1️⃣ Calculs mathématiques essentiels pour l’économie et la gestion

Résumé

Maîtrisez les opérations fondamentales et les propriétés des nombres réels, avec des applications en économie et gestion : priorité des opérations, valeur absolue, puissances, racines, fractions, pourcentages, indices et proportionnalité.

Objectifs d’apprentissage

À la fin de ce module, vous devriez être capable de :

• Appliquer la priorité des opérations dans les calculs numériques et professionnels.
• Utiliser la valeur absolue, les puissances et les racines carrées et en connaître les propriétés.
• Manipuler les fractions, les pourcentages et les indices.
• Résoudre des problèmes courants à l’aide de la règle de proportionnalité.

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Activité diagnostique

Tentez ces questions sans consulter le cours.

1. Calculer \(4 + 3 \times 5\).
2. Simplifier \(\dfrac{18}{24}\).
3. Un prix passe de 80 € à 92 €. Calculer la variation en pourcentage.

Vérifier vos réponses

1. \(4 + 3 \times 5 = 4 + 15 = 19\) (multiplication avant addition).
2. \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\) (diviser numérateur et dénominateur par 6).
3. \(\dfrac{92 - 80}{80} \times 100 = \dfrac{12}{80} \times 100 = 15\,\%\).

Utilisez vos résultats pour identifier les sujets qui nécessitent une attention particulière avant de lire la section Concepts clés.

Problème d’introduction

Un détaillant de vêtements augmente le prix d’une veste de 20 % pour la nouvelle saison. À la fin de la saison, le détaillant applique une remise de 20 % sur le nouveau prix.

La veste revient-elle à son prix d’origine ?

Notez votre prédiction avant de continuer. En particulier, la variation globale est-elle de 0 %, positive ou négative ?

Concepts clés

Les mathématiques constituent un langage universel indispensable en économie et en gestion. Derrière chaque décision concernant la production, la tarification, l’investissement ou le financement se trouvent des calculs — parfois simples, parfois plus complexes, mais toujours fondés sur les règles élémentaires des nombres réels. Maîtriser ces bases n’est donc pas un simple exercice académique : c’est un outil quotidien de raisonnement et d’efficacité professionnelle.

1. Priorité des opérations

La priorité des opérations est une règle fondamentale des mathématiques qui permet d’évaluer correctement une expression numérique. L’ordre dans lequel on effectue les calculs peut complètement changer le résultat : on ne peut pas additionner, multiplier ou élever à une puissance dans n’importe quel ordre.

Règle clé — PEMDAS

1. Parenthèses : \(( )\), \([ ]\), \(\{ \}\)
2. Exposants (puissances et racines)
3. Multiplication et Division (de gauche à droite)
4. Addition et Soustraction (de gauche à droite)

Avertissement

Une calculatrice n’applique pas toujours correctement les priorités, notamment sans parenthèses. En cas de doute, ajoutez des parenthèses.

Exercice 1 — évaluer les expressions suivantes (cliquer pour les solutions)

1. \(8 \div 2 \times (2 + 2)\) \(\rightarrow\) \(16\)
2. \(4 \times (5 - (9 - 2))\) \(\rightarrow\) \(-8\)
3. \(10 + 2 \times (-1) \times 2^{3}\) \(\rightarrow\) \(-6\)
4. \(\big(10 + 2 \times (-1) \times 2^{3} - 4 \times (5 - (9 - 2))\big)\) \(\rightarrow\) \(2\)
5. \((10 + 2 \times (-1) \times 2^{3} - 4 \times (5 - (9 - 2))) \div 8\) \(= \dfrac{1}{4}\)
6. \(\big[12 - (3 + 2^{3} \times (4 - 1)) \div 3\big] \times 2 - 5^{2}\) \(\rightarrow\) \(-19\)

Exercice 2 — placer des parenthèses pour que chaque égalité soit vraie

1. \(3 + 5 \times 2 = 16\) \(\rightarrow\) \((3 + 5) \times 2 = 16\)
2. \(10 - 2 + 4 = 4\) \(\rightarrow\) \(10 - (2 + 4) = 4\)

2. Valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre réel \(a\), notée \(|a|\), est sa distance à zéro :

• \(|a| = a\) si \(a \geq 0\) ;
• \(|a| = -a\) si \(a < 0\).

