viewof slope1 = Inputs.range([-5, 5], {
value: 2,
step: 0.5,
label: "Pente de la droite 1 (m₁)"
})
viewof intercept1 = Inputs.range([-10, 10], {
value: 1,
step: 0.5,
label: "Ordonnée à l'origine de la droite 1 (p₁)"
})
viewof slope2 = Inputs.range([-5, 5], {
value: -1,
step: 0.5,
label: "Pente de la droite 2 (m₂)"
})
viewof intercept2 = Inputs.range([-10, 10], {
value: 7,
step: 0.5,
label: "Ordonnée à l'origine de la droite 2 (p₂)"
})3️⃣ Analyse de courbes en économie et gestion
Résumé
Analysez les courbes en économie et gestion à l’aide de la lecture graphique, de l’équation d’une droite et de la résolution de systèmes d’équations et d’inéquations du premier degré, afin de visualiser et d’interpréter des situations de décision, de contrainte et d’équilibre.
Objectifs d’apprentissage
- Lire des informations directement sur un graphique dans le plan cartésien.
- Trouver et interpréter l’équation d’une droite.
- Résoudre des systèmes du premier degré à deux équations (graphiquement et algébriquement).
- Modéliser et résoudre des inéquations et des systèmes d’inéquations du premier degré.
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Activité diagnostique
Répondez à ces trois questions avant de lire le module. L’objectif est de faire ressortir ce que vous savez déjà et de repérer les points auxquels prêter une attention particulière.
1. Lire l’ordonnée à l’origine de la droite \(y = 2x + 3\).
2. Calculer la pente de la droite passant par \((0, 1)\) et \((2, 5)\).
3. La droite \(y = -x + 4\) est-elle croissante ou décroissante ?
Réponses (cliquer pour afficher)
L’ordonnée à l’origine est \(\mathbf{3}\) — le terme constant dans \(y = 2x + 3\).
\(m = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = 2\).
Décroissante, car la pente \(m = -1 < 0\).
Utilisez vos résultats pour identifier les sujets à approfondir.
Problème d’introduction
Deux forfaits téléphoniques sont disponibles : le Forfait A coûte 10 €/mois plus 0,05 € par minute d’appel. Le Forfait B coûte 25 €/mois avec les appels illimités (0,00 € par minute).
À partir de combien de minutes par mois les deux forfaits ont-ils le même coût ? En dessous de ce seuil, lequel est moins cher ?
Notez votre estimation avant de continuer.
Concepts clés
Le plan cartésien
Un plan est une surface plate, bidimensionnelle et illimitée. Dans un plan, on peut représenter, entre autres, des points et des droites. Le plan est muni d’un repère orthonormé composé de deux axes : l’axe horizontal des abscisses (\(x\)) et l’axe vertical des ordonnées (\(y\)). Les deux axes sont perpendiculaires et les graduations sur chaque axe sont équidistantes.
Un point est repéré par un couple de coordonnées \((x, y)\) : son abscisse \(x\) lue sur l’axe horizontal et son ordonnée \(y\) lue sur l’axe vertical.
Utilisations pédagogiques :
- lecture d’informations directement sur un graphique ;
- vérification d’une équation par superposition graphique ;
- illustration d’un équilibre économique ou d’un seuil de rentabilité.
L’équation d’une droite
Une droite (non verticale) a une équation de la forme
\[ y = m x + p, \]
où \(m\) est la pente (taux de variation de \(y\) par rapport à \(x\)) et \(p\) est l’ordonnée à l’origine (l’ordonnée au point où la droite coupe l’axe des \(y\), c’est-à-dire la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\)).
Lire la pente à partir de deux points
Étant donné deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) sur la droite, \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \qquad p = y_A - m\,x_A. \] Une pente positive signifie que la droite monte ; une pente négative qu’elle descend ; une pente nulle donne une droite horizontale.
Exemple résolu — équation d’une droite
Une droite passe par \(A(0, 3)\) et \(B(2, 7)\). Alors \(m = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2\) et, comme \(A\) a pour abscisse \(0\), \(p = 3\). L’équation est \(y = 2x + 3\).
Systèmes d’équations du premier degré
Une équation peut modéliser précisément des relations économiques, financières ou organisationnelles ; elle permet de calculer, d’expliquer, de prévoir ou de trouver des points d’équilibre. Un système de deux équations modélise des choix, des allocations ou des équilibres entre deux variables — par exemple :
- l’équilibre entre l’offre et la demande sur un marché ;
- la répartition des coûts entre deux services ;
- la tarification de deux prestations ;
- la planification de deux activités.
Un système de deux équations du premier degré peut être résolu de deux façons équivalentes : graphiquement ou algébriquement.
Méthode graphique
La solution graphique d’un système de deux équations est le point d’intersection des deux droites associées. Un système a :
- une solution si les droites sont sécantes (se croisent une fois) ;
- aucune solution si les droites sont parallèles et distinctes ;
- une infinité de solutions si les droites sont confondues.
