Examen Final — Statistiques et Probabilités
Variables aléatoires à densité · Loi normale · Intervalles de confiance
Durée : 3 h. Les documents de cours sont interdits. Une table de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) est fournie. Les calculatrices sont autorisées. Toute réponse doit être justifiée. Les résultats numériques seront arrondis à \(10^{-3}\) près.
Barème indicatif : Exercice 1 — 35 pts · Exercice 2 — 40 pts · Exercice 3 — 25 pts
Exercice 1 — Variable aléatoire à densité (35 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x) = \begin{cases} k\,x\,(4 - x) & \text{si } x \in [0\,;\,4], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]
1. (1 pt) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [0\,;\,4]\).
2. (4 pts) On admet que \(\displaystyle\int_0^4 x(4-x)\,dx = \dfrac{32}{3}\). Déterminer \(k > 0\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).
3. (4 pts) Soit \(X\) une v.a.r. de densité \(f\).
- Justifier que \(P(X = 1) = 0\).
- Calculer \(P(0 \leq X \leq 1)\).
4. (8 pts) Déterminer la fonction de répartition \(F_X\) de \(X\) sur \(\mathbb{R}\). On distinguera les cas \(x < 0\), \(0 \leq x \leq 4\), et \(x > 4\).
5. (2 pts) Vérifier que \(F_X(4) = 1\).
6. (3 pts) Calculer \(P\!\left(X > 3\right)\) en utilisant \(F_X\).
7. (4 pts) On admet que \(f\) est symétrique par rapport à \(x = 2\), au sens où \(f(2+t) = f(2-t)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
- Vérifier cette propriété de symétrie.
- En déduire \(\mathbb{E}(X)\) sans calcul d’intégrale.
8. (6 pts) Calculer \(\mathbb{E}(X^2)\) par le théorème de transfert, puis déduire \(\mathrm{Var}(X)\) par la formule de König-Huygens.
9. (3 pts) Soit \(T \sim \mathcal{E}(\lambda)\) le temps (en heures) entre deux pannes consécutives d’un équipement industriel. On observe que \[P(T > 6) = e^{-2}.\] Déterminer \(\lambda\), puis calculer \(\mathbb{E}(T)\).
Exercice 2 — Loi normale et Théorème Central Limite (40 points)
Partie A — Loi normale centrée réduite (12 points)
Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\). On rappelle : \(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\) et \(P(-a \leq Z \leq a) = 2\Phi(a) - 1\).
1. (4 pts) Calculer les probabilités suivantes :
- \(P(Z \leq 1{,}50)\),
- \(P(Z > -0{,}50)\),
- \(P(-1{,}00 \leq Z \leq 2{,}00)\).
2. (2 pts) Calculer \(P(Z^2 \leq 4)\).
3. (3 pts) Déterminer les réels suivants par lecture inverse de la table :
- \(z_0\) tel que \(P(Z \leq z_0) = 0{,}9938\),
- \(d > 0\) tel que \(P(|Z| \leq d) = 0{,}80\).
4. (3 pts) Expliquer pourquoi \(\mathbb{E}(Z) = 0\) à partir de la forme de la densité de \(\mathcal{N}(0,1)\) (sans calcul d’intégrale). Donner également \(\mathrm{Var}(Z)\).
Partie B — Loi normale générale (15 points)
Une machine produit des tiges métalliques dont la longueur (en mm) suit une loi \(\mathcal{N}(150,\, 16)\).
5. (1 pt) Donner \(\mathbb{E}(X)\) et \(\sigma_X\).
6. (5 pts) Calculer :
- \(P(X \leq 156)\),
- \(P(144 \leq X \leq 154)\).
7. (3 pts) Déterminer le seuil \(s\) tel que \(P(X > s) = 0{,}025\).
8. (6 pts) On prélève \(n = 4\) tiges indépendantes \(X_1, X_2, X_3, X_4\) de même loi \(\mathcal{N}(150,\, 16)\). On note \(S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\) la longueur totale.
- Donner la loi de \(S\) (paramètres inclus).
- Calculer \(P(S \leq 592)\).
Partie C — Identification des paramètres (8 points)
Le score (sur 100 points) obtenu par les étudiants à un test de sélection suit une loi \(\mathcal{N}(m, \sigma^2)\). On sait que :
- 84,13 % des étudiants obtiennent un score inférieur à 85 points,
- 97,72 % des étudiants obtiennent un score inférieur à 95 points.
9. (8 pts) En traduisant chacune de ces conditions en termes de \(\Phi\), former un système de deux équations en \(m\) et \(\sigma\), puis déterminer \(m\) et \(\sigma\).
Partie D — Théorème Central Limite (5 points)
Une machine conditionne des sachets de café. La masse nette \(X\) d’un sachet a pour espérance \(\mu = 250\) g et pour écart-type \(\sigma = 10\) g ; la loi de \(X\) est quelconque. On prélève \(n = 100\) sachets indépendants.
10. (2 pts) En vertu du Théorème Central Limite, donner la loi approximative de la moyenne empirique \(\bar{X}_{100}\). Préciser ses paramètres.
11. (3 pts) Calculer \(P\!\left(|\bar{X}_{100} - 250| \leq 1{,}96\right)\).
Exercice 3 — Intervalles de confiance (25 points)
Partie A — Intervalle de confiance pour une proportion (12 points)
Un service qualité prélève \(n = 400\) composants électroniques et en trouve 80 défectueux.
1. (2 pts) Donner l’estimateur \(\hat{p}\) du taux de défaut \(p\) et calculer sa valeur numérique.
2. (2 pts) Pourquoi, pour \(n\) grand, \(\hat{p}\) suit-il approximativement une loi normale ? Préciser l’espérance et la variance de cette loi approchée.
3. (4 pts) Construire un intervalle de confiance à 95 % pour \(p\). On utilisera \(z_{0{,}025} = 1{,}96\).
4. (4 pts) Quel effectif minimal \(n\) faut-il pour que la demi-largeur de l’IC à 95 % soit au plus \(0{,}02\) ? On conservera \(\hat{p} = 0{,}2\) comme estimation de \(p\).
Partie B — Intervalle de confiance pour une moyenne (13 points)
On mesure la durée de vie (en heures) d’un échantillon de \(n = 36\) piles. On obtient une moyenne empirique \(\bar{x} = 520\) h. On admet que l’écart-type de la population est \(\sigma = 30\) h (connu).
5. (3 pts) En supposant \(X \sim \mathcal{N}(\mu, 900)\), donner la loi exacte de \(\bar{X}_{36}\) et préciser ses paramètres.
6. (4 pts) Construire un intervalle de confiance à 95 % pour \(\mu\).
7. (3 pts) Construire un intervalle de confiance à 99 % pour \(\mu\). On utilisera \(z_{0{,}005} = 2{,}58\).
8. (3 pts) Quel effectif minimal \(n\) permet d’obtenir un IC à 95 % de largeur \(\leq 10\) h ?