Propriétés utiles

• \(|a| \geq 0\)
• \(|a| = |{-a}|\)
• \(|a \times b| = |a| \times |b|\)
• \(\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}\) si \(b \neq 0\)
• \(|a| = 0 \iff a = 0\)
• \(|a| = |b| \iff a = b \text{ ou } a = -b\)

Avertissement

En général \(|a + b| \neq |a| + |b|\) (c’est l’inégalité triangulaire : \(|a + b| \leq |a| + |b|\)).

Applications :

• Confort thermique — écart entre température réelle et température cible : \(|T^{\text{réelle}} - T^{\text{cible}}|\)
• Contrôle qualité — avec longueur mesurée \(L_r\) et cible \(L_c\) : défaut global \(= |L_r - L_c| + |l_r - l_c|\)

Exercice de synthèse (cliquer pour la solution)

\[ -2 \times \big|-4 - |1 - 5|\big| - \big|(-2)^{2}\big| \times |4 - 7| + |-3|^{2} \]

Étape par étape :

• \(|1 - 5| = 4\), donc \(\big|-4 - 4\big| = 8\) et \(-2 \times 8 = -16\) ;
• \(|(-2)^2| = 4\) et \(|4 - 7| = 3\), donc \(-4 \times 3 = -12\) ;
• \(|-3|^2 = 9\).

Total : \(-16 - 12 + 9 = \mathbf{-19}\).

3. Puissances

Une puissance \(a^{n}\) est le produit de \(a\) par lui-même \(n\) fois.

Propriétés clés

• \(a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}\)
• \(\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}\)
• \(a^{0} = 1\)
• \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\)
• \((a^{n})^{m} = a^{nm}\)
• \(a^{1/2} = \sqrt{a}\)

Avertissement

\(a^{n} + a^{m} \neq a^{n+m}\).

Application économique — croissance exponentielle (composée) : chaque augmentation s’applique à une base déjà augmentée, par exemple les intérêts composés et la capitalisation (développés dans les Modules 4 et 5).

Exercice — évaluer (cliquer pour la solution)

\[ \left( \frac{2^{3} \times 4^{-2} \times 8}{2^{-1} \times \sqrt{64} \times 8} \right)^{2} \]

Réécrire en base \(2\) : numérateur \(2^3 \times 2^{-4} \times 2^3 = 2^{2}\) ; dénominateur \(2^{-1} \times 2^{3} \times 2^{3} = 2^{5}\). Rapport \(2^{2-5} = 2^{-3}\), au carré \(2^{-6} = \tfrac{1}{64}\).

Résultat : \(\dfrac{1}{64}\).

4. Racine carrée

La racine carrée de \(a \geq 0\) est le nombre positif \(b\) tel que \(b^{2} = a\).

Propriétés utiles

• \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\)
• \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (pour \(b > 0\))

Avertissement

\(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

5. Fractions

Une fraction est une division de deux nombres réels, notée \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\).

Règles fondamentales

• Addition / soustraction : avec le même dénominateur, additionner les numérateurs ; sinon réduire au même dénominateur (le PPCM est commode).
• Multiplication : multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Division : multiplier par l’inverse de la deuxième fraction.

Exercice — évaluer (cliquer pour la solution)

\[ \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{3} \times \left(1 - \frac{5}{6}\right) \right) \div \left( \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \right) \]

Parenthèse intérieure \(1 - \tfrac56 = \tfrac16\), donc \(\tfrac23 \times \tfrac16 = \tfrac{2}{18} = \tfrac19\). Ensuite \(\tfrac34 + \tfrac19 = \tfrac{27}{36} + \tfrac{4}{36} = \tfrac{31}{36}\). Diviseur \(\tfrac78 - \tfrac12 = \tfrac38\). Finalement \(\tfrac{31}{36} \div \tfrac38 = \tfrac{31}{36} \times \tfrac83 = \tfrac{248}{108} = \tfrac{62}{27}\).

Résultat : \(\dfrac{62}{27}\).

6. Pourcentages et indices

Un pourcentage est une fraction de dénominateur \(100\). Par exemple, \(25\,\%\) de \(80\) est \(\dfrac{25}{100} \times 80 = 20\).

Formule de variation en pourcentage

\[ \Delta\% = \frac{V_{\text{final}} - V_{\text{initial}}} {V_{\text{initial}}} \times 100 \]

Appliquer une variation de taux \(t\) multiplie la valeur par le facteur \((1 + t)\) (où \(t\) est exprimé en décimal). Deux variations successives \(t_1\) puis \(t_2\) se multiplient par \((1 + t_1)(1 + t_2)\) — elles ne s’additionnent pas simplement.