Dérivation — intersection de deux droites par substitution (cliquer)
Considérons deux droites sécantes \(y = m_1 x + p_1\) et \(y = m_2 x + p_2\) avec \(m_1 \neq m_2\). À l’intersection les deux ordonnées sont égales, donc
\[ m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2 \;\Longrightarrow\; (m_1 - m_2)\,x = p_2 - p_1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}. \]
Comme \(m_1 \neq m_2\) le dénominateur est non nul, confirmant une solution unique. L’ordonnée est ensuite obtenue en substituant ce \(x\) dans l’une des droites : \(y = m_1 x + p_1\). Si \(m_1 = m_2\) les droites sont parallèles : aucune solution (si \(p_1 \neq p_2\)) ou une infinité (si \(p_1 = p_2\)).
Exemple résolu — méthode algébrique
Résoudre \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}\).
De la deuxième équation, \(x = y + 1\). En substituant dans la première : \(3(y + 1) + 2y = 12 \Rightarrow 5y + 3 = 12 \Rightarrow y = \dfrac{9}{5}\). Puis \(x = y + 1 = \dfrac{14}{5}\). La solution est \(\left(\dfrac{14}{5}, \dfrac{9}{5}\right)\).
Formule d’intersection
L’intersection de \(y = m_1 x + p_1\) et \(y = m_2 x + p_2\) (avec \(m_1 \neq m_2\)) donne le point où les deux relations sont simultanément satisfaites :
\[ x^* = \frac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}, \quad y^* = m_1 x^* + p_1. \]
Inéquations du premier degré
Une inéquation du premier degré modélise une condition ou une contrainte — par exemple un budget maximal, une capacité de production ou un seuil de rentabilité. Elle se résout comme une équation, avec une règle cruciale.
Règles de résolution d’une inéquation
- Additionner ou soustraire le même nombre des deux membres : le sens est conservé.
- Multiplier ou diviser par un nombre positif : le sens est conservé.
- Multiplier ou diviser par un nombre négatif : le sens est inversé.
Avertissement
Oublier d’inverser le signe d’inégalité lorsque l’on multiplie ou divise par un nombre négatif est l’erreur la plus fréquente.
Graphiquement, la solution d’une inéquation correspond à une région du plan (un demi-plan délimité par la droite). Pour un système d’inéquations, la solution est l’intersection des régions admissibles, qui peut être bornée ou non bornée.
Exemple résolu — résolution d’une inéquation
Résoudre \(-2x + 6 \geq 0\). Soustraire \(6\) : \(-2x \geq -6\). Diviser par \(-2\) et inverser le signe : \(x \leq 3\). La solution est la demi-droite \(]-\infty, 3]\).
Exercice de synthèse — planification logistique
Une entreprise propose deux types de livraison :
- livraison express (coût unitaire : 40 €) ;
- livraison standard (coût unitaire : 20 €).
Chaque semaine, le responsable logistique planifie : un budget maximum de 1 200 € ; pas plus de 25 livraisons express ; et au moins deux fois plus de livraisons standard que de livraisons express. Soient \(x\) le nombre de livraisons express et \(y\) le nombre de livraisons standard.
Questions et solution (cliquer pour développer)
1. Contraintes. \[ 40x + 20y \leq 1200, \qquad x \leq 25, \qquad y \geq 2x, \qquad x \geq 0, \; y \geq 0. \] La contrainte budgétaire se simplifie en \(2x + y \leq 60\).
2. Ensemble des solutions. L’ensemble admissible est l’intersection de ces demi-plans dans le plan — la région satisfaisant toutes les contraintes simultanément.
3. Le point \((20, 45)\) est-il admissible ? Budget : \(40(20) + 20(45) = 800 + 900 = 1700 > 1200\). La contrainte budgétaire est violée, donc la combinaison n’est pas admissible.
4. Si \(x = 10\), alors \(y \geq 2(10) = 20\) et \(2(10) + y \leq 60 \Rightarrow y \leq 40\). Le nombre de livraisons standard se situe donc entre \(\mathbf{20}\) et \(\mathbf{40}\).
Exercices d’entraînement
Exercices (cliquer pour les solutions)
- Tracer \(y = 2x + 3\) et \(y = -x + 5\) et trouver leur intersection. En posant \(2x + 3 = -x + 5\), on obtient \(3x = 2\), \(x = \tfrac{2}{3}\), \(y = \tfrac{13}{3}\).
- Résoudre \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}\) → \(\left(\tfrac{14}{5}, \tfrac{9}{5}\right)\).
- Esquisser \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), \(2x + y \leq 10\) et identifier la région admissible (un triangle de sommets \((0,0)\), \((5,0)\), \((0,10)\)).
Exemple résolu
Exemple résolu — comparaison de deux forfaits téléphoniques
On modélise le coût mensuel de chaque forfait en fonction de \(x\), le nombre de minutes d’appel par mois.
\[ C_A(x) = 10 + 0{,}05x, \qquad C_B(x) = 25. \]
Trouver le point d’indifférence. Poser \(C_A(x) = C_B(x)\) :
\[ 10 + 0{,}05x = 25 \;\Longrightarrow\; 0{,}05x = 15 \;\Longrightarrow\; x = 300 \text{ minutes.} \]
Interprétation.
