5️⃣ Application des mathématiques financières

Résumé

Appliquez les suites numériques à la finance à travers les intérêts simples et les intérêts composés : calculer les intérêts et le capital acquis, convertir les taux d’intérêt entre périodes, et analyser des situations financières simples.

Objectifs d’apprentissage

• Calculer les intérêts simples et le capital acquis.
• Calculer les intérêts composés et le capital acquis.
• Convertir un taux d’intérêt d’une période à une autre.
• Reconnaître le régime applicable (simple ou composé) à une situation donnée.

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Activité diagnostique

Répondez aux questions suivantes de mémoire avant de lire la suite.

1. Calculer les intérêts simples produits par 1 000 € placés à 5 % par an pendant 2 ans.
2. Les intérêts composés sont-ils modélisés par une suite arithmétique ou géométrique ?
3. Un taux d’intérêt mensuel est de 0,5 %. Quel est le taux annuel équivalent par conversion simple (proportionnelle) ?

Vérifier vos réponses

1. \(1\,000 \times 0{,}05 \times 2 = 100\) €.
2. Géométrique — chaque période multiplie le capital par un facteur constant \((1+i)\).
3. \(0{,}5\,\% \times 12 = 6\,\%\) par an.

Utilisez vos résultats pour identifier les sujets à approfondir.

Problème d’introduction

Vous placez 5 000 € à un taux annuel de 4 %. La Banque A capitalise les intérêts une fois par an ; la Banque B les capitalise chaque mois (même taux annuel).

Après 10 ans, de combien la Banque B vous rapporte-t-elle de plus que la Banque A ? La différence est-elle significative ?

Notez votre estimation avant de continuer.

Concepts clés

Les intérêts simples et les intérêts composés sont deux façons différentes de calculer, par exemple, le rendement d’un capital placé ou le coût d’un emprunt. Chacun a ses usages pratiques en fonction du contexte financier et économique. Ils constituent l’application directe des suites arithmétiques et géométriques étudiées dans le Module 4.

Intérêts simples

Principe

Avec les intérêts simples, les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial, sans réinvestissement. Les intérêts sont identiques à chaque période, de sorte que le capital acquis suit une suite arithmétique.

Soient \(C_0\) le capital initial, \(i\) le taux d’intérêt par période, et \(n\) le nombre de périodes. L’intérêt d’une période est \(C_0\,i\) (constant), donc :

\[ \text{Intérêts sur } n \text{ périodes} = C_0\,i\,n, \qquad C_n = C_0\,(1 + i\,n). \]

Utilisations typiques des intérêts simples

• prêts à court terme ;
• placements ponctuels sans réinvestissement ;
• pénalités de retard et frais.

Exemple résolu

On place 100 000 € à un taux annuel simple de 4 % pendant 4 ans. L’intérêt annuel est constant : \(100\,000 \times 0{,}04 = 4\,000\) € par an. Après 4 ans, le capital acquis est

\[ C_4 = 100\,000\,(1 + 0{,}04 \times 4) = 100\,000 \times 1{,}16 = 116\,000 \text{ €}. \]

Conversion des taux d’intérêt

Parfois le taux et la période ne sont pas exprimés dans la même unité de temps. Dans le régime simple (proportionnel), le taux est mis à l’échelle proportionnellement à la période.

Conversion proportionnelle (régime simple)

Un taux annuel \(i_{\text{année}}\) correspond à un taux mensuel \(i_{\text{mois}} = \dfrac{i_{\text{année}}}{12}\), et réciproquement \(i_{\text{année}} = 12\,i_{\text{mois}}\).

Exercices sur les taux (cliquer pour les solutions)

1. Convertir un taux annuel de \(6\,\%\) en taux mensuel : \(\dfrac{6\,\%}{12} = 0{,}5\,\%\) par mois.
2. Convertir un taux mensuel de \(1\,\%\) en taux annuel : \(12 \times 1\,\% = 12\,\%\) par an.
3. Un capital de 5 000 € placé 4 mois rapporte 50 € d’intérêts. Trouver le taux annuel. Le taux sur 4 mois est \(\dfrac{50}{5000} = 1\,\%\), donc le taux mensuel est \(0{,}25\,\%\) et le taux annuel est \(12 \times 0{,}25\,\% = 3\,\%\).

Intérêts composés

Principe

Avec les intérêts composés, les intérêts gagnés à chaque période s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts durant les périodes suivantes (effet « boule de neige »). Le capital acquis suit une suite géométrique.

Dérivation — la formule des intérêts composés (cliquer pour développer)

Au terme d’une période, le capital est multiplié par \((1 + i)\) : le capital \(C_0\) devient \(C_1 = C_0 + C_0 i = C_0(1 + i)\). Par récurrence, \(C_2 = C_1(1 + i) = C_0(1 + i)^2\), et par induction

\[ C_n = C_0\,(1 + i)^{\,n}. \]

C’est exactement une suite géométrique de premier terme \(C_0\) et de raison \(q = 1 + i\). Les intérêts gagnés sur \(n\) périodes sont \(C_n - C_0 = C_0\big[(1 + i)^n - 1\big]\).

