6️⃣ Fonctions utiles en économie et gestion

Résumé

Présentez les fonctions à une variable et leurs propriétés (domaine, valeurs interdites, signe, sens de variation, parité), les fonctions usuelles (affine, polynôme de degré 2, racine carrée, logarithme, exponentielle) et la résolution d’équations du second degré.

Objectifs d’apprentissage

• Identifier une fonction à une variable et déterminer son domaine de définition.
• Étudier le signe, le sens de variation et la parité d’une fonction.
• Reconnaître les fonctions usuelles (affine, polynomiale, racine carrée, logarithme, exponentielle).
• Résoudre des équations du second degré simple et général.

📊 Diapositives : Voir les diapositives de ce module

Activité diagnostique

Répondez à ces questions avant de lire le module. Elles prennent environ cinq minutes et vous indiqueront où concentrer votre attention.

1. De quel type est la fonction \(f(x) = 3x + 2\) : affine, polynomiale, exponentielle ou logarithmique ?
2. Calculer le discriminant de \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
3. \(\ln(x)\) est-il défini pour \(x = -1\) ? Pourquoi ?

Vérifier vos réponses

1. Affine — elle a la forme \(ax + b\).
2. \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\).
3. Non — le logarithme n’est défini que pour \(x > 0\). \(x = -1\) est une valeur interdite.

Utilisez vos résultats pour identifier les sujets à approfondir.

Problème d’introduction

Les données de ventes d’une entreprise montrent une croissance rapide la première année, suivie d’un ralentissement progressif à mesure que le marché arrive à maturité. Un consultant propose de modéliser le chiffre d’affaires mensuel avec l’un de quatre types de fonctions : affine, polynomiale, exponentielle ou logarithmique.

Quel type de fonction capture le mieux une croissance initiale rapide qui s’aplatit ensuite ? Notez votre raisonnement avant de continuer.

Concepts clés

Fonctions à une variable

Définition

Une fonction est un processus qui associe à un nombre un unique nombre. On écrit \(f : x \mapsto f(x)\) ; \(x\) est la variable et \(f(x)\) est l’image de \(x\).

Les fonctions sont très utiles : elles permettent de modéliser une situation, d’en produire une représentation graphique ou de résoudre des problèmes.

Domaine de définition et valeurs interdites. Le domaine \(D_f\) est l’ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) peut être calculé. Certaines valeurs sont interdites, en particulier :

• les valeurs qui annulent un dénominateur (la division par zéro n’est pas définie) ;
• les valeurs négatives sous une racine carrée ;
• les valeurs non strictement positives à l’intérieur d’un logarithme.

Signe. Étudier le signe de \(f\) consiste à déterminer pour quels \(x\) on a \(f(x) > 0\), \(f(x) = 0\) ou \(f(x) < 0\) — par exemple, les valeurs où une fonction de profit est positive.

Sens de variation. Une fonction est croissante sur un intervalle si \(x\) qui augmente entraîne \(f(x)\) qui augmente, et décroissante si \(x\) qui augmente entraîne \(f(x)\) qui diminue.

Parité. Une fonction est paire si \(f(-x) = f(x)\) (graphe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) et impaire si \(f(-x) = -f(x)\) (graphe symétrique par rapport à l’origine).

Les fonctions usuelles

Fonctions de référence

• Affine : \(f(x) = a x + b\). Une droite ; pente \(a\), ordonnée à l’origine \(b\). Croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\). Domaine \(\mathbb{R}\).
• Polynôme de degré 2 : \(f(x) = a x^{2} + b x + c\) avec \(a \neq 0\). Une parabole, ouverte vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\). Domaine \(\mathbb{R}\).
• Racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\). Croissante ; domaine \([0, +\infty[\).
• Logarithme : \(f(x) = \ln x\). Croissante ; domaine \(]0, +\infty[\) ; transforme les produits en sommes : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).
• Exponentielle : \(f(x) = e^{x}\). Croissante et toujours positive ; domaine \(\mathbb{R}\) ; transforme les sommes en produits : \(e^{a+b} = e^{a} e^{b}\).

Relation inverse entre \(\ln\) et \(\exp\)

\(\ln(e^x) = x\) et \(e^{\ln x} = x\) pour \(x > 0\). Ces fonctions réciproques sont centrales en finance : l’exponentielle modélise la croissance composée ; le logarithme mesure le temps nécessaire pour atteindre un objectif.

Équations du second degré

Une équation du second degré simple telle que \(x^{2} = 2\) se résout directement : \(x = \sqrt{2}\) ou \(x = -\sqrt{2}\). Notez que \(x^2 = k\) n’a aucune solution réelle lorsque \(k < 0\).

Pour l’équation générale \(a x^{2} + b x + c = 0\) (avec \(a \neq 0\)), on utilise le discriminant \(\Delta = b^{2} - 4ac\).

Racines d’une équation du second degré

• Si \(\Delta > 0\) : deux racines réelles distinctes \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
• Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x = \dfrac{-b}{2a}\).
• Si \(\Delta < 0\) : aucune racine réelle.

