2️⃣ Maîtriser les équations pour mieux décider

Résumé

Maîtrisez les expressions algébriques et les équations à l’aide des outils essentiels que sont la factorisation, le développement, les identités remarquables et la résolution d’équations du premier degré, afin de renforcer les compétences analytiques et d’aide à la décision.

Objectifs d’apprentissage

• Simplifier et réécrire une expression algébrique.
• Révéler une structure (facteur commun, identité remarquable).
• Résoudre des équations du premier degré en contexte.

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Activité diagnostique

Répondez aux questions suivantes sans calculatrice. Elles vérifient les prérequis nécessaires à ce module.

1. Factoriser \(x^2 + 4x\).
2. Développer \(2(3x - 5)\).
3. Résoudre \(5x - 8 = 12\).

Vérifier vos réponses

1. \(x^2 + 4x = x(x + 4)\)
2. \(2(3x - 5) = 6x - 10\)
3. \(5x - 8 = 12 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4\)

Utilisez vos résultats pour identifier les sujets à approfondir.

Problème d’introduction

Un petit café a des charges fixes mensuelles de 2 000 € et des charges variables de 3 € par unité vendue. Chaque unité est vendue 8 €. Combien d’unités le café doit-il vendre chaque mois pour couvrir l’ensemble de ses charges ?

Notez votre estimation avant de continuer.

Concepts clés

Transformations algébriques

Les transformations algébriques désignent l’ensemble des règles et techniques utilisées pour modifier la forme d’une expression algébrique sans en changer la valeur.

Ces opérations permettent de simplifier, développer, factoriser ou réécrire des expressions afin de :

1. les rendre plus faciles à manipuler ;
2. révéler une structure (comme une identité remarquable ou un facteur commun) ;
3. faciliter la résolution d’équations.

Factorisation

Factoriser consiste à réécrire une expression — par exemple \(C(x) = x^{2} - 3x\) — sous une autre forme contenant un produit. Dans le membre de droite, la variable \(x\) apparaît dans \(x^{2}\) et dans \(3x\), donc on peut utiliser \(x\) comme facteur commun. La forme factorisée est

\[ C(x) = x(x - 3). \]

La factorisation rend le comportement de la fonction plus lisible : on voit immédiatement que la fonction s’annule en \(x = 0\) ou \(x = 3\).

Étapes de la factorisation

1. Identifier le plus grand facteur commun.
2. Diviser chaque terme par ce facteur.
3. Réécrire l’expression sous forme de produit.

Exercices — factoriser

Facteur commun simple (cliquer pour les solutions)

1. \(4x + 8\) → PGCD \(4\) : \(\;4(x + 2)\)
2. \(-21x - 14\) → PGCD \(-7\) : \(\;-7(3x + 2)\)
3. \(35x + 49\) → PGCD \(7\) : \(\;7(5x + 7)\)
4. \(144 + 108x\) → PGCD \(36\) : \(\;36(4 + 3x)\)
5. \(x^{2} + 4x\) → PGCD \(x\) : \(\;x(x + 4)\)
6. \(8x^{2} + 4x\) → PGCD \(4x\) : \(\;4x(2x + 1)\)
7. \(x^{3} + x^{2}\) → PGCD \(x^{2}\) : \(\;x^{2}(x + 1)\)
8. \(60x^{3} + 90x^{2}\) → PGCD \(30x^{2}\) : \(\;30x^{2}(2x + 3)\)
9. \(20xy + 30x\) → PGCD \(10x\) : \(\;10x(2y + 3)\)
10. \(20x^{2}y + 30x\) → PGCD \(10x\) : \(\;10x(2xy + 3)\)
11. \(45x^{2}y - 15xy\) → PGCD \(15xy\) : \(\;15xy(3x - 1)\)
12. \(7x^{2}y + 21xy^{2}\) → PGCD \(7xy\) : \(\;7xy(x + 3y)\)

Facteur commun qui est un crochet (cliquer pour les solutions)