Exemple résolu

On place 100 000 € à un taux annuel composé de 5 % pendant 10 ans :

\[ C_{10} = 100\,000 \times 1{,}05^{10} \approx 162\,889 \text{ €}. \]

Par comparaison, le même capital à un taux simple de 6 % pendant 10 ans donne \(100\,000(1 + 0{,}06 \times 10) = 160\,000\) € : sur un horizon long, l’effet de la capitalisation peut dépasser celui d’un taux simple plus élevé — mais pas toujours, comme le montre le problème final du Module 8.

Conseil pour l’examen — taux composé équivalent

La conversion d’un taux composé entre périodes n’est pas proportionnelle. Un taux mensuel composé \(i_m\) correspond au taux annuel \(i_{\text{année}} = (1 + i_m)^{12} - 1\). Pour \(i_m = 0{,}5\,\%\), cela donne \((1{,}005)^{12} - 1 \approx 6{,}17\,\%\), et non \(6\,\%\).

Taux moyen de placement

Le taux moyen de placement est le taux unique qui produirait le même résultat final (le même capital acquis) qu’un ensemble de placements distincts, chacun avec son propre taux, montant et durée. Il résume la performance globale de plusieurs placements combinés en un seul chiffre.

Valeur actuelle

\[P = \frac{V_c}{(1 + i)^n}\]

La valeur actuelle \(P\) est le capital initial qui produirait une valeur future \(V_c\) au taux \(i\) après \(n\) périodes — elle permet de comparer des flux financiers à différentes dates.

Exemple résolu

Exemple résolu — Banque A vs Banque B (le Problème d’introduction)

On résout maintenant le problème posé en introduction étape par étape.

Banque A — capitalisation annuelle (\(k = 1\)) :

\[ V_A = 5\,000 \times (1 + 0{,}04)^{10} = 5\,000 \times 1{,}04^{10} \approx 7\,401{,}22 \text{ €}. \]

Banque B — capitalisation mensuelle (\(k = 12\)) :

\[ V_B = 5\,000 \times \!\left(1 + \frac{0{,}04}{12}\right)^{10 \times 12} = 5\,000 \times (1{,}003\overline{3})^{120} \approx 7\,453{,}71 \text{ €}. \]

Différence :

\[ 7\,453{,}71 - 7\,401{,}22 = 52{,}49 \text{ €}. \]

La capitalisation mensuelle rapporte 52,49 € de plus — un gain modeste mais réel lié à la fréquence de capitalisation.

Pratique guidée

Un salarié place 3 000 € sur un compte d’épargne offrant un taux annuel composé de 3,5 %, capitalisé trimestriellement.

1. Écrire la formule du capital acquis après \(n\) années.
2. Calculer le capital acquis après 4 ans.
3. Au bout de combien d’années le capital initial est-il doublé ?

Indice

Avec une capitalisation trimestrielle, \(k = 4\). Utiliser \(V_c = P\!\left(1 + \dfrac{i}{k}\right)^{nk}\) avec \(P = 3\,000\), \(i = 0{,}035\), \(k = 4\). Pour le doublement, résoudre \(\left(1 + \dfrac{0{,}035}{4}\right)^{4n} = 2\).

Afficher la solution

1. Formule :

\[ V_c = 3\,000 \times \!\left(1 + \frac{0{,}035}{4}\right)^{4n} = 3\,000 \times 1{,}00875^{4n}. \]

2. Après 4 ans (\(n = 4\), exposant \(= 4 \times 4 = 16\)) :

\[ V_c = 3\,000 \times 1{,}00875^{16} \approx 3\,000 \times 1{,}1490 \approx 3\,447 \text{ €}. \]

3. Doublement : résoudre \((1{,}00875)^{4n} = 2\). Pour \(n = 20\) : \((1{,}00875)^{80} \approx 2{,}002 \approx 2\). Environ 20 ans.

Exploration interactive

Utilisez les contrôles ci-dessous pour explorer comment le capital initial, le taux, le nombre d’années et la fréquence de capitalisation interagissent.

viewof principal = Inputs.range([100, 10000], {
  value: 5000,
  step: 100,
  label: "Capital initial P (€)"
})

viewof rate = Inputs.range([0, 20], {
  value: 4,
  step: 0.1,
  label: "Taux annuel i (%)"
})

viewof periods = Inputs.range([1, 30], {
  value: 10,
  step: 1,
  label: "Nombre d'années n"
})

viewof freq = Inputs.select([1, 2, 4, 12], {
  value: 1,
  label: "Fréquence de capitalisation k (par an)"
})

i = rate / 100
simpleVal = principal * (1 + i * periods)
compoundVal = principal * Math.pow(1 + i / freq, periods * freq)
cumInterest = compoundVal - principal

timeData = Array.from({length: periods + 1}, (_, t) => ({
  t,
  compound: principal * Math.pow(1 + i / freq, t * freq),
  simple: principal * (1 + i * t)
}))