Dérivation — pourquoi les remises successives se multiplient

(cliquer pour développer)

Appliquer une remise de taux \(t\) multiplie le prix par le facteur \((1 - t)\). Appliquer deux remises successives \(t_1\) puis \(t_2\) multiplie par \((1 - t_1)\) puis par \((1 - t_2)\), donc par le produit \((1 - t_1)(1 - t_2)\). Le taux de remise global \(T\) vérifie \(1 - T = (1 - t_1)(1 - t_2)\), soit

\[ T = 1 - (1 - t_1)(1 - t_2). \]

Ce n’est pas \(t_1 + t_2\) : les remises successives ne s’additionnent pas, car chaque taux s’applique à une base déjà réduite par la précédente.

Indices :

\[ \text{Indice} = \left( \frac{\text{valeur courante}}{\text{valeur de référence}} \right) \times 100 \]

• Indice \(= 100\) : stable ; Indice \(> 100\) : hausse ; Indice \(< 100\) : baisse.

7. Règle de proportionnalité

Si deux rapports sont égaux, les quantités sont proportionnelles :

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \;\Rightarrow\; x = \frac{b \times c}{a}. \]

Cette « règle de trois » est l’outil quotidien pour adapter des recettes, convertir des prix, comparer des coûts unitaires ou répartir des quantités proportionnellement.

Exercice — prix unitaire (cliquer pour la solution)

Si 3 kg de café coûtent 27 €, combien coûtent 5 kg au même tarif ?

\[ x = \frac{27 \times 5}{3} = 45 \text{ €}. \]

Exemple résolu

Remises successives — soldes d’un manteau

Un manteau coûte 200 €. Il bénéficie d’une remise de soldes de 10 %, d’une remise fidélité de 5 % et d’une remise anniversaire de 15 %.

Étape 1 — Calculer le prix final.

Chaque remise s’applique au prix déjà réduit, on multiplie donc par les facteurs successifs :

\[ 200 \times 0{,}90 \times 0{,}95 \times 0{,}85 = 145{,}35 \text{ €}. \]

Étape 2 — Calculer le taux de remise global.

\[ T = 1 - 0{,}90 \times 0{,}95 \times 0{,}85 = 1 - 0{,}72675 = 0{,}27325, \]

soit environ \(\mathbf{27{,}33\,\%}\) — et non 30 % (qui serait la somme naïve \(10 + 5 + 15\)).

Étape 3 — Exprimer sous forme d’indice.

\[ \text{Indice} = \frac{145{,}35}{200} \times 100 = 72{,}675. \]

Le manteau coûte désormais \(72{,}7\,\%\) de son prix d’origine — l’indice est passé en dessous de 100, confirmant une baisse.

Résultat : les trois remises réduisent le prix de \(27{,}33\,\%\), et non de \(30\,\%\), car chaque pourcentage s’applique à une base plus petite.

Pratique guidée

Le chiffre d’affaires d’une entreprise passe de 400 000 € à 460 000 €.

1. Calculer la variation absolue.
2. Calculer la variation relative.
3. Exprimer la variation relative en pourcentage.
4. Interpréter le résultat en une phrase.

Indice

La formule de variation en pourcentage est :

\[ \Delta\% = \frac{\text{nouvelle valeur} - \text{valeur initiale}} {\text{valeur initiale}} \times 100. \]

Assurez-vous de diviser par la valeur initiale (400 000 €), et non par la valeur finale.

Afficher la solution

1. Variation absolue : \(460\,000 - 400\,000 = 60\,000\) €.
2. Variation relative : \(\dfrac{60\,000}{400\,000} = 0{,}15\).
3. Pourcentage : \(0{,}15 \times 100 = 15\,\%\).
4. Le chiffre d’affaires a augmenté de \(15\,\%\) par rapport à la période précédente.