13. \(3(x + 2) + 5(x + 2)\) → PGCD \((x + 2)\) : \(\;8(x + 2)\)
14. \(2x(3x - 5) + 4(3x - 5)\) → PGCD \((3x - 5)\) : \(\;2(3x - 5)(x + 2)\)
15. \(6(x - 3) - 5(-x + 3)\) → PGCD \((x - 3)\) : \(\;11(x - 3)\)
16. \((3x + 2)(2x - 5) + (4x - 1)(2x - 5)\) → PGCD \((2x - 5)\) : \(\;(2x - 5)(7x + 1)\)

Regroupement — le PGCD est \((x + 3)\) (cliquer pour les solutions)

17. \(2x^{2} + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3)\) → \((x + 3)(2x + 1)\)
18. \(3x^{2} + 9x + 2x + 6 = 3x(x + 3) + 2(x + 3)\) → \((x + 3)(3x + 2)\)

Développement

Le développement est l’opération inverse de la factorisation : il transforme une expression écrite sous forme de produit en une somme de termes, généralement sous forme polynomiale.¹ Il repose sur la distributivité, comme dans la règle \(a(b + c) = ab + ac\). Par exemple, développer \(3(x + 4)\) donne \(3x + 12\), tandis que \((x + 2)(x - 5)\) se développe en \(x^{2} - 3x - 10\).

Le développement permet de simplifier ou de comparer des expressions, de préparer une équation à la résolution, ou de révéler la forme standard d’un polynôme.

Exemple résolu — une fonction de coût

\[ C(x) = 5x(x + 20)(y + 3) \]

1. Distributivité simple : \(5x(x + 20) = 5x^{2} + 100x\).
2. Double distributivité : \((5x^{2} + 100x)(y + 3) = 5x^{2}y + 15x^{2} + 100xy + 300x\).

On obtient \(C(x) = 5x^{2}y + 100xy + 15x^{2} + 300x\), composé de charges variables croissantes (\(5x^{2}y + 15x^{2}\)) et de charges variables proportionnelles (\(100xy + 300x\)).

Exercices — développer (cliquer pour les solutions)

1. \(3(x + 4)\) → \(3x + 12\)
2. \(-2(x - 7)\) → \(-2x + 14\)
3. \(-4(x^{2} - 3x + 7)\) → \(-4x^{2} + 12x - 28\)
4. \(-4x(x^{2} - 3x + 7)\) → \(-4x^{3} + 12x^{2} - 28x\)
5. \((x + 2)(x + 3)\) → \(x^{2} + 5x + 6\)
6. \((2x - 5)(x^{2} + x + 1)\) → \(2x^{3} - 3x^{2} - 3x - 5\)
7. \((x + 1)(x - 2)(x + 3)\) → \(x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6\)

Identités remarquables

Les identités remarquables sont des égalités algébriques fondamentales qui permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions, sans calcul terme par terme. Les plus courantes sont :

\[ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}, \quad (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}, \quad (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}. \]

Par exemple, \(x^{2} + 6x + 9\) se reconnaît immédiatement comme \((x + 3)^{2}\).

Dérivation — le carré d’une somme (cliquer pour développer)

À partir de la définition d’un carré et en utilisant la distributivité,

\[ (a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a\,a + a\,b + b\,a + b\,b = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}. \]

Le terme central \(2ab\) provient des deux produits croisés identiques \(ab\) et \(ba\). Remplacer \(b\) par \(-b\) donne \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\), et ne conserver que les produits croisés qui survivent donne \((a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\).

Développer avec les identités remarquables (cliquer pour les solutions)

1. \((x + 5)^{2}\) → \(x^{2} + 10x + 25\)
2. \((2x - 5)^{2}\) → \(4x^{2} - 20x + 25\)
3. \((-x + 5)^{2}\) → \(x^{2} - 10x + 25\)
4. \((2x - 5)(2x + 5)\) → \(4x^{2} - 25\)

Factoriser avec les identités remarquables (cliquer pour les solutions)

