classe.
Exercice 2 — Variable aléatoire à densité (35 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x) = \begin{cases} k\,x\,(1 - x) & \text{si } x \in [0\,;\,1], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]
1. (5 pts) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0\,;\,1]\). On admet que \(\displaystyle\int_0^1 x(1-x)\,dx = \dfrac{1}{6}\). Déterminer \(k > 0\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).
2. (8 pts) Soit \(X\) une v.a.r. de densité \(f\). Déterminer la fonction de répartition \(F_X\) de \(X\) sur \(\mathbb{R}\). On distinguera les cas \(x < 0\), \(0 \leq x \leq 1\), et \(x > 1\).
3. (4 pts) Vérifier que \(F_X(1) = 1\), puis calculer \(P\!\left(X > \dfrac{3}{4}\right)\) en utilisant \(F_X\).
4. (5 pts) On admet que \(f\) est symétrique par rapport à \(x = \frac{1}{2}\), au sens où \(f\!\left(\frac{1}{2}+t\right) = f\!\left(\frac{1}{2}-t\right)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
- Vérifier cette propriété de symétrie.
- En déduire \(\mathbb{E}(X)\) sans calcul d’intégrale.
5. (8 pts) Calculer \(\mathbb{E}(X^2)\) par le théorème de transfert, puis déduire \(\mathrm{Var}(X)\) par la formule de König-Huygens.
6. (5 pts) Soit \(T \sim \mathcal{E}(\lambda)\) la durée (en heures) entre deux pannes d’un système informatique. On observe que \[P(T > 3) = e^{-6}.\] Déterminer \(\lambda\) et \(\mathbb{E}(T)\), puis calculer \(P(T > 1)\).
Exercice 3 — Loi normale (35 points)
Partie A — Loi normale centrée réduite (10 points)
Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). On rappelle : \(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\) et \(P(-a \leq Z \leq a) = 2\Phi(a) - 1\).
1. (6 pts) Calculer les probabilités suivantes :
- \(P(Z \leq 1{,}96)\),
- \(P(Z > -0{,}67)\),
- \(P(-1{,}50 \leq Z \leq 2{,}33)\).
2. (4 pts) Déterminer les réels suivants par lecture inverse de la table :
- \(z_0\) tel que \(P(Z \leq z_0) = 0{,}8413\),
- \(d > 0\) tel que \(P(|Z| \leq d) = 0{,}98\).
Partie B — Loi normale générale (17 points)
La masse (en grammes) d’un sachet de café suit une loi \(\mathcal{N}(250,\, 100)\).
3. (1 pt) Donner \(\mathbb{E}(X)\) et \(\sigma_X\).
4. (8 pts) Calculer :
- \(P(X \leq 265)\),
- \(P(235 \leq X \leq 260)\).
Déterminer le seuil \(s\) tel que \(P(X > s) = 0{,}025\).
5. (8 pts) On prélève \(n = 4\) sachets indépendants \(X_1, X_2, X_3, X_4\) de même loi \(\mathcal{N}(250,\, 100)\). On note \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\) la masse totale.
- Donner la loi de \(S\) (paramètres inclus).
- Calculer \(P(S > 1030)\).
Partie C — Identification des paramètres (8 points)
La durée de vie (en heures) d’un composant électronique suit une loi \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\). On sait que :
- 84,13 % des composants ont une durée de vie inférieure à 540 heures,
- 97,72 % des composants ont une durée de vie inférieure à 560 heures.
6. (8 pts) En traduisant chacune de ces conditions en termes de \(\Phi\), former un système de deux équations en \(m\) et \(\sigma\), puis déterminer \(m\) et \(\sigma\).