7️⃣ Introduction à l’optimisation

Résumé

Introduisez le taux de variation moyen et instantané, la notion intuitive de dérivée et son application aux fonctions affines et polynomiales de degré 2, afin de trouver des maxima et des minima pour la prise de décision.

Objectifs d’apprentissage

• Calculer un taux de variation moyen entre deux points.
• Comprendre le taux de variation instantané et la notion intuitive de dérivée.
• Dériver des fonctions affines et polynomiales de degré 2.
• Utiliser la dérivée pour trouver un maximum ou un minimum.

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Activité diagnostique

Répondez à ces questions avant de lire la suite. Elles passent en revue les outils nécessaires tout au long de ce module.

1. Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x) = 3x^2 - 4x\).
2. Trouver \(x\) tel que \(f'(x) = 0\) pour \(f(x) = -x^2 + 6x\).
3. Pour \(f(x) = -x^2 + 6x\), \(x = 3\) est-il un maximum ou un minimum ? Justifier.

Vérifier vos réponses

1. Par la règle des puissances : \(f'(x) = 6x - 4\).
2. \(f'(x) = -2x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3\).
3. Maximum, car \(a = -1 < 0\) donc la parabole est ouverte vers le bas.

Utilisez vos résultats pour identifier les sujets à approfondir.

Problème d’introduction

Un fabricant produit \(q\) unités d’un produit. La fonction de chiffre d’affaires est \(R(q) = 60q - 0{,}2q^2\) (euros) et la fonction de coût total est \(C(q) = 500 + 20q\) (euros).

Quelle quantité \(q\) maximise le profit du fabricant ? Notez votre estimation avant de continuer.

Concepts clés

Qu’est-ce qu’« optimiser » ?

En mathématiques, optimiser signifie trouver le maximum ou le minimum d’une fonction. En gestion, de nombreuses situations appellent une décision optimale :

• maximisation : profit de l’entreprise, production, rendement, utilité du consommateur ;
• minimisation : coût moyen, temps de production ou de livraison, stocks, risque d’un portefeuille.

Pour trouver un maximum ou un minimum, on étudie comment la fonction varie : sur quels intervalles est-elle croissante, et sur quels intervalles est-elle décroissante ? La dérivée est l’outil qui répond précisément à cette question.

Taux de variation moyen

Définition

Le taux de variation moyen d’une fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) est \[ \tau = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. \]

Géométriquement, c’est la pente de la sécante joignant les deux points \((x_1, f(x_1))\) et \((x_2, f(x_2))\) sur le graphe. Économiquement, il mesure la variation moyenne de \(f\) par unité de \(x\) — par exemple la variation moyenne du coût par unité supplémentaire produite.

Exemple résolu — taux de variation moyen

Pour \(f(x) = x^{2}\) entre \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\) :

\[ \tau = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4. \]

Taux de variation instantané et dérivée

Lorsque le deuxième point se rapproche de plus en plus du premier (\(x_2 \to x_1\)), la sécante tend vers la tangente au point. Sa pente est le taux de variation instantané, appelé dérivée de \(f\) en \(x_1\), noté \(f'(x_1)\).

Intuition

• \(f'(x) > 0\) sur un intervalle \(\;\Rightarrow\; f\) est croissante là.
• \(f'(x) < 0\) sur un intervalle \(\;\Rightarrow\; f\) est décroissante là.
• \(f'(x) = 0\) en un point où \(f\) change de sens \(\;\Rightarrow\;\) candidat à un maximum ou minimum (la tangente est horizontale).

Dérivation — la dérivée de \(f(x) = x^{2}\) (cliquer pour développer)

Prendre un point \(x\) et un accroissement \(h\). Le taux de variation moyen entre \(x\) et \(x + h\) est

\[ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{x^{2} + 2xh + h^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2xh + h^{2}}{h} = 2x + h. \]

Lorsque \(h\) devient infiniment petit (\(h \to 0\)), ceci tend vers \(2x\). Le taux de variation instantané est donc

\[ f'(x) = 2x. \]

Dérivées des fonctions de référence

• Constante \(f(x) = k\) : \(\;f'(x) = 0\).
• Affine \(f(x) = a x + b\) : \(\;f'(x) = a\) (pente constante).
• Puissance \(f(x) = x^{n}\) : \(\;f'(x) = n\,x^{n-1}\).
• Polynôme de degré 2 \(f(x) = a x^{2} + b x + c\) : \(\;f'(x) = 2a x + b\).

Appliquer la dérivée à l’optimisation

Méthode pour optimiser une fonction polynomiale de degré 2

1. Calculer la dérivée \(f'(x)\).
2. Résoudre \(f'(x) = 0\) pour trouver le point candidat \(x^{*}\).
3. Pour \(f(x) = a x^{2} + b x + c\), l’extremum est en \(x^{*} = -\dfrac{b}{2a}\) : c’est un maximum si \(a < 0\) et un minimum si \(a > 0\).

