4️⃣ Introduction aux outils de mathématiques financières

Résumé

Étudiez les suites numériques — définition générale, suites arithmétiques et suites géométriques — afin de comprendre et de modéliser des phénomènes qui évoluent régulièrement dans le temps, tels que l’épargne, les emprunts et les indices de prix.

Objectifs d’apprentissage

• Comprendre ce qu’est une suite numérique et utiliser la notation indicielle.
• Reconnaître, modéliser et étudier les suites arithmétiques.
• Reconnaître, modéliser et étudier les suites géométriques.
• Calculer la somme des premiers termes de chaque type de suite.

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Activité diagnostique

Répondez à chaque question de mémoire avant de lire la suite.

1. Quel est le terme suivant dans la suite 3, 7, 11, 15, … ?
2. Quel est le terme suivant dans la suite 2, 6, 18, 54, … ?
3. La suite 100, 50, 25, 12,5 est-elle arithmétique ou géométrique ?

Vérifier vos réponses

1. 19 — chaque terme augmente de 4.
2. 162 — chaque terme est multiplié par 3.
3. Géométrique, de raison \(q = 0{,}5\).

Utilisez vos résultats pour identifier le type de suite qui nécessite le plus d’attention.

Problème d’introduction

Deux collègues reçoivent chacun une augmentation de salaire à partir de 28 000 € par an. Option A : une augmentation fixe de 1 500 € par an. Option B : une augmentation de 5 % par an par rapport au salaire de l’année précédente.

Après 10 ans, lequel des deux collègues gagne le plus ? Notez votre prédiction avant de continuer.

Concepts clés

Suites numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres indexée par les entiers naturels. Le terme d’indice \(n\) est noté \(u_n\) ; \(u_0\) (ou \(u_1\)) est le premier terme. Les suites permettent de modéliser des phénomènes qui évoluent régulièrement — c’est-à-dire que, sur une période constante, on ajoute ou on multiplie par la même valeur.

Les suites en économie et en gestion

• Épargne ou remboursement d’emprunt : un capital qui croît ou décroît de mois en mois.
• Comptabilité : calcul de l’amortissement annuel.
• Gestion : prévoir le moment où un équipement doit être remplacé.
• Macroéconomie : suivi d’un indice de prix dans le temps.

Une suite peut être définie de deux façons :

• par récurrence, en donnant \(u_0\) et une règle reliant \(u_{n+1}\) à \(u_n\) ;
• explicitement, en donnant \(u_n\) directement comme fonction de \(n\).

Suites arithmétiques

Définition

Une suite est arithmétique si chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre constant \(r\), appelé raison, au terme précédent : \[ u_{n+1} = u_n + r. \]

Exemple introductif. Une personne épargne 100 € par mois (sans intérêts), ajoutés à un capital initial de 500 €. Chaque mois on ajoute le montant constant de 100 €, donc le montant épargné forme une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 500\) et de raison \(r = 100\).

Forme explicite et sens de variation

\[ u_n = u_0 + n\,r. \] La suite est croissante si \(r > 0\), décroissante si \(r < 0\), et constante si \(r = 0\).

Pour l’exemple d’épargne, \(u_n = 500 + 100\,n\). Après \(12\) mois, \(u_{12} = 500 + 100 \times 12 = 1700\) €.

Dérivation — somme des premiers termes d’une suite arithmétique (cliquer)

Soit \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_n\) (\(n + 1\) termes). Écrire la somme dans les deux sens et additionner terme à terme (astuce de Gauss) :

\[ \begin{aligned} S &= u_0 + u_1 + \dots + u_n, \\ S &= u_n + u_{n-1} + \dots + u_0. \end{aligned} \]

Chaque paire verticale vaut \(u_0 + u_n\), et il y a \(n + 1\) telles paires, donc \(2S = (n + 1)(u_0 + u_n)\). D’où

\[ S = \frac{(n + 1)(u_0 + u_n)}{2} = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}. \]

Suites géométriques

Définition

Une suite est géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant \(q\), appelé raison : \[ u_{n+1} = u_n \times q. \]

Exemple introductif. Plier une feuille de papier double son épaisseur à chaque pli : à chaque pli on multiplie par la constante \(2\). L’épaisseur forme une suite géométrique de raison \(q = 2\).

Forme explicite et sens de variation

\[ u_n = u_0 \times q^{\,n}. \] Pour \(u_0 > 0\) : la suite est croissante si \(q > 1\), décroissante si \(0 < q < 1\), et constante si \(q = 1\).

