Révision — Probabilités et statistiques à deux variables
Cette fiche de révision synthétise les cinq chapitres consacrés aux phénomènes à deux variables dans le cours de probabilités et statistiques : statistiques bivariées, intégrales doubles, loi conjointe d’un couple continu, lois marginales et conditionnelles, puis couples de variables à densité (indépendance, covariance, convolution). Elle met l’accent sur les formules à connaître, les méthodes de calcul et les pièges classiques.
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Cette fiche résume les cinq chapitres de la partie Deux variables. L’objectif est simple : savoir identifier l’objet étudié, choisir la bonne formule et enchaîner les calculs sans confusion.
Vue d’ensemble des 5 chapitres
| Chapitre | À retenir | Réflexe de calcul |
|---|---|---|
| Statistiques bivariées | Tableau de contingence, marginales, conditionnelles, indépendance, test du \(\chi^2\) | Additionner par lignes/colonnes, comparer profils et effectifs théoriques |
| Intégrales sur \(\mathbb{R}^2\) | Tonelli/Fubini, description du domaine, ordre d’intégration | Commencer par dessiner le domaine |
| Loi conjointe d’un couple continu | Densité conjointe \(f(x,y)\), support, probabilités sur une région | Vérifier \(f\ge 0\) et \(\iint f = 1\) |
| Lois marginales | Marginalisation, densités conditionnelles, indépendance | Intégrer selon l’autre variable |
| Couples de variables à densité | Covariance, corrélation, convolution, vision d’ensemble | Passer de la loi conjointe aux grandeurs numériques |
1. Statistiques bivariées
Quand on observe deux caractères sur une même population, l’information centrale est la distribution conjointe :
\[ n_{ij} = \text{effectif du couple } (x_i,y_j), \qquad f_{ij}=\frac{n_{ij}}{n}. \]
On en déduit les marginales :
\[ n_{i\cdot}=\sum_j n_{ij}, \qquad n_{\cdot j}=\sum_i n_{ij}, \qquad f_{i\cdot}=\frac{n_{i\cdot}}{n}, \qquad f_{\cdot j}=\frac{n_{\cdot j}}{n}. \]
Les fréquences conditionnelles mesurent le profil d’une variable quand l’autre est fixée :
\[ f_{y_j\mid x_i}=\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}}, \qquad f_{x_i\mid y_j}=\frac{n_{ij}}{n_{\cdot j}}. \]
- Construire ou compléter le tableau de contingence.
- Calculer les marginales.
- Comparer les distributions conditionnelles.
- Conclure : profils semblables \(\Rightarrow\) possible indépendance ; profils différents \(\Rightarrow\) dépendance probable.
Pour le test du \(\chi^2\) d’indépendance, on compare les effectifs observés \(n_{ij}\) aux effectifs théoriques
\[ e_{ij}=\frac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{n}, \]
et la statistique vaut
\[ \chi^2=\sum_i\sum_j \frac{(n_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}, \qquad \text{ddl}=(p-1)(q-1). \]
2. Intégrales doubles sur \(\mathbb{R}^2\)
En probabilité continue à deux variables, toute probabilité devient une intégrale double sur une région du plan :
\[ P\bigl((X,Y)\in D\bigr)=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy. \]
Les théorèmes de Tonelli/Fubini autorisent le calcul par intégrales successives :
\[ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int \left(\int f(x,y)\,dy\right)dx = \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)dy. \]
Le point clé n’est pas la formule mais la description correcte du domaine \(D\).
- Dessiner le support ou la région demandée.
- Choisir l’ordre d’intégration le plus simple.
- Traduire le domaine par des bornes.
- Intégrer proprement.
Pièges classiques :
- oublier que les bornes intérieures dépendent souvent de la variable extérieure ;
- intégrer sur tout \(\mathbb{R}^2\) alors que la densité est nulle hors du support ;
- ne pas vérifier la normalisation avant de calculer des probabilités.
3. Loi conjointe d’un couple continu
Un couple continu \((X,Y)\) est décrit par une densité conjointe \(f\) telle que :
\[ f(x,y)\ge 0, \qquad \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy=1. \]
La probabilité d’une région \(D\) est :
\[ P\bigl((X,Y)\in D\bigr)=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy. \]
La fonction de répartition conjointe s’écrit :
\[ F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y). \]
En pratique, il faut toujours commencer par identifier le support :
\[ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : f(x,y)>0\}. \]
Le support donne immédiatement :
- où il faut intégrer ;
- quelles valeurs sont impossibles ;
- si l’indépendance est plausible ou non.
4. Lois marginales, conditionnelles et indépendance
À partir de la densité conjointe, on récupère les densités marginales :
\[ f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dx. \]
Puis, si \(f_X(x)>0\), la densité conditionnelle vaut :
\[ f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}. \]
L’idée fondamentale est la suivante :
- la marginale oublie l’autre variable ;
- la conditionnelle garde l’information fournie par l’autre variable.
Deux variables continues sont indépendantes si et seulement si
\[ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \]
sur tout le support.
Un support rectangulaire est une condition nécessaire, mais pas suffisante, pour l’indépendance. La seule preuve fiable est la factorisation de la densité.
5. Covariance, corrélation et convolution
Les grandeurs numériques d’un couple se calculent à partir de la loi conjointe :
\[ E(X)=\iint_{\mathbb{R}^2} x\,f(x,y)\,dx\,dy, \qquad E(Y)=\iint_{\mathbb{R}^2} y\,f(x,y)\,dx\,dy, \]
\[ E(XY)=\iint_{\mathbb{R}^2} xy\,f(x,y)\,dx\,dy. \]
La covariance mesure la liaison linéaire :
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). \]
Le coefficient de corrélation est la version normalisée :
\[ \rho(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}. \]
À connaître absolument :
- indépendance \(\Rightarrow \operatorname{Cov}(X,Y)=0\) ;
- la réciproque est fausse en général ;
- \(\rho\) mesure une liaison linéaire, pas toute forme de dépendance.
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, la densité de la somme \(S=X+Y\) est donnée par la convolution :
\[ f_S(t)=\int_{\mathbb{R}} f_X(x)\,f_Y(t-x)\,dx. \]
Cette formule apparaît dès qu’on demande la loi d’une somme de deux variables continues indépendantes.
Checklist de résolution
- Identifier si le problème est statistique bivarié (tableau) ou probabiliste continu (densité).
- Déterminer le support ou la table conjointe.
- Vérifier les conditions de validité : somme \(=1\) ou intégrale \(=1\).
- Calculer les marginales.
- Si nécessaire, calculer une conditionnelle ou tester l’indépendance.
- Terminer avec la grandeur demandée : probabilité, espérance, covariance, loi d’une somme, statistique du \(\chi^2\).
Erreurs fréquentes à éviter
- confondre marginale et conditionnelle ;
- oublier qu’une probabilité continue sur un point exact vaut \(0\) ;
- conclure trop vite à l’indépendance parce que \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\) ;
- mal décrire le domaine d’intégration ;
- utiliser la convolution sans indépendance.
Formulaire minimal à mémoriser
\[ P\bigl((X,Y)\in D\bigr)=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy \]
\[ f_X(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y)=\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dx \]
\[ f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} \]
\[ X \perp Y \iff f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \]
\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \]
\[ f_{X+Y}(t)=\int_{\mathbb{R}} f_X(x)f_Y(t-x)\,dx \]