Dérivation — la formule quadratique (complétion du carré, cliquer)

On part de \(a x^{2} + b x + c = 0\) et on divise par \(a \neq 0\) : \(x^{2} + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0\). En complétant le carré :

\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{c}{a} = 0 \;\Longrightarrow\; \left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}. \]

En posant \(\Delta = b^{2} - 4ac\), si \(\Delta \geq 0\) on extrait la racine : \(x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\), d’où

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. \]

Si \(\Delta < 0\) le membre de droite est négatif et aucune racine carrée réelle n’existe, donc il n’y a pas de solution réelle.

Exemple résolu — résolution d’une équation du second degré

Résoudre \(x^{2} - 5x + 6 = 0\). Ici \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\), donc \(x = \dfrac{5 \pm 1}{2}\), soit \(x = 3\) ou \(x = 2\). (Cohérent avec la forme factorisée \((x - 2)(x - 3) = 0\).)

Exercices d’entraînement

Exercices (cliquer pour les solutions)

1. Domaine de \(f(x) = \ln(x - 2)\) → \(]2, +\infty[\).
2. Résoudre \(2x^{2} + 3x - 2 = 0\). \(\Delta = 9 + 16 = 25\), donc \(x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\), soit \(x = \tfrac12\) ou \(x = -2\).
3. \(f(x) = x^{2}\) est-elle paire ou impaire ? \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\), donc paire.
4. Une fonction de profit est \(P(x) = -x^{2} + 10x - 16\). Pour quels \(x\) l’entreprise est-elle rentable (\(P(x) > 0\)) ? Racines : \(\Delta = 100 - 64 = 36\), \(x = 2\) ou \(x = 8\) ; comme la parabole est ouverte vers le bas, \(P(x) > 0\) pour \(x \in \,]2, 8[\).

Exemple résolu

Exemple résolu — identifier et utiliser la bonne fonction

Partie A — Domaine de définition

Trouver le domaine de \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}\).

On a besoin de \(x - 1 \geq 0\) (racine carrée) et \(x - 3 \neq 0\) (dénominateur), donc \(x \geq 1\) et \(x \neq 3\). Le domaine est \([1, 3[\,\cup\,]3, +\infty[\).

Partie B — Modèle de chiffre d’affaires

Le chiffre d’affaires mensuel d’une entreprise (en milliers d’euros) est modélisé par \(R(t) = -2t^2 + 20t + 5\), où \(t\) est le nombre de mois depuis le lancement.

1. Mois du chiffre d’affaires maximal. \(R'(t) = -4t + 20 = 0 \Rightarrow t = 5\). CA maximum : \(R(5) = -2(25) + 20(5) + 5 = -50 + 100 + 5 = 55\) milliers d’euros.

2. Mois où le CA est positif. On résout \(R(t) = 0\) : \(\Delta = 20^2 - 4(-2)(5) = 400 + 40 = 440\). Comme \(\sqrt{440} \approx 20{,}98\), les racines sont \(t = \dfrac{-20 \pm \sqrt{440}}{2(-2)} = \dfrac{20 \mp \sqrt{440}}{4}\), soit \(t \approx -0{,}25\) et \(t \approx 10{,}25\). Comme la parabole est ouverte vers le bas (\(a = -2 < 0\)), le CA est positif pour \(t \in \,]0, 10{,}25[\), soit pendant environ les 10 premiers mois d’activité.

Pratique guidée

Un nouveau service d’abonnement modélise son nombre cumulé d’abonnés après \(t\) semaines par \(N(t) = 500 \times e^{0{,}12t}\).

1. Combien d’abonnés le service a-t-il au lancement (\(t = 0\)) ?
2. Combien en a-t-il après 10 semaines ?
3. Au bout de combien de semaines le nombre d’abonnés atteint-il 2 000 ?

Indice

Pour la Q3, résoudre \(500 \times e^{0{,}12t} = 2000\), soit \(e^{0{,}12t} = 4\). Appliquer \(\ln\) des deux côtés : \(0{,}12t = \ln(4)\).

Afficher la solution

• Au lancement : \(N(0) = 500 \times e^0 = 500\) abonnés.
• Après 10 semaines : \(N(10) = 500 \times e^{1{,}2} \approx 500 \times 3{,}320 \approx 1\,660\) abonnés.
• Atteindre 2 000 : \(0{,}12t = \ln(4) \approx 1{,}386 \Rightarrow t \approx 11{,}55\) semaines, soit environ 12 semaines.