Dérivation — somme des premiers termes d’une suite géométrique (cliquer)

Soit \(S = u_0 + u_0 q + u_0 q^{2} + \dots + u_0 q^{n}\). Multiplier par \(q\) : \(qS = u_0 q + u_0 q^{2} + \dots + u_0 q^{n+1}\). En soustrayant,

\[ S - qS = u_0 - u_0 q^{n+1} \;\Longrightarrow\; S(1 - q) = u_0\,(1 - q^{\,n+1}). \]

Donc, pour \(q \neq 1\),

\[ S = u_0 \,\frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q} = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}. \]

Exercices (cliquer pour les solutions)

1. Une suite arithmétique a \(u_0 = 200\) et \(r = 15\). Donner \(u_{10}\) et la somme \(u_0 + \dots + u_{10}\). \(u_{10} = 200 + 150 = 350\) ; \(S = 11 \times \tfrac{200 + 350}{2} = 3025\).
2. Une suite géométrique a \(u_0 = 1000\) et \(q = 1{,}02\). Donner \(u_5\) et la somme des \(6\) premiers termes. \(u_5 = 1000 \times 1{,}02^{5} \approx 1104{,}08\) ; \(S = 1000 \times \tfrac{1 - 1{,}02^{6}}{1 - 1{,}02} \approx 6308{,}12\).

Exemple résolu

Exemple résolu — deux options d’évolution salariale

Un salarié commence à 28 000 €/an. Comparer une augmentation fixe de 1 500 €/an (Option A) et une augmentation annuelle de 5 % (Option B).

1. Nature de chaque suite. L’Option A ajoute un montant constant → suite arithmétique (\(u_0 = 28\,000\), \(r = 1\,500\)). L’Option B multiplie par un facteur constant → suite géométrique (\(v_0 = 28\,000\), \(q = 1{,}05\)).

2. Salaire après 6 ans (indice \(6\), la 7e année) :

• Option A : \(u_6 = 28\,000 + 1\,500 \times 6 = 37\,000\) €.
• Option B : \(v_6 = 28\,000 \times 1{,}05^{6} \approx 37\,527\) €.

3. Salaire cumulé sur les 6 premières années (indices \(0\) à \(5\), soit \(6\) termes) :

• Option A : \(S_A = 6 \times \dfrac{u_0 + u_5}{2} = 6 \times \dfrac{28\,000 + 35\,500}{2} = 190\,500\) €.
• Option B : \(S_B = 28\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}05^{6}}{1 - 1{,}05} \approx 190\,570\) €.

4–6. Commentaire. L’Option A donne un salaire annuel plus élevé dans les premières années, mais l’Option B croît plus vite et dépasse l’Option A au bout de quelques années, car la croissance géométrique (en pourcentage) finit par dominer la croissance arithmétique (fixe).

Pratique guidée

Une entreprise acquiert un équipement d’une valeur de 50 000 €. Il se déprécie de 4 000 € par an (mode linéaire). L’équipement d’une entreprise concurrente se déprécie de 12 % de sa valeur résiduelle chaque année, à partir du même prix.

1. Écrire la fonction de valeur \(u_n\) pour chaque entreprise après \(n\) ans.
2. Calculer la valeur de chaque équipement après 5 ans.
3. Au bout de combien d’années la valeur de l’équipement de l’Entreprise B passe-t-elle en dessous de 20 000 € pour la première fois ?

Indice

Entreprise A : arithmétique avec \(u_0 = 50\,000\) et \(r = -4\,000\). Entreprise B : géométrique avec \(u_0 = 50\,000\) et \(q = 0{,}88\).

Afficher la solution

• Entreprise A : \(u_n = 50\,000 - 4\,000n\). À \(n = 5\) : \(u_5 = 30\,000\) €.
• Entreprise B : \(u_n = 50\,000 \times 0{,}88^n\). À \(n = 5\) : \(u_5 \approx 27\,442\) €.
• Entreprise B en dessous de 20 000 € : \(50\,000 \times 0{,}88^n < 20\,000 \Rightarrow 0{,}88^n < 0{,}4\). À \(n = 7\) : \(0{,}88^7 \approx 0{,}409\) ; à \(n = 8\) : \(0{,}88^8 \approx 0{,}360 < 0{,}4\). Donc après 8 ans.

Exploration interactive

Utilisez les curseurs pour explorer comment les suites arithmétiques et géométriques se comparent en faisant varier le premier terme, la raison arithmétique et la raison géométrique.