Exemple résolu — maximiser le profit

Le profit d’une entreprise est \(P(x) = -2x^{2} + 40x - 50\) (en milliers d’euros), où \(x\) est la quantité produite. Alors \(P'(x) = -4x + 40\). En posant \(P'(x) = 0\), on obtient \(x = 10\). Comme \(a = -2 < 0\), la parabole est ouverte vers le bas, donc \(x = 10\) est un maximum. Le profit maximum est \(P(10) = -2(100) + 400 - 50 = 150\) (milliers d’euros).

Exercices d’entraînement (cliquer pour les solutions)

1. Taux de variation moyen de \(f(x) = 3x + 2\) entre \(x = 0\) et \(x = 4\). \(\tau = \dfrac{14 - 2}{4} = 3\) (égal à la pente, comme attendu pour une fonction affine).
2. Dériver \(f(x) = 5x^{2} - 3x + 7\). \(\;f'(x) = 10x - 3\).
3. Minimiser le coût moyen \(C(x) = x^{2} - 12x + 40\). \(C'(x) = 2x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6\) ; comme \(a > 0\) c’est un minimum, \(C(6) = 4\).

Exemple résolu

Exemple résolu — maximiser le profit du fabricant (Problème d’introduction)

On reprend le problème d’introduction. Étant donné :

\[ R(q) = 60q - 0{,}2q^2, \qquad C(q) = 500 + 20q. \]

Étape 1 — Écrire la fonction de profit.

\[ P(q) = R(q) - C(q) = 60q - 0{,}2q^2 - 500 - 20q = -0{,}2q^2 + 40q - 500. \]

Étape 2 — Calculer la dérivée.

\[ P'(q) = -0{,}4q + 40. \]

Étape 3 — Résoudre \(P'(q) = 0\).

\[ -0{,}4q + 40 = 0 \;\Rightarrow\; q^* = 100 \text{ unités.} \]

Étape 4 — Confirmer la nature du point critique.

Comme \(a = -0{,}2 < 0\), la parabole est ouverte vers le bas, donc \(q^* = 100\) est un maximum.

Étape 5 — Calculer le profit maximum.

\[ P(100) = -0{,}2(10\,000) + 40(100) - 500 = -2\,000 + 4\,000 - 500 = 1\,500 \text{ €.} \]

Le fabricant maximise son profit à 100 unités, gagnant 1 500 €.

Pratique guidée

La fonction de coût moyen d’une entreprise est \(C(x) = x^2 - 12x + 40\), où \(x\) est le niveau de production (en centaines d’unités).

1. Trouver le niveau de production qui minimise le coût moyen.
2. Quel est le coût moyen minimum ?
3. Sur quels intervalles le coût moyen est-il décroissant ? Croissant ?

Indice

Calculer \(C'(x)\) et l’égaler à zéro. Comme \(a > 0\), le point critique est un minimum.

Afficher la solution

• \(C'(x) = 2x - 12 = 0 \;\Rightarrow\; x = 6\) (centaines d’unités).
• Coût moyen minimum : \(C(6) = 36 - 72 + 40 = 4\) (par unité).
• Décroissant sur \(]-\infty, 6[\,\); croissant sur \(\,]6, +\infty[\).

Exploration interactive

Utilisez le curseur pour choisir une quantité produite \(q\) et observer l’évolution du chiffre d’affaires, du coût et du profit. La droite pointillée rouge marque l’optimum \(q^* = 100\) obtenu analytiquement.

viewof quantity = Inputs.range([0, 200], {
  value: 50,
  step: 1,
  label: "Quantité q (unités)"
})

qRange = Array.from({length: 201}, (_, i) => i)
curveData = qRange.flatMap(q => [
  {q, value: 60*q - 0.2*q*q, curve: "Chiffre d'affaires R(q)"},
  {q, value: 500 + 20*q, curve: "Coût C(q)"},
  {q, value: 60*q - 0.2*q*q - 500 - 20*q, curve: "Profit P(q)"}
])

qStar = 100
revenue_q = 60*quantity - 0.2*quantity*quantity
cost_q = 500 + 20*quantity
profit_q = revenue_q - cost_q
revenue_opt = 60*qStar - 0.2*qStar*qStar
profit_opt = revenue_opt - (500 + 20*qStar)

profitChart = Plot.plot({
  marks: [
    Plot.line(curveData, {x: "q", y: "value", stroke: "curve"}),
    Plot.ruleY([0], {stroke: "#aaa", strokeDash: [2,2]}),
    Plot.ruleX([quantity], {stroke: "white", strokeDash: [3,3]}),
    Plot.ruleX([qStar], {stroke: "red", strokeDash: [4,2]})
  ],
  x: {label: "Quantité q"},
  y: {label: "Valeur (€)"},
  color: {legend: true},
  width: 550,
  height: 320
})