1. \(x^{2} + 6x + 9\) → \((x + 3)^{2}\)
2. \(9x^{2} - 24x + 16\) → \((3x - 4)^{2}\)
3. \(-4x^{2} + 12x - 9\) → \(-(2x - 3)^{2}\)
4. \(16x^{2} - 25\) → \((4x + 5)(4x - 5)\)
5. \(49x^{2} - 1\) → \((7x + 1)(7x - 1)\)
6. \(49x^{4} - x^{2}\) → \(x^{2}(7x + 1)(7x - 1)\)
7. \((x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}\) → \(8x\)

Résolution d’équations du premier degré

Méthode générale — équation du premier degré \(ax + b = 0\)

1. Développer / supprimer les parenthèses si nécessaire.
2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.
3. Isoler \(x\) : \(\;x = -\dfrac{b}{a}\) si \(a \neq 0\).

Conseil pour l’examen

Si \(a = 0\) : l’équation est soit impossible (aucune solution) lorsque \(b \neq 0\), soit une identité (infinité de solutions) lorsque \(b = 0\). Toujours vérifier le coefficient de \(x\) avant de diviser.

Exemples résolus

1. \(3x - 7 = 11 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6\).
2. \(2(x - 3) = 5 - x \Rightarrow 2x - 6 = 5 - x \Rightarrow 3x = 11 \Rightarrow x = \dfrac{11}{3}\).
3. \(\dfrac{x - 1}{3} + \dfrac{2x + 5}{6} = 2\) : multiplier par \(6\) pour obtenir \(2(x - 1) + (2x + 5) = 12\), soit \(4x + 3 = 12\), donc \(x = \dfrac{9}{4}\).

Formule du seuil de rentabilité

Quantité au seuil de rentabilité

\[ Q^* = \frac{F}{p - v} \]

où \(F\) = charges fixes, \(p\) = prix de vente, \(v\) = charge variable unitaire. La quantité au seuil de rentabilité est le nombre d’unités pour lequel le chiffre d’affaires couvre exactement le coût total.

Exercices mixtes (cliquer pour les solutions)

1. Simplifier \(\dfrac{6x - 9}{3}\) → \(2x - 3\)
2. Factoriser \(4x^{2} - 12x\) → \(4x(x - 3)\)
3. Développer \((3x - 2)(x + 5)\) → \(3x^{2} + 13x - 10\)
4. Résoudre \(5x + 7 = 2x - 5\) → \(x = -4\)

Exemple résolu

Exemple résolu — seuil de rentabilité d’un café

En utilisant les valeurs du Problème d’introduction : \(F = 2\,000\), \(v = 3\), \(p = 8\).

Fonction de chiffre d’affaires :

\[R(q) = 8q\]

Fonction de coût total :

\[C(q) = 2\,000 + 3q\]

Seuil de rentabilité : poser \(R = C\) :

\[ 8q = 2\,000 + 3q \Rightarrow 5q = 2\,000 \Rightarrow q^* = 400 \text{ unités.} \]

Vérification : \(R(400) = 8 \times 400 = 3\,200\) et \(C(400) = 2\,000 + 3 \times 400 = 3\,200\). ✓

Pratique guidée

Une designer indépendante facture 50 € de l’heure. Ses charges fixes mensuelles (logiciels, bureau) s’élèvent à 600 €. Combien d’heures doit-elle facturer pour atteindre son seuil de rentabilité ?

Indice

Écrire \(R(h) = 50h\) et \(C(h) = 600\). Résoudre ensuite \(R(h) = C(h)\).

Afficher la solution

Fonction de chiffre d’affaires : \(R(h) = 50h\)

Fonction de coût total : \(C(h) = 600\)

Seuil de rentabilité : \(50h = 600 \Rightarrow h = 12\) heures.

