Aide-mémoire
Cette feuille ne liste que les formules appliquées que vous invoquerez directement lors de la résolution des problèmes d’examen — environ une à quatre par module. Les propriétés algébriques intermédiaires (règles sur les fractions, lois des puissances, identités remarquables en tant que définitions autonomes) sont traitées dans la section Concepts clés de chaque module et dans le glossaire.
Module 1 — Calculs numériques
Variation en pourcentage
\[ \Delta\% = \frac{V_{\text{final}} - V_{\text{initial}}} {V_{\text{initial}}} \times 100 \]
Mesure la variation relative d’une valeur initiale à une valeur finale. La valeur initiale est toujours la base de référence.
Indice
\[ I = \frac{V_{\text{courante}}}{V_{\text{référence}}} \times 100 \]
Un indice supérieur à 100 indique une hausse par rapport à la période de référence ; un indice inférieur à 100 indique une baisse.
Règle de proportionnalité (règle de trois)
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \;\Longrightarrow\; x = \frac{b \times c}{a} \]
Utilisée pour mettre des quantités à l’échelle proportionnellement lorsque le rapport est connu.
Facteur combiné pour deux variations successives
\[ (1 + t_1)(1 + t_2) \]
Deux variations en pourcentage successives \(t_1\) et \(t_2\) (exprimées en décimal) se multiplient plutôt que s’additionnent. Pour des remises, remplacer \((1+t)\) par \((1-t)\).
Module 2 — Algèbre et équations
Distributivité (développement)
\[ a(b + c) = ab + ac \]
Chaque terme à l’intérieur des parenthèses doit être multiplié par le facteur extérieur.
Quantité au seuil de rentabilité
\[ Q^* = \frac{F}{p - v} \]
\(F\) = charges fixes, \(p\) = prix de vente unitaire, \(v\) = charge variable unitaire. Exige \(p > v\) (marge sur coût variable positive).
Module 3 — Graphiques, systèmes et inéquations
Pente d’une droite passant par deux points
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Une pente positive indique une droite croissante ; négative, décroissante ; nulle, horizontale.
Fonction affine (forme pente-ordonnée)
\[ y = mx + p \]
\(m\) est la pente (taux de variation) ; \(p\) est l’ordonnée à l’origine (valeur lorsque \(x = 0\)).
Intersection de deux fonctions affines
\[ x^* = \frac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}, \qquad y^* = m_1\,x^* + p_1 \]
Valide lorsque \(m_1 \neq m_2\) (droites non parallèles). Modélise le point d’équilibre ou d’indifférence entre deux relations linéaires.
Module 4 — Suites numériques
Suite arithmétique — terme général
\[ u_n = u_0 + n\,d \]
\(u_0\) est le premier terme ; \(d\) est la raison (ajout constant à chaque étape).
Suite arithmétique — somme des \(n+1\) premiers termes
\[ S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} \]
Suite géométrique — terme général
\[ u_n = u_0 \times r^{\,n} \]
\(u_0\) est le premier terme ; \(r\) est la raison (facteur constant à chaque étape).
Suite géométrique — somme des \(n+1\) premiers termes (\(r \neq 1\))
\[ S_n = u_0 \,\frac{1 - r^{\,n+1}}{1 - r} \]
Module 5 — Mathématiques financières
Intérêts simples — valeur acquise
\[ V_s = P\,(1 + i\,n) \]
\(P\) = capital initial, \(i\) = taux d’intérêt par période, \(n\) = nombre de périodes. Les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial à chaque période.
Intérêts composés — valeur acquise
\[ V_c = P\!\left(1 + \frac{i}{k}\right)^{nk} \]
\(k\) = fréquence de capitalisation (par ex. \(k=12\) pour mensuelle). Les intérêts génèrent des intérêts ; l’écart par rapport aux intérêts simples s’accroît avec le temps.
Valeur actuelle (capitalisation annuelle)
\[ P = \frac{V_c}{(1 + i)^n} \]
Le capital initial qui produit une valeur future \(V_c\) au taux \(i\) après \(n\) années. Utilisé pour comparer des flux financiers à différentes dates.
Module 6 — Fonctions
Discriminant d’une équation du second degré
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) : si \(\Delta > 0\), deux racines réelles ; \(\Delta = 0\), une racine double ; \(\Delta < 0\), aucune racine réelle.
Formule quadratique
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
Les racines de \(ax^2 + bx + c = 0\) lorsque \(\Delta \geq 0\).
Relation inverse entre \(\ln\) et \(\exp\)
\[ \ln(e^x) = x, \qquad e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \]
Utilisée pour résoudre des équations avec des inconnues exponentielles ou logarithmiques (par ex. trouver le temps nécessaire pour doubler un capital).
Module 7 — Dérivées et optimisation
Dérivée d’une fonction puissance
\[ (x^n)' = n\,x^{n-1} \]
S’applique à tout exposant réel \(n\). Cas particuliers : \((x^2)' = 2x\), \((x)' = 1\), \((c)' = 0\) pour les constantes.
Linéarité de la dérivée
\[ (af + bg)' = a f' + b g' \]
La dérivée d’une combinaison linéaire est la même combinaison linéaire des dérivées.
Condition nécessaire d’un extremum local
\[ f'(x^*) = 0 \]
En un maximum ou un minimum d’une fonction dérivable, la tangente est horizontale. Pour \(f(x) = ax^2 + bx + c\) : maximum si \(a < 0\), minimum si \(a > 0\).