viewof u0 = Inputs.range([0, 100], {
  value: 28,
  step: 1,
  label: "Premier terme u₀"
})

viewof d = Inputs.range([-10, 10], {
  value: 1.5,
  step: 0.5,
  label: "Raison d (arithmétique)"
})

viewof r = Inputs.range([0.5, 2.0], {
  value: 1.05,
  step: 0.01,
  label: "Raison r (géométrique)"
})

viewof nTerms = Inputs.range([2, 20], {
  value: 10,
  step: 1,
  label: "Nombre de termes n"
})

indices = Array.from({length: nTerms}, (_, i) => i)
arithmeticSeq = indices.map(n => ({n, value: u0 + n * d, type: "Arithmétique"}))
geometricSeq = indices.map(n => ({n, value: u0 * Math.pow(r, n), type: "Géométrique"}))
allData = [...arithmeticSeq, ...geometricSeq]

seqChart = Plot.plot({
  marks: [
    Plot.line(allData, {x: "n", y: "value", stroke: "type"}),
    Plot.dot(allData, {x: "n", y: "value", fill: "type"})
  ],
  x: {label: "Indice n"},
  y: {label: "Valeur"},
  color: {legend: true}
})

html`
<div style="margin-bottom:1rem">${seqChart}</div>
<div class="metric-grid">
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Arithmétique u₍ₙ₎ (dernier terme)</span>
    <strong>${(u0 + (nTerms-1)*d).toFixed(2)}</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Géométrique u₍ₙ₎ (dernier terme)</span>
    <strong>${(u0 * Math.pow(r, nTerms-1)).toFixed(2)}</strong>
  </div>
</div>
`

Investigation

1. Fixer \(u_0 = 28\), \(d = 1{,}5\), \(r = 1{,}05\), \(n = 10\). Quelle suite est la plus grande au dernier terme ?
2. Augmenter \(n\) à 20. À partir de quel terme la suite géométrique dépasse-t-elle la suite arithmétique ?
3. Fixer \(r = 0{,}88\) et \(d = -4\). Quel modèle représente une dépréciation plus rapide ?

Problème appliqué

Un indice de prix suit le coût d’un panier de biens. En 2020, l’indice est à 100. Sur les 5 années suivantes, les prix augmentent de 2 points fixes par an (Scénario A) ou de 2 % par an (Scénario B).

1. Écrire la valeur de l’indice \(I_n\) pour chaque scénario après \(n\) ans (\(n = 0\) correspond à 2020).
2. Calculer la valeur de l’indice pour chaque scénario après 5 ans.
3. Quel scénario produit une augmentation de prix cumulée plus élevée sur 10 ans ?
4. Interpréter : que signifie pour les consommateurs un indice supérieur à 100 ?

Erreurs fréquentes

Erreur fréquente — confondre raison arithmétique et raison géométrique

Un étudiant reçoit la suite 3, 6, 12, 24 et écrit \(u_n = 3 + n \times 3\).

C’est incorrect — la suite est géométrique (chaque terme est multiplié par 2), non arithmétique (qui ajoute une constante). La formule correcte est \(u_n = 3 \times 2^n\).

Toujours vérifier si les termes consécutifs ont une différence constante (arithmétique) ou un rapport constant (géométrique) avant d’appliquer une formule.

Vérifiez votre compréhension

1. Une suite a \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = u_n + 3\). Quelle est la valeur de \(u_6\) ? Quelle est la somme \(u_0 + u_1 + \dots + u_6\) ?
2. Pourquoi une suite géométrique de raison \(r > 1\) croît-elle plus vite que toute suite arithmétique de même premier terme, pour \(n\) suffisamment grand ?
3. Un compte d’épargne rapporte 4 % d’intérêts par an (composés). Modélisée comme une suite géométrique, quelle est la raison ?
4. Un étudiant affirme que la somme des 5 premiers termes de la suite arithmétique \(2, 5, 8, 11, 14\) est \(5 \times 8 = 40\) (en utilisant la moyenne). Est-ce correct ?
5. Deux suites commencent à \(u_0 = 100\). La Suite A a \(d = 10\) ; la Suite B a \(r = 1{,}08\). Après combien de termes la Suite B dépasse-t-elle la Suite A pour la première fois ?

Synthèse

1. Une suite arithmétique croît d’un montant constant à chaque période (\(u_n = u_0 + nr\)) ; une suite géométrique croît d’un facteur constant (\(u_n = u_0 r^n\)) — identifier le modèle applicable est la première étape de toute analyse.
2. Pour la même valeur initiale et une croissance similaire à court terme, la croissance géométrique finit toujours par dominer la croissance arithmétique à mesure que \(n\) augmente — c’est pourquoi les intérêts composés surpassent les intérêts simples sur le long terme.
3. Les formules de somme — arithmétique : \(S_n = (n+1)(u_0 + u_n)/2\) ; géométrique : \(S_n = u_0(1 - r^{n+1})/(1-r)\) — permettent d’agréger les accumulations totales dans le temps sans sommer terme à terme.

Travail personnel

• Réaliser les exercices sur les suites 1 à 10 dans la banque d’exercices.
• Traiter l’étude de cas sur la comparaison salariale.
• Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs.
• Réviser les entrées du glossaire pour : suite arithmétique, suite géométrique, raison arithmétique, raison géométrique, formule de somme.

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