Vérification : \(R(12) = C(12) = 600\). ✓

Exploration interactive

Utilisez les curseurs pour explorer comment les charges fixes, les charges variables et le prix de vente interagissent pour déterminer la quantité au seuil de rentabilité.

viewof fixedCost = Inputs.range([0, 5000], {
  value: 2000,
  step: 100,
  label: "Charges fixes F (€)"
})

viewof variableCost = Inputs.range([0, 100], {
  value: 3,
  step: 0.5,
  label: "Charge variable unitaire v (€)"
})

viewof price = Inputs.range([0, 200], {
  value: 8,
  step: 0.5,
  label: "Prix de vente unitaire p (€)"
})

margin = price - variableCost
bep = margin > 0 ? fixedCost / margin : Infinity
revenueAtBep = price * bep
costAtBep = fixedCost + variableCost * bep
profitAtBep = revenueAtBep - costAtBep

html`
<div class="metric-grid">
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Marge sur coût variable (p − v)</span>
    <strong>${margin.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Quantité au seuil Q*</span>
    <strong>${margin > 0 ? bep.toFixed(0) + " unités" : "Aucun seuil (p ≤ v)"}</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">CA au seuil Q*</span>
    <strong>${margin > 0 ? revenueAtBep.toFixed(2) + " €" : "—"}</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Coût total au seuil Q*</span>
    <strong>${margin > 0 ? costAtBep.toFixed(2) + " €" : "—"}</strong>
  </div>
</div>
`

Investigation

1. Fixez le prix de vente égal à la charge variable. Que se passe-t-il pour la quantité au seuil ? Pourquoi ?
2. Doublez les charges fixes. Comment \(Q^*\) évolue-t-il ? La relation est-elle linéaire ?
3. Un concurrent propose le même produit à 6 €. Quelle quantité au seuil votre café devrait-il atteindre à ce prix ?

Problème appliqué

Une start-up technologique développant une application mobile estime : charges fixes mensuelles de 8 500 € (salaires, hébergement, licences) ; charge variable de 0,50 € par utilisateur actif par mois ; abonnement de 4,99 € par utilisateur et par mois.

1. Écrire la fonction de chiffre d’affaires \(R(u)\) et la fonction de coût total \(C(u)\), où \(u\) est le nombre d’utilisateurs actifs.
2. Calculer le nombre d’utilisateurs au seuil de rentabilité.
3. Si la start-up compte actuellement 1 800 utilisateurs, est-elle rentable ? De combien ?
4. Quel prix de vente permettrait de ramener le seuil à 2 000 utilisateurs, tous autres paramètres inchangés ?

Erreurs fréquentes

Erreur fréquente — distribuer incorrectement un facteur

Un étudiant écrit \(3(x + 4) = 3x + 4\).

Le calcul correct est :

\[3(x + 4) = 3x + 12.\]

Le facteur 3 doit multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses. Oublier de multiplier 4 par 3 est l’erreur de développement la plus fréquente.

Vérifiez votre compréhension

1. Factoriser \(6x^2 - 9x\).
2. Pourquoi la formule du seuil de rentabilité exige-t-elle \(p > v\) ? Que signifie économiquement \(p \leq v\) ?
3. Un restaurant a \(F =\) 3 000 €/mois, \(v =\) 4 €/couvert, \(p =\) 18 €/couvert. Calculer le nombre de couverts au seuil de rentabilité.
4. Un étudiant résout \(2(x - 3) = x + 4\) et obtient \(x = -2\). Est-ce correct ? Identifiez l’éventuelle erreur.
5. Développer \((2x - 5)^2\) à l’aide d’une identité remarquable.

Synthèse

1. Les transformations algébriques (factorisation, développement) changent la forme d’une expression sans changer sa valeur — elles révèlent la structure qui facilite la résolution des équations.
2. La quantité au seuil de rentabilité \(Q^* = F / (p - v)\) est le point où le chiffre d’affaires est égal au coût total ; elle n’existe que si le prix de vente dépasse la charge variable unitaire.
3. Résoudre une équation du premier degré consiste à isoler l’inconnue en effectuant des opérations identiques des deux côtés — toujours vérifier la solution par substitution.

Travail personnel

• Réaliser les exercices de factorisation 1 à 15 dans la banque d’exercices.
• Réaliser les exercices de développement 1 à 10.
• Résoudre les problèmes de seuil de rentabilité A à D.
• Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs.
• Réviser les entrées du glossaire pour : factorisation, développement, seuil de rentabilité, marge sur coût variable.

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Notes de bas de page

1. Expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et de variables (généralement notées \(x\), \(y\), \(z\), …).