growthChart = Plot.plot({
  marks: [
    Plot.line(timeData, {x: "t", y: "compound", stroke: "steelblue",
      label: "Composés"}),
    Plot.line(timeData, {x: "t", y: "simple", stroke: "orange",
      strokeDash: [4, 4], label: "Simples"}),
    Plot.dot(timeData, {x: "t", y: "compound", fill: "steelblue", r: 3}),
    Plot.dot(timeData, {x: "t", y: "simple", fill: "orange", r: 3})
  ],
  x: {label: "Année"},
  y: {label: "Capital (€)"},
  color: {legend: true}
})

html`
<div style="margin-bottom:1rem">${growthChart}</div>
<div class="metric-grid">
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Capital avec intérêts simples</span>
    <strong>${simpleVal.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Capital avec intérêts composés</span>
    <strong>${compoundVal.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Intérêts cumulés</span>
    <strong>${cumInterest.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Gain par rapport aux intérêts simples</span>
    <strong>${(compoundVal - simpleVal).toFixed(2)} €</strong>
  </div>
</div>
`

Investigation

1. Fixer \(k = 1\) (annuel). Puis \(k = 12\) (mensuel), tous autres paramètres inchangés. Combien la capitalisation mensuelle rapporte-t-elle de plus après 10 ans ?
2. Garder \(k = 1\) et augmenter \(n\) de 5 à 30. L’écart entre intérêts composés et intérêts simples croît-il lentement ou rapidement ?
3. Qu’a plus d’impact sur la valeur finale en capitalisation composée : doubler le taux ou doubler le nombre d’années ? Testez avec les curseurs.
4. Fixer \(i = 0\) (taux nul). Que donnent les deux formules ? Pourquoi ?

Problème appliqué

Une entreprise doit rembourser un emprunt de 200 000 € dans 8 ans. Deux banques sont en concurrence. La Banque A propose un taux annuel simple de 7 %. La Banque B propose un taux annuel composé de 5,5 %.

1. Calculer le montant total remboursé à chaque banque après 8 ans.
2. Laquelle des deux banques offre la meilleure offre ?
3. La Banque A propose également d’appliquer son taux mensuellement en conversion simple (proportionnelle). Quel est le taux mensuel ? Quel est le remboursement total ?
4. La Banque B propose une capitalisation mensuelle au même taux annuel. Quel est le taux annuel composé effectif ? Est-il supérieur ou inférieur à 5,5 % ?

Erreurs fréquentes

Erreur fréquente — appliquer la conversion proportionnelle aux taux composés

Un étudiant convertit un taux mensuel composé de 0,5 % en taux annuel ainsi : \(0{,}5\,\% \times 12 = 6\,\%\).

Cela n’est valable que pour les taux simples (proportionnels). Pour les taux composés, la conversion correcte est :

\[ i_{\text{année}} = (1 + i_{\text{mois}})^{12} - 1 = (1{,}005)^{12} - 1 \approx 6{,}17\,\%. \]

Toujours utiliser la formule de conversion composée lorsque les intérêts sont réinvestis à chaque période.

Vérifiez votre compréhension

1. 8 000 € placés à 3 % d’intérêts simples pendant 5 ans. Quel est le capital acquis ?
2. Que signifie économiquement l’augmentation de la fréquence de capitalisation \(k\) à taux annuel fixe ?
3. 10 000 € placés à 4 % composés (annuels) pendant 8 ans. Calculer le capital acquis.
4. Un étudiant calcule le taux annuel composé équivalent à un taux mensuel de 1 % comme \(1\,\% \times 12 = 12\,\%\). Quelle est la réponse correcte ?
5. Quel remboursement est plus faible : 100 000 € à 6 % simples pendant 10 ans, ou 100 000 € à 5 % composés pendant 10 ans ?

Synthèse

1. Les intérêts simples appliquent le taux uniquement au capital d’origine (\(V_s = P(1+in)\)) ; les intérêts composés l’appliquent au capital croissant (\(V_c = P(1+i/k)^{nk}\)) — la différence s’accroît avec le temps et le taux.
2. Les taux simples se convertissent proportionnellement entre périodes ; les taux composés ne le font pas — convertir \(i_m\) en taux annuel nécessite \((1+i_m)^{12} - 1\), ce qui donne toujours un taux annuel plus élevé.
3. La fréquence de capitalisation \(k\) est importante : une capitalisation plus fréquente (trimestrielle, mensuelle, journalière) produit une valeur finale plus élevée pour le même taux nominal annuel, car les intérêts commencent à générer des intérêts plus tôt.

Travail personnel

• Réaliser les exercices d’intérêts simples 1 à 5 dans la banque d’exercices.
• Réaliser les exercices d’intérêts composés 1 à 5.
• Traiter le problème de comparaison d’emprunts.
• Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs.
• Réviser les entrées du glossaire pour : intérêts simples, intérêts composés, fréquence de capitalisation, valeur actuelle, capital acquis.

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