- À \(x = 300\), les deux forfaits coûtent 25 €.
- Pour \(x < 300\) minutes, \(C_A(x) < C_B(x)\) : le Forfait A est moins cher.
- Pour \(x > 300\) minutes, \(C_A(x) > C_B(x)\) : le Forfait B est moins cher.
Un utilisateur faisant moins de 300 minutes d’appel par mois doit choisir le Forfait A ; un grand consommateur doit choisir le Forfait B.
Pratique guidée
Une entreprise choisit entre deux fournisseurs pour une matière première. Le Fournisseur A facture des frais de mise en service de 500 € et 8 € par unité. Le Fournisseur B ne facture pas de frais de mise en service et 12 € par unité.
- Écrire la fonction de coût total pour chaque fournisseur.
- Trouver la quantité à laquelle les deux fournisseurs coûtent pareil.
- Lequel est moins cher pour une commande de 100 unités ? De 200 unités ?
Indice
Écrire \(C_A(q) = 500 + 8q\) et \(C_B(q) = 12q\). Les égaler pour trouver la quantité de croisement.
Afficher la solution
- \(C_A(q) = 500 + 8q\), \(\quad C_B(q) = 12q\).
- Égaux quand \(500 + 8q = 12q \Rightarrow 500 = 4q \Rightarrow q = 125\) unités.
- Pour \(q = 100\) : \(C_A = 1300\), \(C_B = 1200\) → Fournisseur B moins cher.
- Pour \(q = 200\) : \(C_A = 2100\), \(C_B = 2400\) → Fournisseur A moins cher.
Exploration interactive
Utilisez les curseurs pour positionner deux droites et observer en temps réel l’évolution de leur intersection.
Investigation
- Fixez \(m_1 = m_2\) (même pente). Que se passe-t-il pour l’intersection ? Que cela signifie-t-il géométriquement ?
- Modéliser le Forfait A (\(m_1 = 0{,}05\), \(p_1 = 10\)) et le Forfait B (\(m_2 = 0\), \(p_2 = 25\)). L’intersection correspond-elle au résultat de l’exemple résolu ?
- Déplacez les deux ordonnées à l’origine jusqu’à ce que les deux droites se confondent. Que représente cela dans un contexte commercial ?
Problème appliqué
Un responsable logistique doit choisir entre deux contrats de livraison pour l’année à venir. Contrat A : frais fixes annuels de 12 000 € plus 2 € par colis livré. Contrat B : pas de frais fixes, 5 € par colis.
- Écrire la fonction de coût annuel pour chaque contrat.
- À quel volume de colis les deux contrats ont-ils le même coût ?
- Le responsable prévoit de livrer entre 3 500 et 5 000 colis. Quel contrat doit-il choisir et pourquoi ?
- Quelle contrainte (inéquation) décrit l’ensemble des volumes pour lesquels le Contrat A est moins cher ?
Erreurs fréquentes
Erreur fréquente — confondre pente et ordonnée à l’origine
Un étudiant lit la droite \(y = 3x - 2\) et affirme que la pente est \(-2\) et l’ordonnée à l’origine est \(3\).
La lecture correcte est : pente \(m = 3\) (coefficient de \(x\)) et ordonnée à l’origine \(p = -2\) (terme constant).
Dans \(y = mx + p\), la pente est toujours le coefficient de \(x\), non la constante isolée.
Vérifiez votre compréhension
- Trouver l’équation de la droite passant par \((1, 4)\) et \((3, 10)\).
- Deux droites ont la même pente mais des ordonnées à l’origine différentes. Combien de solutions leur système a-t-il ?
- Un taxi coûte 3,00 € de prise en charge plus 1,80 € par km. À quelle distance coûte-t-il autant qu’une course à prix fixe de 21,00 € ?
- Un étudiant résout \(3x + 2y = 12\) et \(x - y = 1\) et obtient \(x = 2\), \(y = 1\). Est-ce correct ? Vérifier.
- Résoudre \(-3x + 9 \geq 0\) et exprimer la solution sous forme d’intervalle.
Synthèse
- Une droite \(y = mx + p\) est entièrement décrite par sa pente (taux de variation) et son ordonnée à l’origine (valeur en \(x = 0\)) ; l’intersection de deux droites est le point vérifiant simultanément les deux équations.
- L’intersection de deux fonctions affines modélise des points d’équilibre ou d’indifférence en économie — la quantité au seuil de rentabilité, le point d’indifférence entre deux tarifs ou le prix d’équilibre de marché.
- Les inéquations modélisent des contraintes (budgets, capacités, seuils) ; la solution d’un système d’inéquations est une région admissible, qui est l’outil graphique des problèmes d’optimisation linéaire.
Travail personnel
- Résoudre les exercices de systèmes d’équations 1 à 8 dans la banque d’exercices.
- Traiter les problèmes d’inéquations 1 à 6.
- Tracer la région admissible pour l’exercice de synthèse logistique.
- Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs.
- Réviser les entrées du glossaire pour : pente, ordonnée à l’origine, système d’équations, région admissible.