Exploration interactive

Utilisez les contrôles pour explorer le comportement de chaque famille de fonctions en faisant varier ses paramètres.

viewof funcType = Inputs.select(
  ["affine", "quadratic", "exponential", "logarithmic"],
  {value: "affine", label: "Type de fonction"}
)

viewof paramA = Inputs.range([-5, 5], {
  value: 1,
  step: 0.5,
  label: "Paramètre a"
})

viewof paramB = Inputs.range([-10, 10], {
  value: 0,
  step: 0.5,
  label: "Paramètre b"
})

xDomain = Array.from({length: 200}, (_, i) => -5 + i * 0.05)

funcData = xDomain.flatMap(x => {
  let y
  if (funcType === "affine") y = paramA * x + paramB
  else if (funcType === "quadratic") y = paramA * x * x + paramB
  else if (funcType === "exponential") y = Math.exp(paramA * x) + paramB
  else if (funcType === "logarithmic") {
    if (x <= 0) return []
    y = paramA * Math.log(x) + paramB
  }
  if (y === undefined || !isFinite(y) || Math.abs(y) > 30) return []
  return [{x, y}]
})

funcChart = Plot.plot({
  marks: [
    Plot.line(funcData, {x: "x", y: "y", stroke: "steelblue"}),
    Plot.ruleY([0], {stroke: "#aaa", strokeDash: [2,2]}),
    Plot.ruleX([0], {stroke: "#aaa", strokeDash: [2,2]})
  ],
  x: {domain: [-5, 5], label: "x"},
  y: {domain: [-15, 15], label: "f(x)"},
  width: 500,
  height: 320
})

domainText = funcType === "logarithmic"
  ? "Domaine : ]0, +∞[ (x strictement positif)"
  : "Domaine : ℝ (tous les réels)"

html`
<div style="margin-bottom:1rem">${funcChart}</div>
<div class="metric-grid">
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Type de fonction</span>
    <strong>${funcType}</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Domaine</span>
    <strong>${domainText}</strong>
  </div>
</div>
`

Investigation

1. Sélectionner logarithmique. Que se passe-t-il lorsque vous évaluez en \(x = 0\) ou \(x < 0\) ? Pourquoi le graphe commence-t-il à \(x > 0\) ?
2. Passer à quadratique et fixer \(a > 0\), puis \(a < 0\). Comment le signe de \(a\) affecte-t-il la forme du graphe et la position du maximum ou du minimum ?
3. Quel type de fonction modélise le mieux le schéma « croissance rapide puis plateau » du Problème d’introduction ? Ajustez les paramètres pour illustrer votre réponse.

Problème appliqué

La fonction de profit d’une entreprise (en milliers d’euros) est \(P(x) = -x^2 + 10x - 16\), où \(x\) est le nombre d’unités produites (en centaines).

1. Pour quels niveaux de production l’entreprise est-elle rentable (c’est-à-dire \(P(x) > 0\)) ?
2. Trouver le niveau de production qui maximise le profit.
3. Quel est le profit maximum ?
4. En dessous de quel niveau de production l’entreprise commence-t-elle à perdre de l’argent ?

Erreurs fréquentes

Erreur fréquente — utiliser ln avec un argument non positif

Un étudiant écrit \(\ln(-3) = -\ln(3)\) par analogie avec la règle \(\ln(1/x) = -\ln(x)\).

C’est incorrect. Le logarithme naturel \(\ln(x)\) n’est défini que pour \(x > 0\). \(\ln(-3)\) n’existe pas dans les réels.

La règle \(\ln(1/x) = -\ln(x)\) ne s’applique que lorsque \(x > 0\), de sorte que \(x\) et \(1/x\) sont tous deux positifs.

Vérifiez votre compréhension

1. Trouver le domaine de \(g(x) = \sqrt{2x - 6}\).
2. \(f(x) = x^3\) est-elle paire, impaire ou ni l’une ni l’autre ?
3. Une fonction de demande est \(D(p) = -3p + 90\). Pour quelle plage de prix la demande est-elle positive ?
4. Résoudre \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
5. Un étudiant affirme que l’exponentielle \(e^x\) peut être négative pour certaines valeurs de \(x\). Est-ce correct ? Pourquoi ?

Synthèse

1. Une fonction associe une sortie unique à chaque entrée ; le domaine est l’ensemble des entrées valides — les valeurs interdites apparaissent lors d’une division par zéro, d’une racine carrée d’un argument négatif ou d’un logarithme d’un argument non strictement positif.
2. Les quatre familles de fonctions principales (affine, polynomiale, exponentielle, logarithmique) modélisent différentes relations économiques : proportionnalité linéaire, coût/revenu parabolique, croissance/décroissance exponentielle et saturation logarithmique.
3. Le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) détermine si une équation du second degré a deux racines réelles, une racine double ou pas de racine réelle — et identifie les seuils de rentabilité ou les frontières de profit d’un modèle de profit quadratique.

Travail personnel

• Trouver le domaine des fonctions 1 à 8 dans la banque d’exercices.
• Résoudre les équations du second degré des problèmes 1 à 6.
• Identifier le type de fonction dans les problèmes de mise en contexte.
• Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs.
• Réviser les entrées du glossaire pour : domaine de définition, discriminant, exponentielle, logarithme, sens de variation.

Continuer

Continuer vers le Module 7 →