html`
<div style="margin-bottom:1rem">${profitChart}</div>
<p style="font-size:0.85rem;opacity:0.7">Droite pointillée blanche : votre
position q = ${quantity}. Droite pointillée rouge : optimum q* = 100.</p>
<div class="metric-grid">
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Chiffre d'affaires R(q)</span>
    <strong>${revenue_q.toFixed(0)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Coût C(q)</span>
    <strong>${cost_q.toFixed(0)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Profit P(q)</span>
    <strong>${profit_q.toFixed(0)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Profit maximum en q* = 100</span>
    <strong>${profit_opt.toFixed(0)} €</strong>
  </div>
</div>
`

Investigation

1. Déplacer le curseur à \(q = 100\). Le profit affiché correspond-il au résultat de l’exemple résolu (1 500 €) ?
2. Déplacer le curseur à \(q = 50\) et \(q = 150\). Les deux profits sont-ils identiques ? Pourquoi ? Qu’indique-t-on sur la forme de la fonction de profit ?
3. À quelle quantité le chiffre d’affaires est-il égal au coût (seuil de rentabilité) ? Utiliser le curseur pour l’approcher, puis vérifier algébriquement.
4. Produire davantage augmente-t-il toujours le profit ? Trouver la quantité au-delà de laquelle le profit commence à diminuer.

Problème appliqué

Une boulangerie vend du pain artisanal à 4 € la miche. La fonction de coût journalier est \(C(q) = 0{,}05q^2 + 0{,}5q + 80\) (euros), où \(q\) est le nombre de miches cuites.

1. Écrire la fonction de profit journalier \(P(q)\).
2. Trouver le nombre de miches qui maximise le profit journalier.
3. Quel est le profit journalier maximum ?
4. Trouver les quantités au seuil de rentabilité (où le profit = 0).

Erreurs fréquentes

Erreur fréquente — ne pas vérifier si le point critique est un maximum ou un minimum

Un étudiant trouve \(f'(x) = 0\) en \(x = 5\) et déclare immédiatement que « la fonction a un maximum en \(x = 5\) ».

Trouver \(f'(x^*) = 0\) identifie un candidat à un extremum — ce peut être un maximum, un minimum ou ni l’un ni l’autre (un point d’inflexion). Pour un polynôme de degré 2 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) :

• Si \(a < 0\) : le point critique est un maximum (parabole ouverte vers le bas).
• Si \(a > 0\) : le point critique est un minimum (parabole ouverte vers le haut).

Toujours vérifier le signe de \(a\) avant de conclure.

Vérifiez votre compréhension

1. Calculer le taux de variation moyen de \(f(x) = 2x^2 - 3\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\).
2. Dériver \(g(x) = -3x^2 + 12x - 5\).
3. Une fonction de coût est \(C(q) = 2q^2 - 40q + 300\). Trouver le niveau de production qui minimise le coût.
4. Un étudiant égale à zéro la dérivée d’une fonction de profit et obtient \(q = 80\). Elle conclut que le profit est maximisé. Quelle vérification supplémentaire doit-elle effectuer ?
5. Le chiffre d’affaires est \(R(q) = 50q\) et le coût est \(C(q) = q^2 + 100q + 200\). Existe-t-il une quantité qui maximise le profit ? Que signifie un \(q\) optimal négatif dans ce contexte ?

Synthèse

1. La dérivée \(f'(x)\) mesure le taux de variation instantané de \(f\) en \(x\) : elle est positive lorsque \(f\) est croissante, négative lorsqu’elle est décroissante, et nulle en un candidat à un extremum (où la tangente est horizontale).
2. Pour optimiser une fonction polynomiale de degré 2, calculer \(f'(x)\), l’égaler à zéro pour trouver \(x^*\), puis confirmer si \(x^*\) est un maximum (si \(a < 0\)) ou un minimum (si \(a > 0\)) en vérifiant le signe du coefficient dominant.
3. Le calcul différentiel fournit la décision optimale exacte — la quantité, le prix ou le niveau de production exacts — plutôt qu’une approximation graphique ; combiner la dérivée avec le contexte économique (un maximum a-t-il du sens ?) est ce qui transforme les mathématiques en aide à la décision.

Travail personnel

• Calculer les dérivées des fonctions 1 à 8 dans la banque d’exercices.
• Résoudre les problèmes d’optimisation A à F.
• Comparer la solution par dérivée avec l’estimation par curseur de l’Exploration interactive.
• Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs.
• Réviser les entrées du glossaire pour : dérivée, taux de variation, maximum, minimum, optimisation.

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