Exploration interactive

Utilisez les curseurs pour explorer ce qui se passe lorsque vous appliquez une hausse puis une baisse du même pourcentage à une valeur de départ.

viewof initialValue = Inputs.range([10, 1000], {
  value: 100,
  step: 10,
  label: "Valeur initiale (€)"
})

viewof increaseRate = Inputs.range([0, 100], {
  value: 20,
  step: 1,
  label: "Hausse (%)"
})

viewof decreaseRate = Inputs.range([0, 100], {
  value: 20,
  step: 1,
  label: "Baisse (%)"
})

valueAfterIncrease = initialValue * (1 + increaseRate / 100)
finalValue = valueAfterIncrease * (1 - decreaseRate / 100)
overallChange = 100 * (finalValue - initialValue) / initialValue

html`
<div class="metric-grid">
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Valeur initiale</span>
    <strong>${initialValue.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Après la hausse</span>
    <strong>${valueAfterIncrease.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Valeur finale</span>
    <strong>${finalValue.toFixed(2)} €</strong>
  </div>
  <div class="metric-card">
    <span class="metric-label">Variation globale</span>
    <strong>${overallChange.toFixed(2)} %</strong>
  </div>
</div>
`

Investigation

1. Fixez les deux taux à \(20\,\%\). Quelle est la variation globale ? Est-elle de \(0\,\%\) ?
2. Recommencez avec \(10\,\%\), \(30\,\%\) et \(50\,\%\). Le schéma se maintient-il ?
3. La valeur initiale affecte-t-elle la variation en pourcentage globale ? Expliquez.
4. Trouvez un taux de baisse qui annule exactement une hausse de \(25\,\%\). Pourquoi ce taux n’est-il pas de \(25\,\%\) ?

Problème appliqué

Une chaîne de distribution suit les performances de trois catégories de produits sur un trimestre. Les données sont les suivantes :

Catégorie	CA en début	CA en fin
Électronique	120 000 €	138 000 €
Habillement	85 000 €	79 050 €
Alimentation	200 000 €	210 000 €

1. Pour chaque catégorie, calculez la variation en pourcentage du chiffre d’affaires. Précisez s’il s’agit d’une hausse ou d’une baisse.
2. Quelle catégorie présente la plus grande variation absolue ? La plus grande variation relative ?
3. La chaîne vise un indice de CA global de 105 (base = début de trimestre). A-t-elle atteint cet objectif ?

Erreurs fréquentes

Erreur fréquente — diviser par la valeur finale

Un étudiant calcule la variation en pourcentage de 80 € à 100 € ainsi :

\[ \frac{100 - 80}{100} \times 100 = 20\,\%. \]

Le calcul correct utilise la valeur initiale comme référence :

\[ \frac{100 - 80}{80} \times 100 = 25\,\%. \]

Diviser par la valeur finale produit un pourcentage plus faible et est mathématiquement incorrect. La valeur initiale est toujours la base de référence d’une variation en pourcentage.

Vérifiez votre compréhension

1. Calcul : Évaluer \(\big[3 + 2^{2} \times (8 - 5)\big] \div 5\).
2. Conceptuel : Pourquoi deux remises successives de \(10\,\%\) et \(10\,\%\) ne produisent-elles pas une remise totale de \(20\,\%\) ?
3. Appliqué : Les coûts d’une entreprise passent de 50 000 € à 53 500 €. Exprimez cette variation sous forme de pourcentage et d’indice (base = coût initial).
4. Diagnostic d’erreur : Un étudiant affirme qu’une hausse de \(+30\,\%\) suivie d’une baisse de \(-30\,\%\) ramène à la valeur d’origine. Quelle est la variation globale réelle ? Qu’a oublié l’étudiant ?
5. Trouver la valeur : Quelle remise unique est équivalente à des remises successives de \(15\,\%\) et \(10\,\%\) ?

Synthèse

1. La priorité des opérations régit chaque calcul : toujours résoudre d’abord les parenthèses, puis les exposants, puis les multiplications/divisions, puis les additions/soustractions. Les erreurs de priorité contaminent toutes les étapes suivantes.
2. Les variations en pourcentage successives se multiplient, elles ne s’additionnent pas : appliquer une hausse de \(+t_1\,\%\) puis une baisse de \(-t_2\,\%\) donne un facteur global de \((1 + t_1)(1 - t_2)\), presque jamais égal à \(1 + t_1 - t_2\).
3. Toujours diviser par la valeur initiale pour une variation en pourcentage : la base de référence est le point de départ, non le point d’arrivée.

Travail personnel

• Réaliser les exercices 1 à 10 de la banque d’exercices.
• Corriger vos réponses à l’aide des solutions détaillées.
• Consigner les erreurs dans votre journal d’erreurs (erreur / cause / méthode corrigée / règle de prévention).
• Réviser les entrées du glossaire pour : pourcentage, indice, proportionnalité, valeur absolue, facteur commun (PGCD/PPCM).

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